[편입] 2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2020년 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 서울과학기술대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(서울과학기술대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)

 

2020년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

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2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

역쌍곡함수의 정의로부터
$$\frac{d}{dx}{\sinh }^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$
이고, 이와 일치하는 것은 $2$번이다.

 

 

 

2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

주어진 물체의 가속도는
$$\begin{array}{rl}{f}^{″}(t)& =-\cos t-\sqrt{3}\sin t\\ & =-2\sin (t+\frac{\pi }{6})\end{array}$$
에서 최소일 때는 $t=\frac{\pi }{3}$, 최대일 때는 $t=\frac{4}{3}\pi$이다.

한편 
$$f^{\prime }(t)=\cos (t+\frac{\pi }{6})$$
이고, 물체가 이동한 거리 $L$은
$$\begin{array}{rl}L& ={\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{4}{3}\pi }|f^{\prime }(t)|dt\\ & =2{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3}{2}\pi }|\cos u|du(t+\frac{\pi }{6}=u)\\ & =4\end{array}$$
이다.

 

 

 

2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

뉴턴-랩슨방법의 점화식은
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$$
이다. 이때 주어진 근삿값으로부터
$$f(x)=x^3-3$$
으로 잡을 수 있으므로 $x_1=1$을 대입하여 계산하면
$$x_2=\frac{5}{3},x_3=\frac{331}{225}$$
이다.

 

 

 

2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

$x^2=t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{1}{2}{\int }_0^1{t}^2{e}^{t}dt\\ & =\frac{1}{2}(t^2-2t+2)e^t{|}_0^1\\ & =\frac{1}{2}e-1\end{array}$$
이다.

 

 

 

2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

심장형 곡선의 성질로부터
$$\begin{array}{rl}& a=\frac{3}{2}\pi \\ & b=8\end{array}$$
이므로 $ab=12\pi$이다.

 

 

 

2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

$x=a$에서 함수 $f(x)$의 테일러전개는
$$f(x)=f(a)+(x-a)f^{\prime }(a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+R(x)$$
이다. 이때,
$$R(x)=\frac{f^{‴}(t)}{3!}(x-a{)}^3$$
이다. 이때 구하는 오차의 한계는
$$|R(x)|(3\le x,t\le 5)$$
가 최대가 될 때이다. 한편
$$|(x-a{)}^3|\le 1$$
로 고정되어있고, (구간이 $3\le x\le 5$인데 $a$가 정확히 그 중점이므로)
$$\frac{f^{‴}(t)}{3!}=\frac{1}{16}\times t^{-\frac{5}{2}}$$
에서 이 값이 최대가 되려면 $t$가 최소가 되면 되므로 $t=3$이다.

따라서 구하는 오차의 한계는
$$\frac{1}{16}\times 0.064=0.004$$
이다.

 

 

 

2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

직선 $L_1$위의 한 점 $(0,3,-3)$을 지나고 법선벡터가 주어진 두 직선의 방향벡터의 외적인 평면 $P$의 방정식은
$$P:7x-7z=21$$
이다. 식을 간단히 하여
$$P:x-z=3$$
이라 하자. 이때 우리가 구하는 거리는 이 평면 $P$와 직선 $L_2$위의 한 점 $(1,-2,4)$와의 거리와 같으므로
$$d=\frac{|1-4-3|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$$
이다.

 

 

 

2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

산술기하평균 부등식으로부터
$$\begin{array}{rl}8& =4x^2+y^2\\ & \ge 4|xy|\end{array}$$
에서 
$$-2\le xy\le 2$$
이다. 따라서 최대와 최소의 곱은 $-4$이다.

 

 

 

2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

변수변환 $x+y=u,x-y=v$로부터 주어진 네 점은 $uv$평면 위의 네 점
$$\begin{array}{rl}& (0,0)\to (0,0)\\ & (1,1)\to (2,0)\\ & (2,0)\to (2,2)\\ & (1,-1)\to (0,2)\end{array}$$
로 옮겨진다. 한편 $2dxdy=dudv$이므로 주어진 이중적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{1}{2}{\int }_0^2{\int }_0^{2}u{e}^{uv}dvdu\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^2(e^{2u}-1)du\\ & =\frac{1}{4}(e^4-5)\end{array}$$
이다.

 

 

 

2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

주어진 적분은 구면좌표계를 이용하면
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\frac{\pi }{6}}{\int }_0^2{\rho }^4\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta \\ & =2\pi \times \frac{32}{5}\times (1-\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =\frac{32}{5}(2-\sqrt{3})\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

가장 먼저 벡터장 
$$P(x,y)=\frac{(-y,x)}{x^2+y^2}$$
를 원점을 포함하는 반시계방향의 폐곡선에 대해 선적분하면 그 값이 $2\pi$임을 생각하자.

그러면 주어진 벡터장은 
$$F(x,y)=P(x,y-1)+P(x,y+1)$$
이고 주어진 경로는 두 벡터장 $P(x,y-1)+P(x,y+1)$의 특이점 (평행이동된 $P(x,y)$의 원점)
을 모두 포함하므로 구하는 선적분의 값은 $2\pi +2\pi =4\pi$이다.

 

 

 

2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

$x^2+y^2+z^2=1$임을 이용하면 주어진 면적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =e^{-1}{\iint }_S(x,y,z)ndS\\ & =e^{-1}{\iint }_S(x,y,z)\circ (x,y,z)dS\\ & =e^{-1}{\iint }_S(x^2+y^2+z^2)dS\\ & =e^{-1}{\iint }_{S}1dS\\ & =e^{-1}\times 4\pi \end{array}$$
이다. (마지막의 $1$에 대한 면적분은 반지름이 $1$인 구면의 겉넓이를 의미하므로 $4\pi$이다.)

 

 

 

2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

함수 $y(t)$를 시각 $t$에서 탱크 내부의 소금의 양이라고 하면
$$y^{\prime }=2-\frac{2}{50+2t}y$$
가 성립한다. (소금이 $2$만큼 유입되고, 섞인 뒤 $2$만큼 나간다.)

그럼 $y$는 위의 일계 선형 미분방정식을 만족시키고, $y(0)=15$이므로 
(소금이 $15$만큼 처음에 들어있으므로)
미분방정식을 풀면
$$\begin{array}{rl}y& =e^{-\ln (t+25)}(\int 2(t+25)dt+C)\\ & =\frac{1}{t+25}(t^2+25t+C)\\ & =\frac{1}{t+25}(t^2+25t+375)\end{array}$$
이다. 한편 분당 탱크에 물이 $2$리터씩 차오르고, 탱크가 꽉 차려면 $50$리터의 물이 필요하므로
물이 꽉 차는 시각은 $t=25$이고, $y(25)=45$이다.

 

 

 

2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

전원 정답 처리

 

 

 

2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

ㄱ. 분자가 $2$가 아닌 $s$여야한다.

ㄹ. 단위계단함수 $u(t-\pi )$가 곱해져야한다.

ㅁ. $e^{-as}$여야 한다.

따라서 옳은 것은 두 개이다.

 

 

 

2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

새로운 함수 $u=y_1+y_2$를 생각하자.

그러면 조건으로부터 $u(0)=1$이고 이를 만족하는 보기는 $3,4$번이다.

한편 주어진 연립미분방정식에 $t=0$을 대입하면 $u^{\prime }(0)=5$이다.

$3,4$번 중 이를 만족하는 보기는 $4$번이다.

 

 

 

2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

행렬 $A$의 고유특성다항식은
$${\lambda }^2-4\lambda -5=0$$
에서 행렬 $A$의 고유치는
$$\lambda =5,-1$$
이다. 이를 이용하여 세 행렬 $A^3,-3A+2I$의 고유치를 구해보면
$$\begin{array}{rl}& A^3:\lambda =125,-1\\ & -3A:\lambda =-15,3\\ & 2I:\lambda =2,2\end{array}$$
에서 모든 고유치의 합은 $116$이다.

 

 

 

2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

우변의 벡터 $(b_1,b_2,b_3{)}^T$는 주어진 행렬의 열공간에 속한다.

한편 $\alpha +\beta$를 물어보고 있으므로, 주어진 행렬의 열공간의 원소 중
$b_1=b_2$가 되도록 하는 열공간의 원소를 대입하면 된다.
(예를 들어 1열인 $(2,2,-1{)}^T$ 또는 2열인 $(6,6,-3{)}^T$를 $(b_1,b_2,b_3)$에 대입하면 된다.)

직접 대입해보면 
$$2\alpha +2\beta =2$$
이므로 $\alpha +\beta =1$이다.

 

 

 

2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

주어진 $2\times 2$행렬은 단위행렬의 상수배가 아니므로 고유특성다항식이 중근을 가지면 대각화가 불가능하다.
고유특성다항식을 직접 구해보면
$${\lambda }^2-\lambda -(2+2c)=0$$
에서 판별식을 계산해보면
$$D:1+4(2+2c)=0$$
에서 $c=-\frac{9}{8}$이다.

 

 

 

2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

주어진 행렬의 영공간의 원소라면 곱했을 때 영벡터가 나와야 한다.

선택지의 벡터를 전부 곱해보면 영벡터가 나오는 벡터는 $4$번이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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