[편입] 2023 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2023 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2023년 항공대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 항공대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

항공대의 경우 최근 2~3년 문제지만 공유하며, 년도가 바뀔 때마다 시험지를 입학처 홈페이지에서 삭제합니다.

따라서 시험지가 필요하신 분은 미리 입학처에서 다운로드를 받아두시기 바랍니다.

(항공대학교 입학처 - 편입학 - 지난기출문제)

 

2023년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

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2023 항공대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

[풀이 1] (직관적 풀이)
주어진 방정식의 양변을 $2n$으로 나누어 주어진 방정식의 실근을
$$y=\sin \pi x,y=\frac{x}{2n}$$
의 교점으로 파악하자.

그러면 $n$을 $1$부터 키워가며 그래프를 그려보면 아래 그림과 같다.

(빨간색 : $n=1$, 파란색 : $n=2$, 초록색 : $n=3$)

그림으로 알 수 있듯 주어진 방정식의 실근은 $x=0$을 제외하면 $2n-1$개 존재한다.

이 실근을 크기 순서대로 작은 것부터 
$$x_1,x_2,\cdots x_{2n-1}$$
이라고 하자. 그러면 $n$이 한없이 많이 커진다면 $\frac{x}{2n}\to 0$이다.
이에 따라 $n\to \mathrm{\infty }$일 때 $x_1,x_2,\cdots ,x_{2n-1}$의 행동은 아래 사진의 빨간색 직선과 같다.

즉, $n\to \mathrm{\infty }$일 때
$$\begin{array}{rl}& x_1\to 1\\ & x_2\to 2\\ & x_3\to 3\\ & ⋮\\ & x_{2n-1}\to 2n-1\end{array}$$
이 성립한다. 따라서 근사적으로
$$S(n)\approx 0+1+2+3+\cdots +(2n-1)=2n^2-n$$
이 성립하므로
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{S(n)}{n^2}=2$$
이다.



[풀이 2] (엄밀한 풀이)
풀이 1과 같이 주어진 방정식의 실근을 
$$y=\sin \pi x,y=\frac{x}{2n}$$
의 교점으로 파악하자.

그러면 마찬가지로 실근은 $2n-1$개 존재한다.
이 실근 중 $m$번째($m=0,1,\cdots ,2n-1$)로 작은 실근을 $x_{mn}$이라 하면
$$S(n)=\sum _{m=1}^{2n-1}{x}_{mn}$$
이 성립한다. 한편 각각의 $m$에 대하여
$$m-\frac{1}{2}\le x_{mn}\le m+\frac{1}{2}$$
이 성립하고, 양변에 시그마를 씌우면
$$\sum _{m=0}^{2n-1}(m-\frac{1}{2})\le \sum _{m=1}^{2n-1}{x}_{mn}\le \sum _{m=1}^{2n-1}(m+\frac{1}{2})$$
이다. 이제 시그마를 계산하면
$$2n^2-2n\le S(n)\le 2n^2$$
이 성립하므로, 전부 $n^2$으로 나눈 뒤 $n\to \mathrm{\infty }$인 극한을 취하면 조임정리로부터
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{S(n)}{n^2}=2$$
이다.

 

 

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

3. 제약조건 $g(x,y)=xy=16$을 $y$에 대해 풀면 
$$y=\frac{16}{x}$$
이다. 이를 $f(x,y)$에 대입하면
$$f(x,y)=x+\frac{16}{x}$$
의 최댓값을 구하는 것과 같은데, $x\to \mathrm{\infty }$인 극한을 취하면
$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(x+\frac{16}{x})=\mathrm{\infty }$$
이므로 최댓값은 존재하지 않는다. 

따라서 최댓값이 $8$이라는 진술은 거짓이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

물체가 초기에 정지상태에 있으므로 $v(0)=0$이다. 

한편 시간이 충분히 흐른후의 속도가 $20$이므로
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}v(t)=20$$
이다. 따라서 주어진 미분방정식에 $\frac{dv}{dt}=0,v=20$을 대입하면
$$0=-20k+10$$
에서 $k=\frac{1}{2}$이다.

따라서 주어진 미분방정식을 풀면 
$$v(t)=20-20e^{-\frac{t}{2}}$$
이므로 $v(\ln 4)=10$이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

주어진 교선을 매개화하면 
$$r(t)=(0,t,\frac{t^2}{2})$$
이고, 주어진 점은 $r(1)$이다.

곡률을 구하기 위해 미분하면
$$\begin{array}{rl}& r^{\prime }(t)=(0,1,t)\\ & r^{″}(t)=(0,0,1)\end{array}$$
에서 주어진 점에서의 곡률 $\kappa$는
$$\kappa =\frac{|r^{\prime }(1)\times r^{″}(1)|}{|r^{\prime }(1){|}^3}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$$
이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

$2x+y-3=u,2y-x+6=v$로 변수변환하면 $5dxdy=dudv$가 성립하므로 주어진 이중적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{1}{5}{\int }_{-3}^2{\int }_1^6\frac{u^2}{v^2}dvdu\\ & =\frac{1}{5}\times \frac{5}{6}\times \frac{35}{3}\\ & =\frac{35}{18}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

행렬 $A$의 고유특성다항식을 구해보면 
$${\lambda }^3-{\lambda }^2-\lambda +1=0$$
에서 행렬 $A$의 고유치는
$$\lambda =-1,1,1$$
이다. 따라서 행렬 $A^{99}$의 고유치는
$$\lambda =(-1{)}^{99},1^{99},1^{99}$$
이고 대각합은 고유치의 합과 같으므로 $\text{tr}{A}^{99}=1$이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

주어진 벡터가 고유공간의 기저가 된다는 말은 고유벡터라는 말과 같다.

선지의 모든 벡터를 곱해서 고유벡터인지 확인해보면
$4$번의 벡터가 고유치 $\lambda =-2$에 대응하는 고유벡터가 된다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

ㄱ. 맞다

ㄴ. 행렬식은 모든 고유치의 곱이므로 맞다.

ㄷ. $B$가 대칭행렬이므로 맞다.

ㄹ. 두 행렬 $A,B$가 직교행렬이므로
$$\begin{array}{rl}& A{A}^T=I\\ & B{B}^T=I\end{array}$$
가 성립한다. 한편
$$\begin{array}{rl}(AB)(AB{)}^T& =AB{B}^T{A}^T\\ & =AI{A}^T\\ & =A{A}^T\\ & =I\end{array}$$
이므로, $AB$도 직교행렬이다.



이상에서 옳은 것은 $4$개이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

4. 함수 $f(x)$의 불연속점이 비가산개이므로 리만적분이 불가능하다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

ㄱ. 근판정법으로부터 수렴한다.

ㄴ. 지수로그의 성질로부터
$$\frac{1}{(\ln n{)}^{\ln n}}=\frac{1}{e^{\ln n\ln \ln n}}$$
이 성립한다. 그런데 $\ln \ln n>2$인 모든 $n$에 대하여
$$n^2=e^{\ln n\times 2}>e^{\ln n\ln \ln n}$$
이 성립하고, 역수를 취하면
$$\frac{1}{e^{\ln n\ln \ln n}}<\frac{1}{n^2}$$
이 성립한다. 이제 $\frac{1}{n^2}$에 대한 급수는 수렴하므로 주어진 급수도 수렴한다.

ㄷ. 지수로그의 성질로부터
$$\frac{1}{(\ln n{)}^{\ln \ln n}}=\frac{1}{e^{(\ln \ln n{)}^2}}$$
이 성립한다. 한편 충분히 큰 자연수 $n$에 대하여
$$(\ln \ln n{)}^2<\ln n$$
이 성립하므로,
$$e^{(\ln \ln n{)}^2}<e^{\ln n}=n$$
이 성립한다. 이제 역수를 취하면
$$\frac{1}{e^{(\ln \ln n{)}^2}}>\frac{1}{n}$$
이 성립하고 $\frac{1}{n}$에 대한 급수는 발산하므로 주어진 급수는 발산한다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

각각 행렬식을 구해보면
1. $1$이다.

2. $3^3\times 4$이다.

3. $2^3$이다.

4. $4^2$이다.



따라서 가장 큰 것은 $2$번이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

주어진 선형변환의 값들에 전부 역변환을 취한 뒤 정리하면
$$\begin{array}{rl}& L^{-1}(1,0,0)=(2,4,2)\\ & L^{-1}(0,1,0)=\frac{1}{2}(1,2,-4)\\ & L^{-1}(0,0,1)=-\frac{1}{2}(3,2,2)\end{array}$$
이다. 따라서
$$\begin{array}{rl}& L^{-1}(1,1,1)\\ & =L^{-1}(1,0,0)+L^{-1}(0,1,0)+L^{-1}(0,0,1)\\ & =(2,4,2)+\frac{1}{2}(1,2,-4)-\frac{1}{2}(3,2,2)\end{array}$$
이므로, $a+b+c=4$이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

주어진 함수 $f(x)$는 기함수이므로
$$\begin{array}{rl}{c}_n& =\frac{1}{4}{\int }_{-2}^{2}f(x)e^{-\frac{n\pi i}{2}x}dx\\ & =\frac{1}{4}{\int }_{-2}^{2}f(x)(\cos (-\frac{n\pi i}{2}x)+i\sin (-\frac{n\pi i}{2}x))dx\\ & =\frac{1}{4}{\int }_{-2}^{2}f(x)i\sin (-\frac{n\pi i}{2}x)dx\\ & =-\frac{i}{2}{\int }_0^{2}f(x)\sin \left(\frac{n\pi i}{2}x\right)dx\\ & =-\frac{i}{2}{\int }_0^2\sin \left(\frac{n\pi i}{2}x\right)dx\\ & =\frac{i}{n\pi }((-1{)}^n-1)\end{array}$$
이다. 따라서
$$c_1=-\frac{2}{\pi },c_2=0$$
이므로, 구하는 값은 
$$|c_1|+|c_2|=\frac{2}{\pi }$$
이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

주어진 경로 내부에서의 특이점은 $z=0,1$이다.

각 지점에서의 유수를 구해보자.

1) $z=0$인 경우 :
피적분함수를 로랑급수 전개하면
$$\begin{array}{rl}f(z)& =\frac{-\cos \pi z}{z^2(1-z^2)}\\ & =\frac{-1}{z^2}(1-\frac{{\pi }^2}{2!}{z}^2+\cdots )(1+z^2+z^4+\cdots )\end{array}$$
에서 $-1$차항이 존재하지 않으므로 유수는 $0$이다.

2) $z=1$인 경우 :
단극이므로
$$\underset{z\to 1}{lim}(z-1)f(z)=-\frac{1}{2}$$
이 구하는 유수의 값이다.



따라서 유수정리로부터 구하는 복소선적분의 값은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =2\pi i\times (0+(-\frac{1}{2}))\\ & =-\pi i\end{array}$$
이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

3번의 경우
$$\begin{array}{rl}& f(x)=x^2(\cos \left(\frac{1}{x}\right)+2)\\ & g(x)=x\end{array}$$
라고 하면
$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$
이지만
$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$
은 수렴하지 않으므로(진동) 거짓이다. 

 

$x=0$에서 함숫값이 어떻든 극한값에는 영향이 없으므로 $g(0)$의 값을 $0$이 아닌 아무 값으로 설정하고

$x=0$이 아닐때만 $g(x)=x$로 설정해주면 $g(x)\ne 0$조건을 회피하며 똑같이 거짓임을 보일 수 있다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

곡면 
$$z=e^{-(x^2+y^2)}$$
와 평면
$$z=\frac{1}{e}$$
의 교선은 $x^2+y^2=1$이다. 

한편 구하는 값은 선적분이고, 적분경로가 $xy$평면과 평행하게 놓여있으므로 
벡터장 $F(x,y,z)$에서 $z$성분을 제거한 $F(x,y)$에 그린정리를 사용할 수 있다.

따라서 구하는 선적분의 값은 영역 $D:x^2+y^2\le 1$에 대하여
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\iint }_D(e^{y+z}-(e^{y+z}-2))dA\\ & =2{\iint }_{D}dA\\ & =2\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

주어진 곡면 $S$와 새로운 원판 $S^{\prime }:x^2+y^2\le 1,z=0$을 합친 폐곡면을 $D$라고 하고
그 내부영역을 $E$라고 하자. 그러면 $\text{div}F=0$이므로 발산정리로부터
$${\iiint }_E\text{div}FdV=0$$
이다. 

한편 우리가 구하는 면적분의 값은 위의 삼중적분의 값에서 $S^{\prime }$의 면적분값을 뺀 값과 같고
$S^{\prime }$에 대한 면적분의 값은 법선벡터의 방향이 아래임을 고려했을 때
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =-{\iint }_{x^2+y^2\le 1}(x^2+y^2+3)dA\\ & =-{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{1}r(r^2+3)drd\theta \\ & =-\frac{7}{2}\pi \end{array}$$
이다. 따라서 우리가 원래 구하던 면적분의 값은
$$0-(-\frac{7}{2}\pi )=\frac{7}{2}\pi$$
이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

$x=\frac{1}{t}$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_{\frac{1}{2}}^1\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}dt\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{6}}2\sin 2u\times \sqrt{\frac{1-\cos 2u}{1+\cos 2u}}du(t=\cos 2u)\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{6}}2\sin 2u\times \frac{\sin u}{\cos u}du\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{6}}4\sin u\cos u\times \frac{\sin u}{\cos u}du\\ & =4{\int }_0^{\frac{\pi }{6}}{\sin }^{2}udu\\ & =\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

새로운 함수 $u=y_1+y_2$를 생각하자. 주어진 두 식을 더하면
$$u^{″}+u=6\cos 2x,u(0)=0,u^{\prime }(0)=4$$
라는 새로운 미분방정식을 얻는다. 

역연산자와 소멸연산자를 이용하여 특수해를 구하면
$$\begin{array}{rl}{u}_p& =\frac{1}{D^2+1}\{6\cos 2x\}\\ & =\frac{6}{-4+1}\cos 2x\\ & =-2\cos 2x\end{array}$$
이다. 따라서 $u_p(0)=-2,u_p^{\prime }(0)=0$임을 이용하면 제차해 $u_c$는 미분방정식
$$u^{″}+u=0,u_c(0)=2,u_c^{\prime }(0)=4$$
를 만족시키며, 이는 라플라스변환을 이용하여 해결할 수 있다.

제차해 $u_c$의 라플라스변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스변환하면
$$\begin{array}{rl}Y& =\frac{2s+4}{s^2+1}\end{array}$$
이므로, 역변환하면 $u_c=2\cos x+4\sin x$임을 얻는다. 

따라서 구하는 미분방정식의 해는
$$\begin{array}{rl}u& =u_c+u_p\\ & =2\cos x+4\sin x-2\cos 2x\end{array}$$
이고, 구하는 값은 $u(\pi )=-4$이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

주어진 연립미분방정식의 계수행렬
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ -1& -1& 1\\ 3& 2& -2\end{array}\right)$$
에 대하여 행렬 $A$의 고유치를 크기 순으로 나열한 값이 $k_1,k_2,k_3$이며
각각에 대응되는 고유벡터가 $p_1,p_2,p_3$이다.

직접 행렬 $A$의 고유치와 고유벡터를 구해보면 
$$\begin{array}{rl}& k_1=-2,v_1=(2,-3,5)\\ & k_2=-1,v_2=(1,-1,1)\\ & k_3=1,v_3=(1,0,1)\end{array}$$
이다. 그런데 문제의 $p_1,p_2,p_3$는 단위벡터이므로 정규화하면
$$\begin{array}{rl}& p_2=\frac{1}{3}(1,-1,1)\\ & p_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1)\end{array}$$
이므로 $|p_2\circ p_3|=\frac{2}{\sqrt{6}}$이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2023 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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