[편입] 2021 인하대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2021 인하대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2021년 인하대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 인하대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(인하대학교 입학처 - 편입학 - 자료실)

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

 

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

$x=0$ 근방에서 
$$\tan x\approx x+\frac{1}{3}{x}^3$$
이 성립하므로, 구하는 극한값은 $3$이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

양변에 $x=0$을 대입하면 $\tan f(0)=1$이 성립한다.

이제 주어진 식의 양변을 미분하면
$$f^{\prime }(x){\sec }^{2}f(x)=e^x$$
에서 다시 양변에 $x=0$을 대입하면
$$f^{\prime }(0){\sec }^{2}f(0)=1$$
이다. 그런데 $\tan f(0)=1⟹\cos f(0)=\frac{1}{\sqrt{2}}$이므로
$$f^{\prime }(0)={\cos }^{2}f(0)=\frac{1}{2}$$
이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

로그미분법을 이용하면
$$f^{\prime }(x)=x^x(1+\ln x)$$
가 성립하므로, $f^{\prime }(e)=2e^e$이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

$\sqrt{x}=t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =2{\int }_1^2{e}^{t}dt\\ & =2(e^2-e)\\ & =2e(e-1)\end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

주어진 식을 $y$에 대해 풀면
$$y=x^{\frac{3}{2}}$$
이다. 한편 $0\le y\le 1$임은 $0\le x\le 1$임을 의미하므로 구하는 길이 $L$은
$$\begin{array}{rl}L& ={\int }_0^1\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx\\ & ={\int }_0^1\sqrt{1+\frac{9}{4}x}dx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^1\sqrt{4+9x}dx\\ & =\frac{1}{18}{\int }_4^{13}\sqrt{t}dt(4+9x=t)\\ & =\frac{1}{27}(13\sqrt{13}-1)\end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

지수로그의 성질을 이용한 뒤 각각 급수전개하면

이므로, $a_0=1,a_1=2,a_2=\frac{5}{2}$이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

주어진 세 점은 절편이므로, 구하는 평면의 방정식은
$$p:x+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$$
임을 바로 알 수 있다. 따라서 구하는 거리 $d$는
$$\begin{array}{rl}d& =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}}}\\ & =\frac{6}{7}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

주어진 미분방정식은
$$\frac{1}{y+1}dy=\frac{1}{1+x^2}dx$$
로 변수분리가 가능하다. 양변을 적분하면
$$\ln (y+1)={\tan }^{-1}x+C={\tan }^{-1}x+\ln 2$$
이다. 이를 $y$에 대해 정리하면
$$y=2e^{{\tan }^{-1}x}-1$$
이므로 
$$y(1)=2e^{\frac{\pi }{4}}-1$$
이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^1{\int }_0^{x^2}y\sin (x^5)dydx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^1{x}^4\sin (x^5)dx\\ & =\frac{1-\cos 1}{10}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

주어진 점을 순서대로 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$라고 하면
구하는 세 벡터 
$$\overline{\mathrm{AB}},\overline{\mathrm{AC}},\overline{\mathrm{AD}}$$
를 행으로 하는 행렬식의 절댓값을 $6$으로 나눈 값이 구하는 사면체의 부피와 같다.

따라서 계산해보면 구하는 사면체의 부피는 $16$이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

행렬 $A$의 고유특성다항식을 구해보면
$${\lambda }^2-\lambda +1=0$$
이므로, ${\lambda }^3=-1,{\lambda }^6=1$이 성립한다.

따라서 케일리 해밀턴 정리로부터 
$$\begin{array}{rl}& A^3=-I\\ & A^6=I\end{array}$$
가 성립한다. 따라서 이를 적용하면
$$\begin{array}{rl}{A}^{2021}& =A^{6\times 331+5}\\ & =A^5\\ & =-A^2\\ & =-\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -7& -3\end{array}\right)\end{array}$$
이므로, $a+b+c+d=7$이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

두 행렬 $A,B$의 고유특성다항식을 $p_A,p_B$라고 하고 각각의 근을 구하면
$$\begin{array}{rl}{p}_A(\lambda )& ={\lambda }^2-6\lambda +9=0⟹\lambda =3,3\\ p_B(\lambda )& =\lambda -5\lambda +6=0⟹\lambda =2,3\end{array}$$
이므로,
$$\begin{array}{rl}\text{(Limit)}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2\times 3^n}{2^n+3^n}\\ & =2\end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

식을 다시 쓰면 $(A+I)B=A$
에서 $A+I$의 역행렬을 왼쪽에 곱해주면

이다. 따라서 구하는 대각합은 $\frac{1}{4}$이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

벡터장 $F(x,y,z)=(0,0,3z)$와 주어진 구면의 외향단위법선벡터인
$$n=(\frac{x}{3},\frac{y}{3},\frac{z}{3})$$
에 대하여
$F\circ n=x+y+z^2$이 성립한다. 따라서 주어진 스칼라장의 면적분은
$${\iint }_{D}FndS$$
라는 벡터장에 대한 면적분으로 바꿀 수 있다. 

이제 구면 $S$의 내부를 $E$라고 하면 발산정리로부터 구하는 면적분은
$$\begin{array}{rl}{\iint }_{D}FndS& ={\iiint }_E\text{div}FdV\\ & ={\iiint }_{E}3dV\\ & =3\times \frac{4}{3}\times 3^3\pi \\ & =108\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

구하는 넓이 $S$는 영역 $D:x^2+y^2\le 4$에 대하여
$$\begin{array}{rl}S& ={\iint }_D\sqrt{1+4(x^2+y^2)}dA\\ & ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2}r\sqrt{1+4r^2}drd\theta \\ & =2\pi \times \frac{\pi }{12}(17\sqrt{17}-1)\\ & =\frac{\pi }{6}(17\sqrt{17}-1)\end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이

두 영역 $E_1,E_2$를
$$\begin{array}{rl}& E_1:2x^2+z^2\le 1,y^2+z^2\le 1\\ & E_2:x^2+z^2\le 1,y^2+z^2\le 1\end{array}$$
이라 하자. 그러면 우리가 구하는 넓이는 삼중적분으로
$${\iiint }_{E_1}1dV$$
와 같이 표현가능하다. 이제 $x=\frac{u}{\sqrt{2}}$로 변수변환하면 (나머지는 그대로)
$${\iiint }_{E_1}1dV=\frac{1}{\sqrt{2}}{\iiint }_{E_2}1dV$$
와 같은데, 삼중적분
$${\iiint }_{E_2}1dV$$
의 값은 $r=1$인 바이실린더의 부피이므로, $\frac{16}{3}$이다. 

따라서 구하는 부피는 $\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{16}{3}=\frac{8\sqrt{2}}{3}$이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이

경로 $C$의 내부를 $D$라고 하자. 
그러면 그린정리로부터 주어진 선적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\iint }_D(2-1)dA\\ & =\frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times 1\times \pi \\ & =\frac{\sqrt{2}}{2}\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이

영역 $S$의 내부를 $E_1$이라 하고, $E_1$의 내부에서 $z\ge 0$인 부분을 $E_2$라 하자.
그러면 발산정리와 대칭성으로부터 주어진 면적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\iiint }_{E_1}\text{div}FdV\\ & ={\iiint }_{E_1}(2x+1+2z)dV\\ & ={\iiint }_{E_1}1dV\\ & =2{\iiint }_{E_2}1dV\\ & =2\text{ii}\end{array}$$

 

 

 

2021 인하대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이

$\text{curl}F=(1,0,2)$이므로, 영역
$$D:{(x+\frac{1}{2})}^2+{(y+\frac{1}{2})}^2\le \frac{3}{2}$$
에 대하여 구하는 선적분의 값은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =3{\iint }_{D}1dA\\ & =3\times \frac{3}{2}\pi \\ & =\frac{9}{2}\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2021 인하대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~