MIT Integration Bee 2024 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

MIT Integration Bee 2024 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

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  ■ MIT Integration Bee란?

1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다.

문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.

부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.

정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.

 

  ■ 시간제한은 몇 분인가요?

본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.

 

  ■ 이외의 규칙이 있나요?

문제 및 정답 표기 시 $\log$는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다.

또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 

추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.

 

  ■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요?

구글에 MIT Integration Bee를 검색하시면 MIT edu 페이지에서 공개된 문제를

확인하실 수 있습니다. 문제지는 2010년부터 공개되어 있습니다.

기본적으로 Qualifier 문제들만 공개되며, 2022년부터는 Qualifier 문제 및

Regular Season, Quarterfinal, Semifinal, Final문제가 전부 공개됩니다.

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안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 제목과 같이 2024 MIT Integration Bee 문제들의 정답과 해설을

다룹니다. 해설(풀이)은 전부 제 풀이이며 따라서 오류가 있을 수 있습니다.

 

제 풀이에 오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

 

추가로, 2024년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설 링크는 본문 가장 아래에 있습니다.

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2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 1번

주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =2024\times 2\\ & =4048\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 2번

로그의 성질을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int \frac{(x+1{)}^{\ln (x-1)}}{(x+1{)}^{\ln (x-1)}}dx\\ & =\int 1dx\\ & =x\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 3번

(이 포스팅)을 참고하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =x^2+\int x\ln xdx\\ & =x^2+\frac{1}{4}\int 2x\ln (x^2)dx\\ & =x^2+\frac{1}{4}(2x^2\ln x-x^2)\\ & =\frac{1}{2}{x}^2\ln x+\frac{3}{4}{x}^2\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 4번

치환적분을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int \frac{1}{x(\ln x+2)}dx\\ & =\int \frac{1}{t}dt(\ln x+2=t)\\ & =\ln t\\ & =\ln (\ln x+2)\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 5번

${\sin }^{-1}x+{\cos }^{-1}x=\frac{\pi }{2}$임을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{2\pi }(\frac{\pi }{2}-{\sin }^{-1}(\sin x))dx\\ & =\frac{\pi }{2}\times 2\pi -0\\ & ={\pi }^2\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 6번

분자, 분모에 $\sin x\cos x$를 곱해 정리하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int \frac{\sin x{\cos }^{2}x+{\cos }^{2}x+\cos x+\sin x\cos x}{{\sin }^{2}x\cos x+{\sin }^{2}x+\sin x+\sin x\cos x}dx\\ & =\int \frac{(\sin x+1)({\cos }^{2}x+\cos x)}{(\cos x+1)({\sin }^{2}x+\sin x)}dx\\ & =\int \frac{\cos x}{\sin x}dx\\ & =\ln \sin x\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 7번

$x^{2024}-1={\left(x^{506}\right)}^4-1$임을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int ({\left(x^{506}\right)}^3+{\left(x^{506}\right)}^2+\left(x^{506}\right)+1)dx\\ & =\frac{1}{1519}{x}^{1519}+\frac{1}{1013}{x}^{1013}+\frac{1}{507}{x}^{507}+x\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 8번

피적분함수가 우함수임을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =2{\int }_0^1(5x^3-3x{)}^{2}dx\\ & =2{\int }_0^1(25x^6-30x^4+9x^2)dx\\ & =2(\frac{25}{7}-6+3)\\ & =\frac{8}{7}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 9번

이항정리를 이용하면 전개되어 생긴 모든 항은 홀수 자연수 $m$, 짝수 자연수 $n$에 대하여
$${\sin }^{m}x{\cos }^{n}x(m+n=11)$$
또는
$${\sin }^{n}x{\cos }^{m}x(m+n=11)$$
의 상수배이다. 그런데 임의의 홀수 자연수 $k$에 대하여
$${\int }_0^{2\pi }{\sin }^{k}xdx={\int }_0^{2\pi }{\cos }^{k}xdx=0$$
이고, 대칭성을 생각했을 때 짝수 지수의 삼각함수가 곱해져도 적분값은 변하지 않는다.

즉, 이항정리로 전개한 모든 항의 적분값이 $0$이므로 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =0\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 10번

$\sinh x+\cosh x=e^x$임을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{2\pi }{e}^{11x}dx\\ & =\frac{e^{22\pi }-1}{11}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 11번

식을 변형하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int \frac{{\csc }^{2}x}{{\cot }^{2024}x}dx\\ & =-\int \frac{1}{t^{2024}}dt(\cot x=t)\\ & =\frac{1}{2023}\times \frac{1}{t^{2023}}\\ & =\frac{1}{2023}{\tan }^{2023}x\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 12번

피적분함수가 $({\cos }^{x}x{)}^{\prime }$와 같으므로 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int ({\cos }^{x}x{)}^{\prime }dx\\ & ={\cos }^{x}x\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 13번

평행이동과 치환적분을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\frac{-x^2}{4}}dx\\ & =2{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t^2}(x=2t)\\ & =2\times \sqrt{\pi }\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 14번

구하는 적분값을 $I$라 하자. $x=\frac{1}{t}$로 치환하면
$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_{\frac{1}{e}}^e\frac{1}{t^2}(1-t^2)e^{t+\frac{1}{t}}dt\\ & =-{\int }_{\frac{1}{e}}^e(1-\frac{1}{t^2})e^{t+\frac{1}{t}}dt\\ & =-I\end{array}$$
이므로 $I=0$이다. 따라서 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =0\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 15번

$(x{e}^x-x{)}^{\prime }=e^x(x+1)-1$임을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int (e^x(x+1)-x)e^{x{e}^x-x}dx\\ & =\int e^{t}dt(x{e}^x-x=t)\\ & =e^t\\ & =e^{x{e}^x-x}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 16번

$f(x)={\tan }^{-1}x,g(x)={\tanh }^{-1}x$라 하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int (f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x))dx\\ & =\int (f(x)g(x){)}^{\prime }dx\\ & =f(x)g(x)\\ & ={\tan }^{-1}x{\tanh }^{-1}x\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 17번

$a_n=\sin \left(\frac{n}{2}\pi \right)$라고 하자. $n=0,1,2,\cdots$을 순서대로 대입하면
$$a_n:0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,\cdots$$
이므로 규칙성을 확인할 수 있다. 따라서 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int (x-x^3+x^5-x^7+\cdots )dx\\ & =\int x(1-x^2+x^4-x^6+\cdots )dx\\ & =\int x\times \frac{1}{1+x^2}dx\\ & =\frac{1}{2}\ln (x^2+1)\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 18번

시그마와 인테그랄의 순서를 바꿔 계산하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\sum _{n=0}^{2024}\frac{1}{2^{n-1012}+1}\\ & =\frac{1}{2^{-1012}+1}+\cdots +\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{2^{1012}+1}\\ & =(\frac{1}{2^{-1012}+1}+\frac{1}{2^{1012}+1})+\cdots +\frac{1}{2}\\ & =1\times 1012+\frac{1}{2}\\ & =\frac{2025}{2}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 19번

분자와 분모의 차수가 같으므로 직접 나누면 나머지정리로부터
$$x^4=\frac{1}{2}(2x^4-4x^3+6x^2-6x+3)=2x^3-3x^2+3x-\frac{3}{2}$$
가 성립한다. 따라서 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int (\frac{1}{2}+\frac{2x^3-3x^2+3x-\frac{3}{2}}{2x^4-4x^3+6x^2-6x+3})dx\\ & =\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\ln (2x^4-4x^3+6x^2-6x+3)\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 20번

분자 분모의 무한히 전개되는 부분부터 정리하자. 해당 부분을 $y$라고 두면
$$y=\frac{x+\cdots }{1+\cdots }=\frac{x+y}{1+y}$$
에서 양변에 $1+y$를 곱하면
$$y^2+y=x+y$$
에서 부호를 고려했을 때 $y=\sqrt{x}$이다. 따라서 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_1^3\frac{x+\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx\\ & ={\int }_1^3\sqrt{x}dx\\ & =2\sqrt{3}-\frac{2}{3}\end{array}$$
이다.

 

 

 

이상으로 2024 MIT Integration Bee 문제들에 대한 제 풀이를 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

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