[수학] 한 점에서 도함수가 양수지만 그 근방에서 증가하지 않는 함수

한 점에서 도함수가 양수지만 그 근방에서 증가하지 않는 함수

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 어떤 한 점에서 양수인 도함수를 갖지만 그 점을 포함하는 어떤 근방에서도

증가하지 않는 함수에 대해 다뤄보려고 합니다.

 

사실 직관적으로 생각해 본다면 한 점에서 도함수가 양수라는 사실은 그 점에서 기울기가 양수,

즉 증가하는것 처럼 생겼다고 예상해 볼 수 있습니다. 그런데 그 근방에서 증가하지 않는 함수라니

반직관적인 결론을 얻는 상황이죠.

 

이는 어떤 함수가 있을 때 미분을 통해 얻어낸 정보가 굉장히 국소적인 정보만을 포함하고,

그 국소적인 정보만으로 함수가 어떻게 생겼는지 파악할 수 없다는 말이기도 합니다.

 

그럼 반례를 알아보겠습니다.

 

 

 

반례

함수 

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{2}+x^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)& (x\ne 0)\\ 0& (x=0)\end{array}$$
에 대하여 다음이 성립한다.

1. $f^{\prime }(0)>0$

2. 함수 $f(x)$는 $x=0$을 포함하는 임의의 열린구간에서 증가함수가 아니다.

먼저 1번의 경우 쉽게 보일수 있는데요. 그냥 미분계수의 정의를 바로 이용하면
$$f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(h)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}(\frac{1}{2}+h\sin \left(\frac{1}{h}\right))=\frac{1}{2}>0$$
이므로 $x=0$에서 함수 $f(x)$의 도함수는 양수입니다.

 

그럼 이제 2번을 다뤄보겠습니다. 먼저 함수 $f(x)$는 미분가능하므로, 도함수를 구해보면

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}+2x\sin \left(\frac{1}{x}\right)-\cos \left(\frac{1}{x}\right)$$

입니다. 이제 임의의 자연수 $n$에 대하여

$$f^{\prime }\left(\frac{1}{n\pi }\right)$$

의 값을 조사해 보겠습니다. 우선 도함수의 식을 알고 있으므로 직접 계산하면
$$f^{\prime }\left(\frac{1}{n\pi }\right)=\frac{1}{2}+\frac{2}{n\pi }\sin (n\pi )-\cos (n\pi )$$

이 되는데, 임의의 자연수 $n$에 대하여 $\sin (n\pi )=0$이므로 식을 정리하면

$$f^{\prime }\left(\frac{1}{n\pi }\right)=\frac{1}{2}-\cos (n\pi )$$

이 됩니다. 이제 $n$이 홀수라면 $\cos (n\pi )=-1$, 짝수라면 $\cos (n\pi )=1$이기 때문에 최종적으로

$$f^{\prime }\left(\frac{1}{n\pi }\right)=\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{2}& (n=2k)\\ \frac{3}{2}& (n=2k-1)\end{array}k\in \mathbb{N}$$

이 성립합니다. 이 말은 $x=0$ 근방엔 항상 $f^{\prime }(x)$의 값이 $\frac{3}{2}$인 지점과, $-\frac{1}{2}$인 지점이 

모두 포함된다는 뜻입니다.

 

왜냐하면 수열 ${\displaystyle \frac{1}{n\pi }}$는 $n\to \mathrm{\infty }$일 때 $0$으로 수렴하기 때문인데요.

$0$으로 수렴한다는 말은 $0$에 원하는 만큼 가깝게 만들 수 있다는 얘기이기 때문입니다.

 

즉, 위에서 한 얘기를 정리하면 $x=0$을 포함하는 어떤 구간을 생각하더라도 그 구간엔 

$f^{\prime }(x)$가 $-\frac{1}{2}$인 지점이 포함되고, 따라서 어떤 구간을 생각해도 증가함수가 아니게 됩니다.

(비록 $f^{\prime }(0)>0$이지만요.)

 

어떤가요? 처음엔 어떤 점에서 양수인 도함수를 갖는다면, 대충 다항함수처럼 생겨서

'어느 구간'에서는 증가하는 그래프의 함수를 생각하시지 않았나요?

 

하지만 그렇지 않은 반례에 대해 알아봤고, 앞에서 말했듯 미분으로 얻는 정보는 굉장히 

국소적인 정보라는 사실을 확인할 수 있습니다.

 

실제로 위에서 다룬 함수 $f(x)$와 그 도함수 $f^{\prime }(x)$의 그래프를 살펴보면 아래와 같습니다.

 

함수 $f(x)$의 그래프

명확한 표현을 위해 $x=0$ 근방에서 조금 확대해서 캡처했는데요, 뭔가 증가하는 것처럼 생기긴 했지만

무한히 진동하며 감소하는 구간이 항상 존재하는 것을 눈으로 확인해 볼 수 있습니다.

 

아래는 도함수의 그래프입니다.

 

함수 $f^{\prime }(x)$의 그래프

도함수의 그래프를 확인하니 이제 더 직관적으로 $x=0$ 근처에서 음수인 지점과 양수인 지점이 

무한히 많이 존재함을 더욱 직관적으로 확인할 수 있습니다.

 

이번 포스팅은 여기까지입니다.

 

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~