2025학년도 9월 모의고사 수학 21번 풀이 (250921 풀이)

2025학년도 9월 모의고사 수학 21번 풀이 (250921 풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학 21번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 9월 모의고사 수학 21번

 

 

 

풀이

가장 먼저 이런류 문제가 나왔을 때 체크할 것은 각 경계가 같아지는 순간을 확인하는 것이다.

따라서 방정식

$$4k^2+14k=2k-8$$

을 풀면 

$$k=-2,-1$$

을 얻는다.

 

이제 다음과 같은 사실이 성립함을 이용하자.

무슨 의미냐 하면, 우리가 어떤 함수 $f(x)$가 주어졌을 때 미분이라는 연산을 통해 $f^{\prime }(x)$를 

구하는 것 처럼, 어떤 함수 $f(x)$가 주어지면 $f(x+2)-f(x)$를 구하는 연산을 생각해보자는 것이다.

(마치 미분처럼, 반대로 $f(x+2)-f(x)$를 통해 $f(x)$도 구할 수 있다.)

 

이로부터 함수 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이므로, 최고차항만 고려하면 함수

$$g(x)=\frac{f(x+2)-f(x)}{2}$$

는 최고차항의 계수가 $3$인 이차함수이고, 위에서 구한 $k=-2,-1$을 대입하면

$$g(-2)=-12,g(-1)=-10$$

이 성립한다. 따라서 인수정리를 이용하면

$$g(x)=3(x+2)(x+1)+2x-8$$

로 쓸 수 있다. 따라서 양변에 $2$를 곱하면

$$f(x+2)-f(x)=6x^2+22x-4$$

이고, 이를 위의 표에 나와있는 식들의 합으로 쓰면

$$\begin{array}{r}f(x+2)-f(x)=(6x^2+12x+8)+\frac{5}{2}(4x+4)-2\times 11\end{array}$$

이다. 따라서 위의 표를 통해 역으로 $f(x)$를 구하면

$$f(x)=x^3+\frac{5}{2}{x}^2-11x+C$$

이다. (상수 $C$의 값을 결정할 수 없음을 알 수 있는데, 왜 $f^{\prime }(3)$의 값을 물어본 것인지 알 수 있다.)

 

미분하면

$$f^{\prime }(x)=3x^2+5x-11$$

이므로 $f^{\prime }(3)=31$이다.

 

 

 

본문의 내용은 차분이라는 미분과 유사한 내용인데, 이를 이용해서 풀이했습니다.

물론, 이 방법을 이용하지 않더라도 정답을 내는데 지장은 없습니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 9월 모의고사 문제
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