2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (251028 풀이)

2025학년도 10월 모의고사 수학$미적분$ 28번 풀이 $251028풀이$

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 10월 모의고사 수학$미적분$ 28번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 10월 모의고사 수학$미적분$ 28번

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풀이

가장 먼저 두 함수의 그래프를 그려보면 다음과 같다.

$y=\frac{2\pi }{x},y=\cos x$의 그래프

이때 함수 $\cos x$가 극값을 갖는 지점을 기준으로 전부 세로선을 그어보면 

각각의 $a_n$들은 세로선으로 분할된 영역에 한 개씩 들어온다는 것을 알 수 있다.

 

즉, 

$$n\pi \le a_n\le (n+1)\pi$$

가 성립한다. 한편 $x=a_n$이 두 그래프의 교점이므로

$$\frac{2\pi }{a_n}=\cos a_n$$

이 성립하고, 이를 이용하면 구하는 값은

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}4n{\pi }^2\sum _{k=1}^n\frac{1}{(a_{n+k}{)}^2}$$

와 같음을 알 수 있다.

 

한편 위의 부등식에 $n+k$를 대입한 뒤 전부 제곱하여 역수를 취하면

$$\frac{1}{{\pi }^2(n+k+1{)}^2}\le \frac{1}{(a_{n+k}{)}^2}\le \frac{1}{{\pi }^2(n+k{)}^2}$$

이 성립한다.

 

이제 양변에 $n$을 전부 곱한 뒤 시그마와 리미트를 취할 것인데, 부등식의 가장 우변은

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{n}{{\pi }^2(n+k{)}^2}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{{\pi }^2{(1+\frac{k}{n})}^2}\\ & =\frac{1}{{\pi }^2}{\int }_0^1\frac{1}{(x+1{)}^2}dx\\ & =\frac{1}{2{\pi }^2}\end{array}$$

이고, 가장 좌변과 가장 우변의 차는

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{{\pi }^2}\sum _{k=1}^n(\frac{1}{(n+k+1{)}^2}-\frac{1}{(n+k{)}^2})& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{{\pi }^2}\times (\frac{1}{(2n+1{)}^2}-\frac{1}{(n+1{)}^2})\\ & =0\end{array}$$

이므로 $시그마가항끼리지워진다.$ 가장 좌변에 $n$을 곱하여 시그마, 리미트를 취한 값도 

가장 우변과 같은 값인 $\frac{1}{2{\pi }^2}$로 수렴한다.

 

따라서 샌드위치 정리를 이용하면 구하는 극한값은 

$$4n{\pi }^2\times \frac{1}{2{\pi }^2}=2$$

이다.

 

 

 

지난 2025학년도 6월 모의고사 30번과 비슷한 문제가 또다시 출제됐네요.

이런 류 문제가 대충 근사로 풀기는 간단한 편이기도 하면서, 정확히 부등식을 잡아서 풀어내기는 까다로운 편인 것 같습니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 10월 모의고사 문제
$클릭시이동$

- 2025학년도 10월 모의고사 수학 15번 
- 2025학년도 10월 모의고사 수학 20번 
- 2025학년도 10월 모의고사 수학 22번 
- 2025학년도 10월 모의고사 수학$미적분$ 28번 $현재$
- 2025학년도 10월 모의고사 수학$미적분$ 29번 
- 2025학년도 10월 모의고사 수학$미적분$ 30번