2025학년도 수능 수학(미적분) 30번 풀이 (251130 풀이)

2025학년도 수능 수학$미적분$ 30번 풀이 $251130풀이$

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학$미적분$ 30번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2025학년도 수능 수학$미적분$ 30번

 

 

 

풀이

반응형

먼저 $f(0)=0$이라는 조건으로부터

$$\sin b=0$$

을 얻고, 이 말은 곧 정수 $m$에 대하여

$$b=m\pi$$

꼴임을 알 수 있다.

 

다음으로 $f(2\pi )=2\pi a+b$임을 이용하면

$$\sin (2\pi a+b)=2\pi a+b$$

임을 얻는데, 방정식 $\sin x=x$의 실근은 $x=0$뿐이므로

$$2\pi a+b=0$$

이어야 함을 얻는다.

 

따라서 

$$a=-\frac{m}{2}$$

이고 $m$이 정수이므로 주어진 $a$의 범위를 생각했을 때 가능한 $a$의 값은

$$a=1,\frac{3}{2},2$$

로 세 가지 경우 뿐이다.

 

다음으로 $나$조건을 이용하면 미분하여 계산해봤을 때

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(0)& =(a+1)\cos b\\ f^{\prime }(4\pi )& =(a+1)\cos (4\pi a+b)\end{array}$$

이므로 $\sin x,\cos x$의 주기성 및 최솟값이 $4\pi$가 아닌 $2\pi$라는 사실로부터

$$a=\frac{3}{2}⟹b=-3\pi$$

로 특정이 가능하다.

 

이제 함수 $f(x)$가 극대인 지점을 찾기 위해 미분해보면

$$f^{\prime }(x)=\cos (\frac{3}{2}x-3\pi +\sin x)\times (\frac{3}{2}+\cos x)=0$$

의 실근을 조사해보면 되는데, 뒤의 항은 절대로 0이 될 수 없으므로 

$$\cos (\frac{3}{2}x-3\pi +\sin x)=0$$

의 실근만 조사해보면 된다.

 

그런데 함수 

$$p(x)=\frac{3}{2}x-3\pi +\sin x$$

는 증가함수이고, $p(0)=-3\pi ,p(4\pi )=3\pi$이므로 $-3\pi <x<3\pi$에서 함수 $\cos x$가

양수에서 음수로 변하는 지점의 개수를 구해보면 3이다. 따라서 $n=3$이다.

 

또, ${\alpha }_1$은 위에서 정의한 $p(x)$ $속함수$에 대하여 방정식

$$p(x)=-\frac{3}{2}\pi$$

의 근이 되고, $\sin$항이 날아가는 특수각 위주로 관찰하면 ${\alpha }_1=\pi$이다.

 

따라서 구하는 값은

$$3\pi +\frac{9}{2}\pi =\frac{15}{2}\pi$$

이므로 $p+q=17$이다.

 

 

 

문제를 처음 봤을때는 삼각함수 안에 삼각함수가 또 합성되어 있어 굉장히 까다로운 문제일 줄 알았는데

막상 풀어보니 그정도까지는 아니고, $작년수능30번$ 정도 난이도와 비슷한 것 같습니다.

다들 고생하셨습니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 수능 문제
$클릭시이동$

- 2025학년도 수능 수학 15번 
- 2025학년도 수능 수학 20번 
- 2025학년도 수능 수학 21번 
- 2025학년도 수능 수학 22번 
- 2025학년도 수능 수학$미적분$ 28번 
- 2025학년도 수능 수학$미적분$ 29번 
- 2025학년도 수능 수학$미적분$ 30번 $현재$