2010 MIT Integration Bee 해설 및 문제풀이 (Qualifier)

2010 MIT Integration Bee 해설 및 문제풀이

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  ■ MIT Integration Bee란?

1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다.

문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.

부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.

정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.

 

  ■ 시간제한은 몇 분인가요?

본시험에선 25문제 시험지 기준 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.

 

  ■ 이외의 규칙이 있나요?

문제 및 정답 표기 시 $\log$는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다.

또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 

추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.

 

  ■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요?

구글에 MIT Integration Bee를 검색하시면 MIT edu 페이지에서 공개된 문제를

확인하실 수 있습니다. 문제지는 2010년부터 공개되어 있습니다.

기본적으로 Qualifier 문제들만 공개되며, 2022년부터는 Qualifier 문제 및

Regular Season, Quarterfinal, Semifinal, Final문제가 전부 공개됩니다.

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안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 제목과 같이 2010 MIT Integration Bee 문제들의 정답과 해설을

다룹니다. 해설(풀이)는 전부 제 풀이이며 따라서 오류가 있을 수 있습니다.

 

추가로, 2010년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설 링크는 본문 가장 아래에 있습니다.

 

제 풀이에 오류, 오타 또는 궁금하신점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

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2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 1번

삼각함수의 덧셈정리로부터 

$$\sin (x)\sin (2x)=\frac{\cos (x)-\cos (3x)}{2}$$

이다. 또, 삼배각공식으로부터

$$\sin (3x)=3\sin x-4{\sin }^{3}x$$

가 성립한다. 이를 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\cos (x)-\cos (3x))\sin (3x)dx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(3\sin x\cos x-4{\sin }^{3}x\cos x-\sin (3x)\cos (3x))dx\\ & =\frac{1}{2}(\frac{3}{2}-1-\frac{1}{6})\\ & =\frac{1}{6}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 2번

배각 공식을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =8{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{3}x{\cos }^{4}xdx\\ & =8{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin x(1-{\cos }^{2}x){\cos }^{4}xdx\\ & =8{\int }_0^1(t^4-t^6)dt(\cos x=t)\\ & =8(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})\\ & =\frac{16}{35}\end{array}$$

이다. 

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 3번

$x-1=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int (t+2{)}^2{t}^{\frac{1}{3}}dt\\ & =\int (t^{\frac{7}{3}}+4t^{\frac{4}{3}}+4t^{\frac{1}{3}})dt\\ & =\frac{3}{10}{t}^{\frac{10}{3}}+\frac{12}{7}{t}^{\frac{7}{3}}+3t^{\frac{4}{3}}\\ & =\frac{3}{10}(x-1{)}^{\frac{10}{3}}+\frac{12}{7}(x-1{)}^{\frac{7}{3}}+3(x-1{)}^{\frac{4}{3}}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 4번

로그의 성질을 이용해 식을 정리하면

$$\int x\ln (1+\frac{1}{x})dx=\int x\ln (x+1)dx-\int x\ln xdx$$

가 성립한다. 이제

$$I=\int x\ln (x+1)dx,J=\int x\ln xdx$$

라고 하자. 각각을 계산하면

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{1}{2}{x}^2\ln (x+1)-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{x+1}dx\\ & =\frac{1}{2}{x}^2\ln (x+1)-\frac{1}{2}\int (x-1+\frac{1}{x+1})dx\\ & =\frac{1}{2}{x}^2\ln (x+1)-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\ln (x+1)\end{array}$$

이고

$$\begin{array}{rl}J& =\frac{1}{4}\int 2x\ln (x^2)dx\\ & =\frac{1}{4}\int \ln tdt(x^2=t)\\ & =\frac{1}{4}(t\ln t-t)\\ & =\frac{1}{2}{x}^2\ln x-\frac{1}{4}{x}^2\end{array}$$

이다. 따라서 우리가 구하는 적분값은

$$I-J=\frac{1}{2}{x}^2\ln (x+1)+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\ln (x+1)-\frac{1}{2}{x}^2\ln x$$

이다.

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 5번

$x=e^{-t}$로 치환한 뒤 라플라스 변환을 이용하면

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\sin }^{2}t{e}^{-t}dt\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(1-\cos (2t))e^{-t}dt\\ & =\frac{1}{2}\mathcal{L}{\{1-\cos (2t)\}}_{s=1}\\ & =\frac{1}{2}{(\frac{1}{s}-\frac{s}{s^2+4})}_{s=1}\\ & =\frac{2}{5}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 6번

분모 분자에 $e^x$를 곱한 뒤 $e^x=t$로 치환하면 부분분수 분해로부터

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int \frac{e^x}{e^x(3e^x+1)}dx\\ & =\frac{1}{t(3t+1)}dt(e^{x}t)\\ & =3\int \frac{1}{3t(3t+1)}dt\\ & =3\int (\frac{1}{3t}-\frac{1}{3t+1})dt\\ & =\ln t-\ln (3t+1)\\ & =x-\ln (3e^x+1)\end{array}$$

이다.

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 7번

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$임을 반복해서 적용하자. 그러면 피적분함수는

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{{\sin }^{3}x{\cos }^{5}x}& =\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\sin }^{3}x{\cos }^{5}x}\\ & =\frac{1}{\sin x{\cos }^{5}x}+\frac{1}{{\sin }^{3}x{\cos }^{3}x}\\ & =\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x{\cos }^{5}x}+\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\sin }^{3}x{\cos }^{3}x}\\ & =\cdots \\ & =\frac{\sin x}{{\cos }^{5}x}+\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}+\frac{3}{\sin x\cos x}+\frac{\cos x}{{\sin }^{3}x}\end{array}$$

이다. 한편 이는 모두 항별로 적분가능하므로

(3번째 항의 경우 배각공식을 통해 코시컨트로 만들어 적분한다.)

구하는 적분값은

$$\text{(Integral)}=\frac{16}{3}+\frac{3}{2}\ln 3$$

이다.

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 8번

$\sqrt{x^4-1}=t$로 치환하자. 그러면 

$$x^4-1=t^2⟹dx=\frac{t}{2x^3}dt$$

가 성립한다. 이로부터 

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{xt}\times \frac{t}{2x^3}dt\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2x^4}dt\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{t^2+1}dt\\ & =\frac{\pi }{4}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 9번

분자, 분모를 $x^6$으로 나누면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int \frac{x^{-6}}{1+x^{-5}}dx\\ & =-\frac{1}{5}\int \frac{1}{t}dt(1+x^{-5}=t)\\ & =-\frac{1}{5}\ln t\\ & =-\frac{1}{5}\ln (1+\frac{1}{x^5})\end{array}$$

이다.

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 10번

$$I={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{\tan x}dx,J={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{\cot x}dx$$

라고 하자. 그러면

$$\begin{array}{rl}I+J& ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x})dx\\ & =\sqrt{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2x}}dx\\ & =\sqrt{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{1-(\sin x-\cos x{)}^2}}dx\\ & =\sqrt{2}{\int }_{-1}^0\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt(\sin x-\cos x=t)\\ & =\frac{\sqrt{2}}{2}\pi \end{array}$$

이고

$$\begin{array}{rl}I-J& ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(\sqrt{\tan x}-\sqrt{\cot x})dx\\ & =\sqrt{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\sin 2x}}dx\\ & =-\sqrt{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{(\sin x+\cos x{)}^2-1}}dx\\ & =-\sqrt{2}{\int }_1^{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{t^2-1}}dt(\sin x+\cos x=t)\\ & =-\sqrt{2}{\cosh }^{-1}(\sqrt{2})\\ & =-\sqrt{2}\ln (1+\sqrt{2})\end{array}$$

이다. 따라서 우리가 구하는 적분값은

$$I=\frac{(I+J)+(I-J)}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\pi -\frac{\sqrt{2}}{2}\ln (1+\sqrt{2})$$

이다.

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 11번

$x=\tan t$로 치환하자. 그러면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (1+\tan t)dt\\ & =I\end{array}$$

이다. 이제 $x=\frac{\pi }{4}-t$로 치환하면

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (1+\tan (\frac{\pi }{4}-t))dt\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (1+\frac{1-\tan t}{1+\tan t})dt\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \left(\frac{2}{1+\tan t}\right)dt\\ & =\frac{\pi }{4}\ln 2-{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (1+\tan t)dt\\ & =\frac{\pi }{4}\ln 2-I\end{array}$$

이므로, 구하는 적분값은

$$I=\frac{\pi }{8}\ln 2$$

이다.

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 12번

$x=t^6$으로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =6{\int }_2^3\frac{t^3}{t^3-t^2}\times t^{5}dt\\ & =6{\int }_2^3\frac{t^6}{t-1}dt\\ & =6{\int }_2^3(t^5+t^4+\cdots +t+1+\frac{1}{t-1})dt\\ & =\frac{10747}{10}+6\ln 2\end{array}$$

이다.

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 13번

주어진 피적분함수는 $x^x$의 도함수이므로 구하는 적분은

$$\text{(Integral)}=x^x$$

이다.

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 14번

$x^{\frac{5}{2}}=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{2}{5}{\int }_1^2(t-1{)}^2\sqrt{t}dt\\ & =\frac{2}{5}{\int }_1^2(t^{\frac{5}{2}}-2t^{\frac{3}{2}}+t^{\frac{1}{2}})dt\\ & =\frac{88\sqrt{2}-32}{525}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 15번

$x=\tan t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sec }^{2}t}{{\sec }^{4}t}dt\\ & ={\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}tdt\\ & =\frac{1}{2}{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos (2t))dt=\frac{\pi }{8}-\frac{1}{4}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 16번

적분공식

$$\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln \left(\frac{a+x}{a-x}\right)$$

와 부분분수 분해를 이용하여 주어진 적분을 계산하면 

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^1\frac{1}{(x^2-4)(x^2-9)}dx\\ & =-\frac{1}{5}{\int }_0^1(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{9-x^2})dx\\ & =\frac{1}{5}{\int }_0^1(\frac{1}{4-x^2}-\frac{1}{9-x^2})dx\\ & =\frac{\ln 3}{20}-\frac{\ln 2}{30}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 17번

주어진 식에서 $\ln x=t$로 치환하면 구하는 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int \ln tdt\\ & =t\ln t-t\\ & =\ln x\ln (\ln x)-\ln x\end{array}$$

이다.

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 18번

분자 분모에 $\sin x$를 곱해 식을 정리하면 구하는 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int \frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}dx\\ & =\ln (\sin x-\cos x)\end{array}$$
이다.

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 19번

우선 주어진 피적분함수를 관찰했을 때 다항함수와 삼각함수가 혼재되어 있으므로

탄젠트 반각치환보단 몫미분 꼴을 의심해볼 수 있다. 분모의 미분꼴을 확인해보면

$$(x^2+x\cos x{)}^{\prime }=2x+\cos x-x\sin x$$

인데, 분자를 다시 쓰면

$$\cos x+x\sin x=(x^2+x\cos x{)}^{\prime }-2x(1-\sin x)$$

이다. 이를 이용해서 주어진 부정적분을 계산하면

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int \frac{(x^2+x\cos x{)}^{\prime }-2x(1-\sin x)}{x(x+\cos x)}dx\\ & =\int \frac{(x^2+x\cos x{)}^{\prime }}{x^2+x\cos x}dx-2\int \frac{1-\sin x}{x+\cos x}dx\\ & =\ln (x^2+x\cos x)-2\ln (x+\cos x)\\ & =\ln \left(\frac{x}{x+\cos x}\right)\end{array}$$

이다.

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 20번

주어진 적분을 다시 쓰면

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{\sin x\cos x+1}dx=I\end{array}$$

이다. 이제 $x=\frac{\pi }{2}-t$로 치환하면

$$I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{\sin x\cos x+1}dx$$

이다. 두 식을 더한 뒤 적분 공식 $$\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln \left(\frac{a+x}{a-x}\right)$$

을 이용하면 구하는 적분은

$$\begin{array}{rl}2I& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x+1}dx\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x+\cos x}{\frac{1-(\sin x-\cos x{)}^2)}{2}+1}dx\\ & =2{\int }_{-1}^1\frac{1}{3-t^2}dt(\sin x-\cos x=t)\\ & =4{\int }_0^1\frac{1}{3-t^2}dt\\ & =4\times \frac{1}{2\sqrt{3}}\ln \left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\right)\\ & =\frac{2}{\sqrt{3}}\ln \left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\right)\\ & =2I\end{array}$$

이다. 따라서 우리가 구하는 적분값은

$$I=\frac{1}{\sqrt{3}}\ln \left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\ln (2+\sqrt{3})$$

이다.

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 21번

분자와 분모를 $e^x$로 나눈 뒤 $e^{-x}=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-x}}{\sqrt{1+e^{-x}+e^{-2x}}}dx\\ & ={\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{t^2+t+1}}dt\\ & ={\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{{(t+\frac{1}{2})}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}}dt\\ & ={\sinh }^{-1}(\sqrt{3})-{\sinh }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\\ & =\ln (2+\sqrt{3})-\frac{1}{2}\ln 3\end{array}$$

이다.

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 22번

$x^2=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{1}{2}{\int }_0^{1}t{e}^{t}dt\\ & =\frac{1}{2}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 23번

피적분함수를 관찰해보면 같은꼴이 반복되는 형태이다. 피적분함수를 직접 구하기 위해 

피적분함수 전체를 $y$로 치환하면

$$y=\sqrt{1+x\sqrt{1+x\sqrt{1+x\sqrt{\cdots }}}}=\sqrt{1+xy}$$

이다. 양변을 제곱하면 $y$에 대한 이차방정식

$$y^2-xy-1=0$$

을 얻고 이를 근의 공식을 이용해서 풀면 부호를 고려했을 때

$$y=\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}$$

임을 얻는다. 따라서 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{1}{2}{\int }_0^1(x+\sqrt{x^2+4})dx\\ & =\frac{1}{4}+\frac{1}{2}{\int }_0^1\sqrt{x^2+4}dx\\ & =\frac{1}{4}+2{\int }_0^{{\tan }^{-1}(1/2)}{\sec }^{3}tdt(x=2\tan t)\\ & =\frac{1}{4}+(\sec t\tan t+\ln (\sec t+\tan t)){|}_0^{{\tan }^{-1}(1/2)}\\ & =\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{5}}{4}+\ln \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\end{array}$$

이다.

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 24번

$x=e^t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int (\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2})e^{t}dt\\ & =\int (e^t\times \frac{1}{t}-e^t\times \frac{1}{t^2})dt\\ & =\int (e^t\times \frac{1}{t}+e^t\times (-\frac{1}{t^2}))dt\end{array}$$

에서 $f(t)=e^t,g(t)=\frac{1}{t}$라고 했을때 곱미분의 역과정을 떠올리면

$$\begin{array}{rl}\int (e^t\times \frac{1}{t}+e^t\times (-\frac{1}{t^2}))dt& =\int (f^{\prime }(t)g(t)+f(t)g^{\prime }(t))dt\\ & =f(t)g(t)\\ & =\frac{e^t}{t}\\ & =\frac{x}{\ln x}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2010 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 25번

$x-1=t$로 치환한 뒤 베타함수와 감마함수를 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^1{t}^{\frac{1}{2}}(1-t{)}^{\frac{1}{2}}dt\\ & =\mathrm{B}(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)\times \mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }(3)}\\ & =\frac{1}{2!}\times {\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}\right)}^2\\ & =\frac{\pi }{8}\end{array}$$

이다.

 

 

 

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이상으로 2010 MIT Integration Bee 문제들에 대한 제 풀이를 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

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