[편입] 2021 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2021 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2021년 가천대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 가천대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(가천대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)

 

2021년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

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2021 가천대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

$$\cosh x\approx 1+\frac{x^2}{2}$$
임을 이용하면
$$\underset{x\to 0}{lim}(\cosh x{)}^{\frac{1}{x}}\approx \underset{x\to 0}{lim}{(1+\frac{x^2}{2})}^{\frac{1}{x}}=e^0=1$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

$$f^{\prime }(x)=2{\tan }^{-1}x\times \frac{1}{1+x^2}$$
이므로 $f^{\prime }(-\sqrt{3})=-\frac{\pi }{6}$이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

$x=\sec t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{\frac{\pi }{3}}{\tan }^{2}xdx\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{3}}({\sec }^{2}x-1)dx\\ & =\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x+2y}{2x+y}=-\frac{5}{4}$$
이므로 구하는 직선의 방정식은
$$y=-\frac{5}{4}(x-1)+2$$
이고 계산을 통해 $a=\frac{13}{5}$임을 알 수 있다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

주어진 극한값을 정적분으로 바꾸면
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^{\frac{3}{2}}={\int }_0^1{x}^{\frac{3}{2}}dx=\frac{2}{5}$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

구하는 평면의 방정식이 점 $(2,2,1)$을 지나므로 대입하면
$$2a+2b=22⟹a+b=11$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

근판정법을 이용하면
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|{(1+\frac{1}{n})}^{n}x\right|=|ex|\le 1⟹|x|\le \frac{1}{e}$$
이므로 수렴반지름은 $\frac{1}{e}$이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

모든 고윳값의 합은 대각합과 같으므로
$$\text{tr}(A)=20+21=41$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

[풀이 1]
직접 미분을 하면
$$f^{\prime }(x)=\frac{(1+x)-2(1+x)\ln (1+x)}{(1+x{)}^4}$$
에서 임계점은 $x+1=\sqrt{e}$일 때이다. 이를 원래의 식에 대입하면
$f(x)=\frac{1}{2e}$이다. 

또, 도함수 $f^{\prime }(x)$의 부호가 임계점을 기준으로 양수에서 음수로 변하므로 
주어진 임계점에서의 함숫값이 극대(최대)가 되며 $\frac{1}{2e}$가 최댓값이다.


[풀이 2]
이미 $\frac{\ln x}{x}\le \frac{1}{e}$임을 알고 있는 상황에서 쓸 수 있는 풀이이다.

분자, 분모에 $2$를 곱하면
$$\begin{array}{rl}f(x)& =\frac{2\ln (x+1)}{2(x+1{)}^2}\\ & =\frac{\ln (x+1{)}^2}{2(x+1{)}^2}\\ & \le \frac{1}{2}\times \frac{1}{e}\end{array}$$
이므로 구하는 최댓값은 $\frac{1}{2e}$이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

심장형 곡선안에 원이 완전히 들어가므로 심장형 곡선의 넓이에서 원의 넓이를 빼자.
심장형 곡선의 넓이는 $\frac{3\times 2^2}{2}\pi =6\pi$이고 원의 넓이는 $4\pi$이므로
구하는 넓이는 $2\pi$이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

절편이 $a$인 성망형 곡선을 한 축을 기준으로 회전시켜 얻은 회전체의 겉넓이 $S$는
$$S=\frac{12a^2\pi }{5}$$
이다. 이때 정의역을 보면 주어진 회전체는 전체 회전체의 절반이므로 
위 공식에 $a=5$를 대입한 뒤 $2$로 나눠주면 구하는 겉넓이 $S$는
$$S=30\pi$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

식을 변형하여 쌍곡선 $y=\frac{8}{x}$위의 점 $(a,b)$을 생각하자.
그럼 $x=a$에서의 접선과 두 점 $(a,b),(3,0)$을 지나는 직선은 수직이다.
즉,
$$-\frac{8}{a^2}\times \frac{-b}{3-a}=-1$$
이고 $b=\frac{8}{a}$를 대입한 뒤 식을 정리하면
$$\frac{64}{a^3(a-3)}=1⟹a=4$$
임을 얻는다. 따라서 $b=2$이고 $3a+b=14$이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

$$\begin{array}{rl}& F^{\prime }(x)=2xf(x^2)\\ & F^{″}(x)=2f(x^2)+4x^2{f}^{\prime }(x^2)\end{array}$$
이므로
$$F^{″}\left(\sqrt{3}\right)=2f(3)+12f^{\prime }(3)=-24$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

주어진 점에서의 경도를 구하면
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }f& =(2xy,x^2+\frac{1}{2\sqrt{y}})\\ & =(4,\frac{9}{2})\end{array}$$
이다. 가장 빠르게 증가하는 방향으로의 방향도함수의 값은 그 지점에서의 경도의 크기와 같으므로
$$|\mathrm{\nabla }f|=\frac{\sqrt{145}}{2}$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

기본행연산을 통해 $\alpha =-3$임을 알 수 있다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

연쇄법칙을 이용하면
$$\begin{array}{rl}{w}_{\theta }& =w_x{x}_{\theta }+w_y{y}_{\theta }+w_z{z}_{\theta }\\ & =-2(\pi +2)+0+2\times 2\\ & =-2\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

산술기하평균 부등식을 이용하면
$$3=x^2+y^2+z^2\le 3(xyz{)}^{\frac{2}{3}}⟹-1\le xyz\le 1$$
이므로 $a=1,b=-1$이고 $ab=-1$이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

ㄱ. 세 단위벡터 $u,v,w$에 대하여 주어진 조건은 $u\circ (v-w)=0$과 같고 이는
$u$와 $v-w$가 수직이거나, $v=w$임을 의미한다. 따라서 꼭 $v=w$일 필요는 없다.

ㄴ. 세 단위벡터 $u,v,w$에 대하여 주어진 조건은 $u\times (v-w)=0$과 같고 이는
$u$와 $v-w$가 평행이거나 $v=w$임을 의미한다. 따라서 꼭 $v=w$일 필요는 없다.

ㄷ. 위의 둘을 동시에 만족하려면 $v=w$여야 한다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

발산정리를 사용하기 위해 벡터장 $F$의 발산 $\text{div}F$를 계산해보면
$$\text{div}F=2x\sin y-x\sin y-x\sin y=0$$
이다. 따라서 구하는 면적분의 값은 $0$이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

선택지 1, 2, 3, 4번의 행렬식은 순서대로
$$4,\frac{1}{16},16,32$$
이므로 4번이 정답이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

원 $C$의 내부를 $D$라고 하고 그린정리를 사용하면 구하는 선적분의 값은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\iint }_D(2x+2)dA\\ & =2\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

주어진 타원면의 내부이면서 원기둥 바깥인 영역을 $E_1$이라 하면 구하는 부피 $V$는 
$$V={\iiint }_{E}1dxdydz$$
이다. 이제 $z=2Z$로 변수변환하자. 그러면 $dxdydz=2dxdydZ$이고
$x^2+y^2+z^2=4$의 내부이면서 $x^2+y^2=1$의 외부인 영역을 $E_2$라 할 때
$$\begin{array}{rl}V& ={\iiint }_{E_1}1dxdydz\\ & =2{\iiint }_{E_2}1dxdydZ\end{array}$$
이다. 

이제 위 그림처럼 회색 영역을 $z$축을 기준으로 회전하여 얻은 입체의 $2$배를 하면
삼중적분 ${\iiint }_{E_2}1dxdydZ$의 값과 같음을 알 수 있다. 
(2배를 하는 이유는 아랫부분도 구해줘야 하기 때문이다.)

그러면 회색 영역을 회전시켜 얻은 회전체의 부피 $V^{\prime }$은 
$$\begin{array}{rl}{V}^{\prime }& =2\pi {\int }_1^{2}x\sqrt{4-x^2}dx\\ & =2\pi \sqrt{3}\end{array}$$
이다. 따라서 원래 구하던 부피 $V$는
$$\begin{array}{rl}V& ={\iiint }_{E_1}1dxdydz\\ & =2{\iiint }_{E_2}1dxdydZ\\ & =2\times (2V^{\prime })\\ & =8\pi \sqrt{3}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

역변환을 통해 $f(t)$를 구하면
$$\begin{array}{rl}f(t)& =u(t-\pi )L^{-1}\left(\frac{1}{s^2+4}\right){|}_{t-\pi }\\ & =u(t-\pi )\frac{1}{2}\sin (2t){|}_{t-\pi }\end{array}$$
이므로, ${\displaystyle f\left(\frac{5\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}}$이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

주어진 식을 정리하면
$$\frac{\sin x}{1+\cos x}dx=\frac{e^y}{1+e^y}dy$$
이고 변수분리가 가능한 미분방정식이다. 양변을 적분하면
$$\begin{array}{rl}-\ln (1+\cos x)& =\ln (1+e^y)+C\\ & =\ln (1+e^y)-2\ln 2\end{array}$$
이다. 따라서 $1+e^y=4$를 만족시켜야 하므로 ${\displaystyle y\left(\frac{\pi }{2}\right)=\ln 3}$이다.

 

 

 

2021 가천대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

이중적분의 순서변경을 이용하면 주어진 이중적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^1{\int }_0^{y^2}\frac{2x{e}^{y^2}}{y^3}dxdy\\ & ={\int }_0^{1}y{e}^{y^2}dy\\ & =\frac{e-1}{2}\end{array}$$

이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2021년 가천대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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