2024학년도 10월 모의고사 수학 20번 풀이 (241020 풀이)

2024학년도 10월 모의고사 수학 20번 풀이 (241020 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 수학 20번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2024학년도 10월 모의고사 수학 20번

 

 

 

풀이

우변을 전개하면

$$\begin{array}{rl}2x^{2}f(x)& =3f(x){\int }_0^x(x-t)dt+3{\int }_0^x(x-t)f(t)dt\\ & =\frac{3}{2}{x}^{2}f(x)+3{\int }_0^x(x-t)f(t)dt\end{array}$$

이고, 식을 정리하면

$$x^{2}f(x)=6{\int }_0^x(x-t)f(t)dt$$

이다. 그런데 우변의

$${\int }_0^x(x-t)f(t)dt$$

를 두 번 미분하면 $f(x)$가 된다. 즉, 이는 $f(x)$를 두 번 적분한 식과 같다.

 

그런데 앞에 곱해진 $6$을 봤을 때, $f(x)$는 일차식이고, 상수항은 존재하지 않는다.

($6=2\times 3$이므로, $x$를 두 번 적분했다고 생각하면 된다.)

(상수항이 존재하지 않는 이유는 항별로 생각해보면 계수가 맞지 않기 때문이다.)

 

따라서 $f(x)=ax$이고, $f^{\prime }(2)=4$에서 $a=4$이다. 즉, $f(6)=24$이다.

 

 

 

특별한 발상 없이 단순 계산을 통해 해결했습니다.

블로그에서 다룬 2024학년도 10월 모의고사 문제
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