편입수학 기출문제 풀이/세종대

[편입] 2018 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

수학올인 2023. 10. 29. 05:37
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[편입] 2018 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2018년 세종대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 세종대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(세종대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

삼각함수의 성질(sin(πx)=sinx)을 이용하면
sin1(sin5π7)=sin1(sin2π7)=2π7
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

쌍곡함수의 성질을 이용하면
coshx1+sinh2x=1
이므로 주어진 극한값은 2이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

주어진 극곡선의 길이 L
L=01e2θ+e2θdθ=201eθdθ=2(11e)
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

x=0 근방에서
ln(1+x)x12x2
이므로
ln(1+x)x112x
이다. 따라서 a=12,b=1이므로 a+b=12이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

부분적분을 이용하면 주어진 적분은
(Integral)=12x2tan1x|011201x2x2+1dx=π81201(11x2+1)dx=π412
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

주어진 함수는 2차 동차함수이므로
xfx+yfy+zfz=2f(x,y,z)
가 성립한다. 따라서 
g(1,1,1)=2f(1,1,1)=14
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

방향도함수의 최댓값은 경도벡터의 크기와 같다. 따라서
f=(1,2,3)|f|=14
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

주어진 행렬을 A라 하면 고윳값 0에 대응하는 고유공간의 차원 V
V=5rank(A)=4
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

구하는 값은 함수 f(x)의 x=0에서의 급수전개에서 x40의 계수이다.
x=0 근방에서
ln(1+x10)x1012x20+13x30tan1x10x1013x30
이므로 둘을 곱했을 때 x40의 계수는
(1313)x40=0
이므로 구하는 값은 0이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

구하는 값은
min(|2|,|23|)=23
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

구하는 넓이는 사이클로이드의 한 아치의 절반의 넓이에서
세 직선 y=0,x=π,y=2πx가 이루는 삼각형의 넓이를 뺀 것과 같다.
따라서 구하는 넓이 S
S=32π12×2×π=π2
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

각각 계산하는것이 아닌 한번에 계산하는 방법을 이용하면
a2016+a2018=0π4(tan2016x+tan2018x)dx=0π4tan2016x(1+tan2x)dx=0π4tan2016xsec2xdx=01t2016dt(tanx=t)=12017
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

극좌표를 이용하면 주어진 이중적분은
(Integral)=02π01r1r2drdθ=23π
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
(Integral)=0202yy212ydxdy=02ydy=432
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

6=x2+2y2+3z23(6x2y2z2)13
에서 식을 정리하면 
(xyz)243
이므로 xyz의 최대는 233이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

통분하면 구하는 값은
1a+1b+1c=ab+bc+caabc=C11+C22+C33detA=2+0+01=2
이다. (단, Cnm은 여인수이다.)

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

경로 C의 내부를 D라 하자.
그린정리를 이용하면 주어진 적분은
(Integral)=DeydA=0202eydydx=2(e21)
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

먼저 주어진 식을 미분하면
f(x)=1(2+cosx)2
임을 확인하자. 
구하는 식에서 f(x)를 미분하고 cosx를 적분하는 부분적분을 하면 주어진 적분은
(Integral)=f(x)sinx|0π2+0π2sinx(2+cosx)2dx=0+231t2dt(2+cosx=t)=16
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

우변을 전부 좌변으로 이항하여 
f(x,y,z)=(x+2y2+z)212x+3y2+6z=0
을 생각하자. 조건을 만족시키는 (x,y)=(a,b) 근방에서 z는 x,y에 대한
이변수함수의 꼴로 나타난다. 즉,
zx=zy=0
이다. 그런데 음함수의 미분법으로부터
zx=fxfz=2(x+2y2+z)122(x+2y2+z)+6=0zy=fyfz=8y(x+2y2+z)+6y2(x+2y2+z)+6=0
이 성립한다. 따라서 첫번째 식에서
x+2y2+z=6
이고 두번째 식에서
y=0orx+2y2+z=34
이다. 그런데 두 등식을 동시에 만족시켜야 하므로
x+2y2+z=6,y=0
이다. 따라서 y=0을 왼쪽 식에 대입하면 x+z=6임을 얻는다.

한편 이 두 식을 가장 처음의 f(x,y,z)=0에 대입하면
12x6z=362xz=6
이다. 둘을 연립하면 x=4,z=2이고 y=0이다.

따라서 a=4,b=0,c=2이므로 구하는 값은 2이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

주어진 행렬은 대칭행렬이며, rank(A)=3이다.

ㄱ. rank(A)=3이므로 참이다.

ㄴ. 대칭행렬이므로 맞다.

ㄷ. 1×12×23×3 크기의 주부분행렬식이 모두 양수인지 확인하자.

1×1크기의 주부분행렬식은
det(2)=2>0
2×2크기의 주부분행렬식은
det(2001)=2>0
3×3크기의 주부분행렬식은
det(201011101)=1>0
이므로 주어진 행렬은 양의 정부호 (양정치)행렬이다. 따라서 참이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

구하는 부피 V는 영역 D:(5xy)2+(x+y)26에 대하여
V=D(6(5xy)2(x+y)2)dA
이다. 이제 5xy=ux+y=v로 변수변환하면 주어진 이중적분은
(Integral)=16D(6u2v2)dA(D:u2+v26)=1602π06r(6r2)drdθ=3π
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

x=f(t)로 치환하면 주어진 적분은
(Integral)=01tf(t)f(t)dt=t2(f(t))2|011201(5t4+4t)dt=3
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

주어진 매개곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이는 매개곡선과 x축이 이루는 넓이의 2배와 같다.
x축과 만나는 지점을 구하기 위해 방정식
y=cos2ttant=0
을 풀면 
t=0,π4
를 얻는다. 따라서 구하는 넓이 S
S=20π4ydxdtdt=80π4sin2tcos2tdt=40π4(cos2tcos22t)dt=20π2(cos2ucosu)(2t=u)=π22
이다. 그런데 이는 음수이므로 넓이가 될 수 없다.

이런 문제가 발생한 이유는 곡선의 진행방향을 고려하지 않아서 생긴 것인데,
쉽게 말하면 우리는 x축과 곡선이 이루는 영역의 부호있는 넓이를 구했는데
윗부분을 구하면 양수가 나오고, 아랫부분을 구하면 음수가 나올것이다.

우리는 아랫부분을 구했기 때문에 음수가 나온것이고, (1)을 곱해주면 구하는 넓이는
S=2π2
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

주어진 이상적분이 문제가 되는 지점은 x=1이다.
분자의 식을 x=1을 기준으로 테일러전개하면
xxx=x(xx11)=x(exp((x1)lnx)1)x(exp((x1)212(x1)3+)1)x(1+(x1)21)=x(x1)2
이다. 따라서 주어진 이상적분은 x=1 근방에서 근사적으로
12x(x1)2(x1)pdx
와 같으므로, 이가 수렴하도록 하는 자연수 p의 최댓값은 2이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

함수 sin1x가 정의되려면 1x1이어야 한다.
이를 바탕으로 주어진 곡면이 정의되는 범위는
1x2+y221
이고, 정리하면 
1x2+y23
이다. 한편 
x2+y2=1z=π2x2+y2=3z=7π2
이므로, 구하는 영역을 옆에서 보면 다음 그림과 같다.


해당 영역의 부피를 구하기 위해 전체 영역을 아래 그림과 같이 세 영역으로 나누자.

가장 큰 원기둥의 부피는 
V=3π×7π2=212π2
이고, 작은 원기둥 (초록색)의 부피는
V=π×12π=12π2
이다. 중간 영역 (빨간색)의 부피는 회전체의 부피를 이용하면
V=2π13x(sin1(x22)+πx2)dx=4π2
이다. 이상을 종합하면 구하는 부피(흰색) V는 
V=VVV=6π2
이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2018 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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