[편입] 2022 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2022 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2022년 세종대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 세종대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(세종대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

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2022 세종대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

$f_{yx}=12x(2y+1{)}^2$이므로 구하는 값은 $216$이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

매개변수로 정의된 함수의 미분법으로부터
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{3t^2-17}{4t^3}$$
이고
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=(-\frac{3}{4t^2}+\frac{51}{4t^2})\times \left(\frac{1}{4t^3}\right)$$
이다. 따라서 $t=1$을 대입하면
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=3$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

$${\cos }^{-1}\cos \frac{4\pi }{3}={\cos }^{-1}\cos \frac{2\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$$
이므로
$$\begin{array}{rl}f(\cos \frac{4\pi }{3})& =(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})\frac{2\pi }{3}\\ & =-\frac{1+\sqrt{3}}{3}\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

구하는 곡선의 길이 $L$은
$$\begin{array}{rl}L& ={\int }_0^3\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx\\ & ={\int }_0^3(x^2+1)dx\\ & =12\end{array}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

먼저 역쌍곡함수의 정의로부터 
$${\sinh }^{-1}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$$
임에 주목하자 그러면 (역함수 적분의 항등식) 으로부터
$${\int }_0^1{\sinh }^{-1}xdx+{\int }_0^{{\sinh }^{-1}1}\sinh xdx={\sinh }^{-1}1$$
이 성립한다. 따라서 구하는 적분값은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\sinh }^{-1}1-{\int }_0^{{\sinh }^{-1}1}\sinh xdx\\ & =\ln (1+\sqrt{2})+1-\sqrt{2}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

구하는 곡선의 길이 $L$은
$$\begin{array}{rl}L& ={\int }_0^{\sqrt{5}}\sqrt{{\theta }^4+4{\theta }^2}d\theta \\ & ={\int }_0^{\sqrt{5}}\theta \sqrt{{\theta }^2+4}d\theta \\ & =\frac{19}{3}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

$x=\cos t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{\frac{\pi }{3}}{t}^2\sin tdt\\ & =(-t^2\cos t+2t\sin t+2\cos t){|}_0^{\frac{\pi }{3}}\\ & =1+\frac{\sqrt{3}}{3}\pi -\frac{{\pi }^2}{18}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

구하는 겉넓이 $S$는
$$\begin{array}{rl}S& =2\pi {\int }_0^{2}x\sqrt{1+4x^2}dx\\ & =\frac{\pi }{6}(17\sqrt{17}-1)\end{array}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

주어진 대칭행렬을 직교대각화하여 얻은 행렬의 주대각선에 나타나는 수는
행렬 $A$의 고유치와 같다. 고유치들의 곱은 행렬식과 같으므로 구하는 값은
$$detA=8$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

구하는 회전체의 부피 $V$는
$$\begin{array}{rl}V& =2\pi {\int }_0^{1}x{e}^{-x^2}dx\\ & =\pi (1-\frac{1}{e})\end{array}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

문제에서 주어진 상황을 만족하려면 행렬 $A$가 양의 정부호 (양정치)행렬이면 된다.
따라서 행렬 $A$의 모든 주부분행렬식이 양수가 되도록 하면 된다.
$1\times 1$의 경우)
$$det|4|=4>0$$
이므로 양수이다.

$2\times 2$의 경우)
$$det\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& a\end{array}\right)=4a-4$$
이다.

$3\times 3$의 경우)
$$detA=-2(2-2a+2b^2)$$
이다.

두 식을 정리하면 아래와 같은 식을 얻는다.
$$\begin{array}{rl}& a>1\\ & a-b^2>1\end{array}$$
이를 만족시키지 않는 선지는 3번 뿐이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

$x=4$에서 함수 $f(x)$의 테일러급수는
$$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(4)}{n!}(x-4{)}^n\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-2{)}^n}{3^n(n+1)}(x-4{)}^n\end{array}$$
이다. 따라서 주어진 급수의 수렴 반지름은 비율판정법으로부터 $\frac{3}{2}$이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

주어진 벡터장의 포텐셜함수가 $f(x,y)=x^{2}y{e}^{2y}$이다.
따라서 선적분의 기본정리를 적용하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =x^{2}y{e}^{2y}{|}_{(0,0)}^{(1,1)}\\ & =e^2\end{array}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

행렬 $A$가 unitary대각화 가능함과 필요충분조건은 행렬 $A$가 정규행렬 (normal)인 것이다.
즉, 켤레전치 $\ast$에 대하여 $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A$여야 한다. 

 

이때 두 행렬 $A{A}^{\ast }$, $A^{\ast }A$를 직접 계산해보면 1행 1열, 2행 2열은 같고

1행 2열, 2행 1열은 부호만 다르다.

 

따라서 둘이 같아지려면 1행 2열과 2행 1열이 $0$이 되어야 하며 이는 곧

$$ad-bc=0$$

임을 의미한다. 

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

적분순서를 변경하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^1{\int }_x^{x^3}{e}^{-x^2}dydx\\ & ={\int }_0^{1}x(1-x^2)e^{-x^2}dx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^1(1-t)e^{-t}dt(x^2=t)\\ & =\frac{1}{2e}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

ㄱ. $\frac{1}{n\sqrt{n}}$와의 극한비교판정법으로부터 수렴한다.

ㄴ. 일반항의 극한이 $0$이 아니므로 발산한다.

ㄷ. 교대급수판정법으로부터 수렴한다.

ㄹ. 어떤 자연수 $N$가 존재해서 $n>N$인 모든 자연수에 대하여
$$\frac{1}{n\sqrt{\ln n}}>\frac{1}{n}$$
이 성립한다. 따라서 비교판정법으로부터 발산한다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

주어진 식
$$4x^2+4xy+2y^2+z^2=1$$
은 이차형식으로 나타낼 수 있다. 
이차형식으로 표현했을 때 대칭행렬은
$$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 0\\ 2& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
이다. 이제 이 이차형식이
$$a{u}^2+b{v}^2+c{w}^2=1$$
와 같이 직교대각화를 통해 나타내어진다고 가정하자. 
(단, $a,b,c$는 행렬 $A$의 고유치이다.) 여기서
$$\begin{array}{rl}& u\sqrt{a}=x\\ & v\sqrt{b}=y\\ & w\sqrt{c}=z\end{array}$$
로 변수변환하면 영역 $E:x^2+y^2+z^2\le 1$에 대하여 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{1}{\sqrt{abc}}{\iiint }_E(x^2+y^2+z^2{)}^{2}dV\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{\int }_0^1{\rho }^6\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta \\ & =\frac{2}{7}\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

$2x-1=u,y=v$로 치환하면 $dx=\frac{1}{2}du,dy=dv$이므로 주어진 선적분은
$$\text{(Integral)}={\int }_{C^{\prime }}\frac{-v}{u^2+v^2}du+\frac{u}{u^2+v^2}dv$$
이다. (단, $C^{\prime }$은 변수변환으로 옮겨진 경로 $C$이다.)

그러면 경로 $C^{\prime }$은 원점을 두 번 포함하는 반시계방향의 단순폐곡선이다.
즉, 구하는 선적분은
$${\int }_{C^{\prime }}\frac{-v}{u^2+v^2}du+\frac{u}{u^2+v^2}dv$$
이며, 이때 $C^{\prime }$은 원점을 두 번 반시계방향으로 도는 경로이므로, 선적분값은 $2\times 2\pi =4\pi$이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

주어진 곡면의 내부를 $E$라고 하자. 발산정리로부터 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\iiint }_E\text{div}FdV\\ & ={\iiint }_{E}3x^{2}dV\end{array}$$
이다. 이제 
$$x=u,\sqrt{2}y=v,2z=w$$
로 변수변환하면 영역 $E^{\prime }:u^2+v^2+w^2\le 1$에 대하여
$$\begin{array}{rl}{\iiint }_{E}3x^{2}dV& =\frac{1}{2\sqrt{2}}{\iiint }_{E^{\prime }}3u^{2}dV\\ & =\frac{1}{2\sqrt{2}}{\iiint }_{E^{\prime }}(u^2+v^2+w^2)dV\\ & =\frac{1}{2\sqrt{2}}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{\int }_0^1{\rho }^4\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta \\ & =\frac{\sqrt{2}}{5}\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

ㄱ. $\ln x$를 무시하면 수렴한다.

ㄴ. 디리클레판정법으로부터 수렴한다.

ㄷ. 계산을 통해 수렴함을 알고있다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

산술기하평균 부등식을 이용하면
$$\begin{array}{rl}& x^2+y^2+z^2\\ & =x^2+\frac{1}{2}{y}^2+\frac{1}{2}{y}^2+\frac{1}{3}{z}^2+\frac{1}{3}{z}^2+\frac{1}{3}{z}^2\\ & \ge 6{\left(\frac{x^2{y}^4{z}^6}{2^2{3}^2}\right)}^{\frac{1}{6}}\\ & =6{\left(\frac{1}{12}\right)}^{\frac{1}{6}}\end{array}$$
이 성립한다. 이때 등호는
$$x^2=\frac{1}{2}{y}^2=\frac{1}{3}{z}^2$$
일 때 성립하는데, 모든 식을 $z$에 대해 정리하면
$$x^2=\frac{1}{3}{z}^2,y^2=\frac{2}{3}{z}^2$$
이다. 이를 곡면 $x{y}^2{z}^3=3$에 대입하자.
그런데 그냥 대입하면 차수가 맞지 않으므로 양변을 제곱한 곡면
$$x^2{y}^4{z}^6=9$$
에 대입하면
$$z^{12}=\frac{243}{4}=m^{12}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

영역 $D:x^2+4y^2\le 1$에 대하여 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{array}{rl}S& ={\iint }_D\sqrt{1+4x^2+16y^2}dA\\ & =\frac{1}{2}{\iint }_{x^2+y^2\le 1}\sqrt{1+4x^2+4y^2}dA\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{1}r\sqrt{1+4r^2}drd\theta \\ & =\frac{\pi }{12}(5\sqrt{5}-1)\end{array}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

$<,>$를 내적이라 하자. 주어진 조건에서 
$$<Tx,y>=<x,Ty>$$
가 성립한다. (단, $T$는 변환 $T$의 표현행렬이다.)

한편 임의의 행렬 $A$에 대하여
$$<Ax,y>=<x,A^{T}y>$$
가 성립하므로, $T=T^T$여야 한다. 즉, $T$는 대칭행렬이다.

한편 변환 $R$의 표현행렬을 $R$이라 하면 $R$은 직교행렬이고,
$$S=R^{-1}TR$$
을 만족시키는 대칭행렬 $T$와 직교행렬 $R$이 존재하고
$$S^T=(R^{-1}TR{)}^T=R^{-1}TR=S$$
이므로, 행렬 $S$는 항상 대칭행렬이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

$xz$평면을 바닥으로, $y$를 높이로 생각하면 구하는 부피 $V$는
$$\begin{array}{rl}V& ={\int }_{-1}^1{\int }_{x^2}^1{\int }_0^{z}1dydzdx\\ & ={\int }_{-1}^1{\int }_{x^2}^{1}zdzdx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_{-1}^1(1-x^4)dx\\ & ={\int }_0^1(1-x^4)dx\\ & =\frac{4}{5}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

$P(x,y,z)$라 하자. 주어진 조건을 만족시키려면 구면 위의 점 $P$에서의 경도벡터
$$\mathrm{\nabla }S=(x,y,z)$$
와 두 점 $P$, $(2,3,-44)$를 각각 시점과 종점으로 하는 벡터 
$$v=(x-2,y-3,z+4)$$
가 수직이어야 한다. 즉 내적을 계산하면
$$x^2-2x+y^2-3y+z^2+4z=0$$
이다. 이 식에서 주어진 구면의 방정식을 빼면
$$2x+3y-4z=2$$
를 얻고, 점 $P$는 구면 위에 있으면서 동시에 이 평면 위에 존재한다.

이제 주어진 문제는 두 제약조건
$$\begin{array}{rl}& x^2+y^2+z^2=2\\ & 2x+3y-4z=2\end{array}$$
하에서 $y$의 최대 최소를 구하는 문제와 같다. ($P$의 좌표를 $(x,y,z)$로 두었으므로.)
라그랑주 승수법을 사용해도 되며, 본 풀이에서는 코시 슈바르츠 부등식을 이용한다.

첫 번째 제약조건의 식을 이항하면
$$x^2+z^2=2-y^2$$
를 얻고, 마찬가지로 두 번째 제약조건의 식을 이항하면
$$2x-4z=2-3y$$
를 얻는다. 이제 코시 슈바르츠 부등식으로부터
$$20(x^2+y^2)\ge (2x-4z{)}^2$$
인데, 위의 두 식을 대입하면
$$40-20y^2\ge 4-12y+9y^2$$
를 얻고, 정리하면
$$29y^2-12y-36\le 0$$
임을 얻는다. 이제 $y$의 최대와 최소는 이차방정식
$$29y^2-12y-36=0$$
의 두 근이므로 근과 계수의 관계를 이용하면
$$\alpha +\beta =\frac{12}{29}$$
가 구하는 최대와 최소의 합이 된다.

 

 

 

마치며

이상으로 2022 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~