편입수학 기출문제 풀이/항공대

[편입] 2015 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

수학올인 2024. 3. 19. 23:55

[편입] 2015 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에선 2015년 항공대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 항공대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

항공대의 경우 최근 2~3년 문제지만 공유하며, 년도가 바뀔 때마다 시험지를 입학처 홈페이지에서 삭제합니다.

따라서 시험지가 필요하신 분은 미리 입학처에서 다운로드를 받아두시기 바랍니다.

(항공대학교 입학처 - 편입학 - 지난기출문제)

2015 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

2015 항공대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

a. $(AA^T)^T = AA^T$이므로 참이다.

b. $c$가 영벡터라면 존재한다. ($x$도 영벡터이면 되므로.)

c. 둘의 곱해지는 순서가 바뀌어야 하므로 거짓이다.

d. 서로 다른 고유치에 대응되는 고유벡터는 일차독립이므로 참이다.

2015 항공대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

직접 고유벡터를 구해서
$$A=PDP^{-1}$$
로 표현한 뒤 67승을 해도 된다.

그러나 약간의 꼼수를 써보자. 주어진 행렬 $A$의 고유치는
$$\lambda = -3, 1$$
이고, 이에 대응되는 고유벡터는 순서대로
$$\begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}$$
이다. 이제 벡터
$$\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix}$$
을 생각하면
$$\begin{align}
A^{67}\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix} &= A^{67}\left(\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix}\right) \\
&= -\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix} + 3^{67}\begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
3^{67}-1 \\
-3^{67}
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이다.

이제 선택지에 제시된 네 행렬에 전부 벡터
$$\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}$$
을 곱해서 저 벡터와 일치하게 되는 것을 찾으면 3번이다.

2015 항공대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

4번의 경우 2, 3행의 내적이 $0$이 아니므로 직교행렬이 아니다.

2015 항공대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

행렬 $A$를
$$a_1 = 1, b_2 = 2, c_3 = 5$$
이고 나머지는 전부 $0$이라 하자. 그러면 그대로 대입해서 $\det B$를 계산해보면
$$\det B = -20$$
이다.

2015 항공대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

주어진 연립방정식을 첨가행렬의 형태로 적으면
$$M = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & 3 \\
2 & -2 & 6 & 8 \\
3 & 5 & -7 & 7
\end{pmatrix}$$
이고, 기본행연산을 통해 행사다리꼴의 형태로 적으면
$$M\sim \begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & 3 \\
0 & 1 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$
이다. 즉,
$$\text{rank}(A)\neq \text{rank}(A|B)$$
이므로 해가 존재하지 않는다.

2015 항공대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

계산해보면 $\det A = 12$이므로 행렬식의 성질로부터
$$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A} = \frac{1}{12}$$
이다.

2015 항공대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

평면 $3x+2y+6z=12$와 $x=0, y=0, z=0$으로 둘러싸인 입체는 원점과 세 점
$$(4,0,0),(0,6,0),(0,0,2)$$
를 꼭짓점으로 하는 사면체이고, 이 사면체의 부피 $V_1$은
$$V_1 = \frac{1}{6}\times 4\times 6\times 2 = 8$$
이다. (스칼라삼중적을 이용한 것이다.)

이제 평면 $3x+2y+6z=12$와 $x=0, y=0, z=1$으로 둘러싸인 입체를 보면 점 $(0,0,1)$과 세 점
$$(2,0,1),(0,3,1),(0,0,2)$$
를 꼭짓점으로 하는 사면체이므로, 이 사면체의 부피 $V_2$는 세 벡터
$$\begin{pmatrix}
2 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
0 \\
3 \\
0
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}$$
을 열로 하는 $3\times 3$크기의 행렬식의 절댓값을 $6$으로 나눈 값이므로
$$V_2 = 1$$
이다. 따라서 구하는 부피 $V$는
$$V = V_1 - V_2 = 7$$
이다.

2015 항공대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

1~4번의 벡터를 전부 행렬 $A$에 곱해보면 1번은 고유벡터가 아니다.

2015 항공대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

(a) 부호가 반대여야 한다.

(b) 맞다.

(c) 맞다.

(d) 중간의 부호가 -여야 한다.

이상에서 옳은 것의 개수는 2이다.

2015 항공대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

점 $(0,0,4)$의 위치벡터를 $v_1$, 점 $(1,3,0)$의 위치벡터를 $v_2$라 하자.

점 $(0,0,4)$를 시점으로 하고 두 점 $(1,-3,4)$, $(2,0,0)$을 각각 종점으로 하는 벡터를 $a, b$라 하면
$$v_1+a+b\neq v_2$$
이므로 주어진 사각형은 평행사변형이 아니다.

따라서 바로 외적을 통해 넓이를 계산하면 안되고 두 개의 삼각형

i) $A$ : 세 점 $(0,0,4),(2,0,0),(1,-3,4)$으로 둘러싸인 삼각형
ii) $B$ : 세 점 $(2,0,0),(1,3,0),(1,-3,4)$으로 둘러싸인 삼각형

의 넓이의 합으로 계산해야 한다.

직접 외적을 통해 계산해보면 두 삼각형의 넓이 $S_1, S_2$는
$$S_1 = S_2 = 7$$
이므로 구하는 사각형의 넓이는 $14$이다.

2015 항공대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

$x=0$ 근방에서
$$\tan^{-1}(4x) \approx 4x$$
이고
$$\tan x \approx x + \frac{x^3}{3}$$
이므로
$$K = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$$
이다.

2015 항공대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

부분적분하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{x}{2}(\ln x)^2 \bigg|_1^2 - \int_1^2 \ln xdx \\
&= (\ln 2)^2 - 2\ln 2 + 1
\end{align}$$
이다.

2015 항공대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

주어진 점에서 곡면
$$f(x,y,z)=e^{x^2 - y^2} - z = 0$$
의 경도벡터는
$$\nabla f = (2, 2, -1)$$
이므로 이를 법선벡터로 하고 주어진 점을 지나는 평면의 방정식은
$$P : 2x + 2y -z + 1 = 0$$
이고 이와 같은것은 1번이다.

2015 항공대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

a. 다음과 같은 반례가 존재한다 :
$$a_n = \frac{1}{n^2},\quad b_n = \frac{1}{n}$$
이 경우 주어진 조건을 전부 만족시키지만 $a_n$에 대한 급수는 수렴한다.

b. 주어진 조건으로부터 멱급수
$$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n x^n$$
이 $|x|<3$에서 수렴한다는 사실은 알 수 있다.

하지만 끝 점 ($x=-3$)에서의 수렴성은 알 수 없다.
구체적인 반례는 아래와 같다 :
$$c_n = \frac{1}{n}\left(-\frac{1}{3^n}\right)$$

이상에서 a, b 모두 참이 아니다.

2015 항공대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

a. 편미분계수의 정의로부터
$$\begin{align}
    f_x(0,0) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} \\
    &= \lim_{h\to 0}\frac{0}{h} \\
    &= 0
\end{align}$$
이고
$$\begin{align}
    f_x(0,0) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(0, h) - f(0,0)}{h} \\
    &= \lim_{h\to 0}\frac{0}{h} \\
    &= 0
\end{align}$$
이므로 참이다.

b. 분자와 분모의 차수가 같으므로 주어진 함수는 원점으로의 극한이
존재하지 않는다. 따라서 원점에서 연속이 아니다.

이상에서 참인 것은 a이다.

2015 항공대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

(이 포스팅)을 참고하면 주어진 곡선의 길이는 $16$이다.

2015 항공대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

$\cos x$의 급수전개를 이용하면
$$\begin{align}
f(x) &= x\left(1 - 2x^2 + \cdots\right) \\
&= x - 2x^3 + \cdots
\end{align}$$
이므로 구하는 값은 $-1$이다.

2015 항공대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

$x=\frac{1}{t}$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{t}{\sqrt{4t^2 + 1}}dt \\
    &= \frac{1}{4}\sqrt{4t^2 + 1}\bigg|_{\frac{1}{2}}^1 \\
    &= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{4}
\end{align}$$
이다.

2015 항공대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

a. 교대급수판정법으로부터 참이다.

b. $\frac{x^2}{4} = X$라 하면 주어진 급수는
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n!)^2}X^n$$
와 같은데, 이 급수가 임의의 실수 $X$에 대해 수렴하므로 원래의 급수도
임의의 실수 $x$에 대해 수렴한다.

이상에서 옳은 것은 $a, b$이다.

2015 항공대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

푸비니 정리를 이용하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx\right)^2 \\
&= \pi
\end{align}$$
이다.

마치며

이상으로 2015 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~