2025학년도 5월 모의고사 수학 15번 풀이 (250515 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다.

문제

풀이

먼저 수열 $a_n$의 모든 항이 자연수임을 보이자. $a_n$으로 가능한 경우는 자연수 $k$에 대하여

$$a_n = \begin{cases} 3k \\ 3k+1 \\ 3k+2 \end{cases}\quad (k\in\mathrm{N})$$

뿐이므로 각각 해보자.

i) $a_n = 3k$인 경우

3의 배수이므로 문제에서 주어진 점화식을 이용해서 $3$으로 나눠도 당연히 자연수다.

ii) $a_n = 3k+1$인 경우

두 번째 점화식을 이용하면

$$\begin{align} a_{n+1} &= \frac{(a_n)^2 + 5}{3} \\ &= \frac{9k^2 +6k + 6}{3} \\ &= 3k^2 + 2k + 2 \end{align}$$

이 성립하므로 마찬가지로 자연수다.

iii) $a_n = 3k+2$인 경우

마찬가지로 두 번째 점화식으로부터

$$\begin{align} a_{n+1} &= \frac{(a_n)^2 + 5}{3} \\ &= \frac{9k^2 +12k + 9}{3} \\ &= 3k^2 + 4k + 3 \end{align}$$

이므로 자연수다.

따라서 수열 $a_n$의 모든 항은 자연수다.

이제 문제의 조건을 해석하면 두 자연수의 합이 $5$이므로 가능한 경우는 다음과 같다.

$$\begin{align} & a_4 = 1, a_5 = 4 \quad \text{(Case 1)} \\ & a_4 = 2, a_5 = 3 \quad \text{(Case 2)} \\ & a_4 = 3, a_5 = 2 \quad \text{(Case 3)} \\ & a_4 = 4, a_5 = 1 \quad \text{(Case 4)} \end{align}$$

이제 직접 점화식을 이용해보면 가능한 경우는 $a_4 = 2, a_5 = 3$인 경우 뿐임을 알 수 있다.

이제 이를 바탕으로 역추적하면 다음과 같다.

이상에서 가능한 $a_1$의 합은 $72$이다.

출제되는 수열 문제중에 이정도면 난이도가 꽤 쉬운 편에 속하므로

가능한 경우를 소거만 잘 했다면 무리없이 풀었을 문제라고 생각합니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 5월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

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