2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (251028 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.

문제

풀이

가장 먼저 두 함수의 그래프를 그려보면 다음과 같다.

이때 함수 $\cos x$가 극값을 갖는 지점을 기준으로 전부 세로선을 그어보면

각각의 $a_n$들은 세로선으로 분할된 영역에 한 개씩 들어온다는 것을 알 수 있다.

즉,

$$n\pi \leq a_n \leq (n+1)\pi$$

가 성립한다. 한편 $x=a_n$이 두 그래프의 교점이므로

$$\frac{2\pi}{a_n} = \cos a_n$$

이 성립하고, 이를 이용하면 구하는 값은

$$\lim_{n\to\infty} 4n\pi^2\sum_{k=1}^n \frac{1}{(a_{n+k})^2}$$

와 같음을 알 수 있다.

한편 위의 부등식에 $n+k$를 대입한 뒤 전부 제곱하여 역수를 취하면

$$\frac{1}{\pi^2 (n+k+1)^2} \leq \frac{1}{(a_{n+k})^2} \leq \frac{1}{\pi^2(n+k)^2}$$

이 성립한다.

이제 양변에 $n$을 전부 곱한 뒤 시그마와 리미트를 취할 것인데, 부등식의 가장 우변은

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{\pi^2(n+k)^2} &= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{\pi^2 \left(1+\frac{k}{n}\right)^2} \\ &= \frac{1}{\pi^2} \int_0^1 \frac{1}{(x+1)^2}dx \\ &= \frac{1}{2\pi^2}\end{align}$$

이고, 가장 좌변과 가장 우변의 차는

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\pi^2} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{(n+k+1)^2} - \frac{1}{(n+k)^2}\right) &= \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\pi^2} \times \left(\frac{1}{(2n+1)^2} - \frac{1}{(n+1)^2}\right) \\ &= 0\end{align}$$

이므로 (시그마가 항끼리 지워진다.) 가장 좌변에 $n$을 곱하여 시그마, 리미트를 취한 값도

가장 우변과 같은 값인 $\frac{1}{2\pi^2}$로 수렴한다.

따라서 샌드위치 정리를 이용하면 구하는 극한값은

$$4n\pi^2 \times \frac{1}{2\pi^2} = 2$$

이다.

지난 2025학년도 6월 모의고사 30번과 비슷한 문제가 또다시 출제됐네요.

이런 류 문제가 대충 근사로 풀기는 간단한 편이기도 하면서, 정확히 부등식을 잡아서 풀어내기는 까다로운 편인 것 같습니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 10월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

- 2025학년도 10월 모의고사 수학 15번
- 2025학년도 10월 모의고사 수학 20번
- 2025학년도 10월 모의고사 수학 22번
- 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 28번 (현재)
- 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 29번
- 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 30번