[편입] 2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
[편입] 2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2024년 서울시립대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 서울시립대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(서울시립대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제 및 서식자료실)
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
유형 II의 경우 유형 I의 문제와 완전히 동일하며, 유형 I의 문제 중 일부 문항만을 포함합니다.
따라서 유형 II의 답지는 아래의 변환표를 참고하시고, 해설도 마찬가지로 대응되는 유형 I 시험지의
해설을 참고하시면 됩니다.
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이
쌍곡함수의 성질로부터
$$1-\tanh^2 x=\text{sech}^2 x$$
임을 알 수 있다. $x>0$임을 고려했을 때 구하는 값은
$$\begin{align}
\tanh x &= \sqrt{1-\text{sech}^2 x} \\
&= \sqrt{\frac{5}{9}} \\
&= \frac{\sqrt{5}}{3}
\end{align}$$
이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이
음함수 미분법을 이용하면
$$\begin{align}
\frac{dy}{dx} &= -\frac{f_x}{f_y} \\
&= -\frac{\frac{2x}{x^2 + y^2} - y^2}{\frac{2y}{x^2 + y^2} - 2xy}
\end{align}$$
이고 $(x,y) = (0, 1)$을 대입하면
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}$$
임을 얻는다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이
매개변수로 정의된 함수의 미분법으로부터
$$\begin{align}
\frac{dy}{dx} &= \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \\
&= \frac{3\cos3t e^{\sin 3t}}{-2\sin te^{\cos t}}
\end{align}$$
가 성립한다.
이때 주어진 곡선이 수직접선을 가지려면 위 식의 분모가 $0$이 되어야 하므로 $t=\pi$이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이
$a$를 구하자. 급수의 형태를 보면 삼각함수와 관련되어 있음을 알 수 있으므로
$6^2$을 곱한 뒤 나눠주면
$$\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \pi^{2n+1}}{6^{2n-1}(2n+1)!} &= 36\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \pi^{2n+1}}{6^{2n+1}(2n+1)!} \\
&= 36\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \\
&= 18
\end{align}$$
이다.
$b$의 경우 비율판정법을 적용해보면 수렴반지름은 $7$이다.
따라서
$$a+10b=88$$
이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이
$x= 2\sin t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{24\sin^2 t\cos t}{2\cos t}dt \\
&= 6\int_0^{\frac{\pi}{6}}(1-\cos 2t)dt \\
&= \pi - \frac{3\sqrt{3}}{2}
\end{align}$$
이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이
$x, y$로의 편미분을 구해보면
$$\begin{align}
f_x &= -2xy\cos(\pi x+\pi y) + \pi x^2y \sin(\pi x+\pi y) \\
f_y &= -x^2 \cos(\pi x+\pi y) + \pi x^2y \sin (\pi x+\pi y)
\end{align}$$
이고, $x=1$, $y=\frac{1}{2}$을 대입하면
$$\begin{align}
f_x\left(1, \frac{1}{2}\right) &= -\frac{\pi}{2} \\
f_y\left(1, \frac{1}{2}\right) &= -\frac{\pi}{2}
\end{align}$$
이다.
한편 $f\left(1, \frac{1}{2}\right) =\frac{1}{4}$임을 고려하면
$$\begin{align}
L(x,y) &= -\frac{\pi}{2}(x-1) -\frac{\pi}{2}\left(y-\frac{1}{2}\right) +\frac{1}{4} \\
&= -\frac{\pi}{2}x-\frac{\pi}{2}y + \frac{3}{4}\pi + \frac{1}{4}
\end{align}$$
이므로
$$a+b+c=\frac{1-\pi}{4}$$
이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이
$x=0$ 근방에서
$$\sin x\approx x$$
이므로 주어진 적분은
$$\frac{1}{x^6}\int_0^{2x^2}\sin\left(\frac{t^2}{3}\right)dt \approx \frac{1}{x^6}\int_0^{2x^2}\frac{t^2}{3}dt = \frac{8}{9}$$
이다. 따라서 구하는 극한값은 $\frac{8}{9}$이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이
$\tan^{-1}x$를 미분하고 $2x$를 적분하는 부분적분을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= x^2\tan^{-1}x \bigg|_0^{\sqrt{3}} - \int_0^{\sqrt{3}} \frac{x^2}{x^2 + 1}dx \\
&= \pi - \int_0^{\sqrt{3}}\left(1-\frac{1}{x^2 + 1}\right)dx \\
&= \frac{4}{3}\pi - \sqrt{3}
\end{align}$$
이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이
곡선의 길이를 구하는 공식을 이용하면 구하는 곡선의 길이 $L$은
$$\begin{align}
L &= \int_0^3 \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt \\
&= \int_0^3 \sqrt{9+9t}dt \\
&= 14
\end{align}$$
이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이
평면 $Q$가 직선 $l$을 포함하고 평면 $P$에 수직이므로, 평면 $P$의 법선벡터와
직선 $l$의 방향벡터를 외적하여 얻은 벡터인
$$n = \begin{pmatrix}
4 \\
-2 \\
5
\end{pmatrix}$$
가 평면 $Q$의 법선벡터가 된다.
또, 평면 $Q$는 직선 $l$을 포함하므로, 직선 $l$위의 한 점인 $(4,-1,2)$를 평면 $Q$가 지나야 한다.
이로부터 평면 $Q$의 식을 세우면
$$Q : 4x-2y+5z = 28$$
임을 얻는데, 문제에서 제시된 평면의 방정식의 형태는 우변이 $1$이므로, 양변을 $28$로 나누면
$$a+b+c=\frac{4-2+5}{28} = \frac{1}{4}$$
이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이
주어진 벡터장의 포텐셜함수는
$$f(x,y,z) = y^3 \ln x - x^2 yz$$
임을 알 수 있다. 따라서 선적분의 기본정리를 이용하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= f(x,y,z)\bigg|_{\left(1,e,\frac{1}{e}\right)}^{(e,1,0)} \\
&= 2
\end{align}$$
이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이
가장 먼저 주어진 $s, t$값을 통해 $x, y$값을 구하자. $x, y$에 대해 식을 풀면
$$\begin{align}
x &= \frac{2s+t}{3} \\
y &= \frac{2t-s}{3}
\end{align}$$
이므로 $x=y=1$이다.
이제 연쇄법칙을 이용하면
$$\begin{align}
\frac{\partial f}{\partial t} &= f_x \times x_t + f_y \times y_t \\
&= \frac{e^{\sqrt{x}}}{6\sqrt{x}}\ln(y^2 + 1) + \frac{4ye^{\sqrt{x}}}{3(y^2 + 1)}
\end{align}$$
이므로, $x=y=1$을 대입하면
$$\frac{\partial f}{\partial t}\bigg|_{(s,t)=(1,2)} = \frac{e}{6}(\ln 2+4)$$
이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이
곡선 $y=x^2$과 직선 $y=2$로 둘러싸인 영역은 $y$축에 대칭이므로 이 영역의 무게중심의
$x$좌표는 $0$이다.
또, 이 영역의 넓이 $S$는 이차함수 적분공식으로부터
$$S = \frac{1}{6}(2\sqrt{2})^3$$
이므로, 파푸스의 정리를 이용하면 구하는 회전체의 부피 $V$는
$$V = 2\pi \times 2\times S = \frac{32\sqrt{2}}{3}\pi$$
이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이
문제에서 주어진 $g$에 대한 조건을 만족시키기만 한다면 답은 $g$의 형태와 무관하게 같다.
따라서 함수 $g$를
$$g(x,y,z)=2$$
라고 잡자. 그러면
$$f(x,y,z)g(x,y,z)=2f(x,y,z)=2x+2y^2+2z-12$$
이므로
$$\begin{cases}
f_x(1,2,1)&= 2 \\
f_y(1,2,1)&= 8 \\
f_z(1,2,1)&= 2
\end{cases}$$
이므로, 구하는 방향도함수의 값은 경도벡터와 벡터 $u$의 내적인
$$\text{grad}f \circ u = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$$
이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이
문제에서 주어진 입체는 비스듬하게 잘린 원기둥이다. 따라서 구하는 겉넓이는
i) 바닥면의 넓이
ii) 비스듬하게 잘린 뚜껑의 넓이
iii) 원기둥의 옆면의 넓이
를 모두 더한 값이다. 하나씩 순서대로 구해보자.
i) 바닥면의 넓이
반지름이 $1$인 원의 넓이의 절반이므로 넓이 $S_1$은
$$S_1 = \frac{\pi}{2}$$
이다.
ii) 비스듬하게 잘린 뚜껑의 넓이
이 뚜껑을 $xy$평면으로 정사영하면 $S_1$이 된다.
한편 $x=\sqrt{3}y$가 $xy$평면과 이루는 예각의 크기가 $\frac{\pi}{3}$이므로
넓이 $S_2$는 정사영을 이용했을 때
$$S_1 = S_2 \times \cos\frac{\pi}{3}$$
이므로, 정리하면
$$S_2 = \pi$$
이다.
iii) 원기둥의 옆면의 넓이
옆면을 매개화한 뒤 면적분하자. 먼저 $x, y$의 경우
$$\begin{cases}
x = \cos t\\
y=\sin t
\end{cases}\quad (0\leq t\leq \pi)$$
로 매개화 할 수 있다. 한편 $z$의 범위가
$$0\leq z\leq \sqrt{3}y$$
이므로
$$z=s \quad (0\leq s\leq \sqrt{3}\sin t)$$
로 매개화 할 수 있다. 정리하면 옆면의 매개화는
$$\begin{align}
r(t, s) &=(\cos t,\sin t, s) \\
&(0\leq t\leq \pi, 0\leq s\leq \sqrt{3}\sin t)
\end{align}$$
이고
$$\begin{align}
r_t &= (-\sin t,\cos t, 0) \\
r_s &= (0, 0, 1)
\end{align}$$
이므로
$$|r_t\times r_s| = 1$$
이다. 따라서 넓이 $S_3$는
$$\begin{align}
S_3 &= \int_0^{\pi} \int_0^{\sqrt{3}\sin t}|r_t \times r_s|dsdt \\
&= \int_0^{\pi} \int_0^{\sqrt{3}\sin t}1dsdt \\
&= 2\sqrt{3}
\end{align}$$
이다.
이상에서 구하는 겉넓이 $S$는
$$S = S_1+S_2+S_3 = \frac{3\pi}{2} + 2\sqrt{3}$$
이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이
$S$는 폐곡면이므로 발산정리를 이용할것이다.
삼중적분을 어떻게 할지 고민해보면 $z$를 높이로 보자. 즉, $z=0$을 바닥으로 보자.
그러면 $z=1-y$에 $z=0$을 대입하면 $y=1$을 얻는다.
따라서 $xy$평면에서 적분영역은 $y=\sqrt{x}, y=2\sqrt{x}, y=1$로 둘러싸인 영역이고
$z$는 $z=0$부터 $z=1-y$까지 적분해주면 된다.
발산정리와 위에서 정리한 내용으로부터 주어진 면적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^1 \int_{\frac{y^2}{4}}^{y^2} \int_0^{1-y} 4x dzdxdy \\
&= \int_0^1 \int_{\frac{y^2}{4}}^{y^2} 4x(1-y)dxdy \\
&= \int_0^1 2(1-y)\times \frac{15}{16}y^2 dy \\
&= \frac{1}{16}
\end{align}$$
이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이
세 적분의 영역을 전부 합친 뒤 극좌표계를 이용하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\int_1^2 re^{r^2}drd\theta \\
&= \frac{\pi}{8}(e^4 - e)
\end{align}$$
이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이
수반행렬을 이용해도 좋고 가우스소거법으로 역행렬을 구해도 좋다. 어떤 방법으로든 해보면
$$A^{-1} = \begin{pmatrix}
& -1 & \\
5 & & -2 \\
& 0 &
\end{pmatrix}$$
이므로
$$b+d+f+h=2$$
이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이
먼저 행렬 $A$의 고윳값을 구해보면
$$\lambda= 4, 5, 5$$
이다. 따라서 (가)는 틀렸다.
선지를 보면 남는것은 2번과 4번이고, 이 둘의 여부는 (라)의 참 거짓 여부를 통해 달라진다.
그런데 이 말은 곧 (나)와 (다)가 참이라는 것인데, 행렬 $A$가 대각화 가능하려면
i) $\lambda=4$에 대응되는 일차독립인 고유벡터가 1개
ii) $\lambda=5$에 대응되는 일차독립인 고유벡터가 2개
라는 말이고 바꿔말하면 $\lambda=4$의 고유공간은 1차원, $\lambda=5$의 고유공간은 2차원이다.
따라서 (라)는 참이고, 정답은 4번 (나), (다), (라) 이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이
$\det A = 1$이므로
$$\det (\text{adj}A) = (\det A)^2 = 1$$
이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이
주어진 미분방정식은
$$ydy = x\sin xdx$$
와 같이 변수분리가 가능하다. 이제 양변을 적분하면
$$\frac{1}{2}y^2 = \sin x-x\cos x + C$$
에서 $y(0)=2$이므로 $C=2$이다. 즉,
$$y^2 = 2\sin x-2x\cos x + 4$$
이므로
$$y(\pi)^2 = 2\pi + 4$$
이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이
역연산자를 이용하여 특수해를 구해보면
$$\begin{align}
y_p &= \frac{1}{(D-1)^2}\left\{(2x+1)e^x\right\} \\
&= e^x \frac{1}{D^2} \left\{2x+1\right\} \\
&= e^x \int \int (2x+1) dx dx \\
&= e^x\left(\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2\right)
\end{align}$$
이다. 따라서
$$a=\frac{1}{3}, b=3, c=\frac{1}{2}, d=2$$
이므로
$$ab+cd=2$$
이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이
함수
$$G(s) = \frac{s}{s^2 + 4}$$
의 라플라스 역변환을 $g(t)$라 하자. 그러면 함수 $F(s)$의 라플라스 역변환은
$$u(t-\pi)g(t-\pi)$$
이다. 한편
$$g(t) = \cos 2t$$
이므로, 구하는 값은
$$f(2\pi) = g(\pi) = 1$$
이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이
함수 $2x$는 기함수이므로, 푸리에급수전개에서 $\cos x$항은 존재하지 않는다.
따라서 가능한 선택지는 1, 2, 3번 중 하나이다.
또, $n=1$을 대입하면 $\sin \pi x$의 계수가 각각
$$\frac{2}{\pi}, -\frac{4}{\pi}, \frac{4}{\pi}$$
로 모두 다르다. 따라서 $\sin \pi x$의 계수만 구해보면
$$\int_{-1}^1 2x\sin \pi x dx = \frac{4}{\pi}$$
이므로, 정답은 3번이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이
주어진 행렬 $A$의 고유치는 문제의 조건에 맞게 작은 것부터 나열하면
$$\lambda = 1, 2, 4$$
이고, 이에 대응되는 고유벡터는 순서대로
$$\begin{pmatrix}
3 \\
1 \\
2
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
0
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
3 \\
-4 \\
1
\end{pmatrix}$$
이다. 이제 이 벡터들의 첫 번째 성분을 보면 문제에서 제시된 값과 전부 일치한다.
따라서 문제에서 구하는 값은 나머지 모든 성분의 제곱의 합이므로 $23$이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이
먼저 경로를 살펴보면, 주어진 $8$개의 점은 한 변의 길이가 $1$인 정팔각형의 꼭짓점이 된다.
다음으로 벡터장을 살펴보면 주어진 벡터장은 두 벡터장
$$\begin{align}
P(x,y) &= (e^x,-e^{y^2})\\
Q(x,y) &= (-y, x)
\end{align}$$
에 대하여
$$F(x,y)= P(x,y)+Q(x,y)$$
로 쓸 수 있다. 이때 $P$가 보존장임에 주목하자.
점 $(-1, 0)$에서 출발하여 점 $(0, 0)$까지 이동하는 직선경로를 $C_1$이라 하고,
문제에서 주어진 경로 $C$와 $C_1$을 합친 경로를 $C'$이라 하자.
그러면 $C'$은 폐곡선이다. 이제 $C'$에서 벡터장 $F$를 선적분하면 그린정리로부터
$$\int_{C'} F\circ dr = \int_{C'} P\circ dr = 2\times 7$$
이다. 여기서 7는 정팔각형의 넓이이다.
또, $C_1$에서 벡터장 $F$를 선적분하면
$$\begin{align}
\int_{C_1} F\circ dr &= \int_{-1}^0 e^t dt \\
&= 1-\frac{1}{e}
\end{align}$$
이다.
따라서 문제에서 구하는 선적분의 값은 $C'$의 선적분값에서 $C_1$의 선적분값을 뺀 것이므로 주어진 선적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= 14 - \left(1-\frac{1}{e}\right) \\
&= 13+\frac{1}{e}
\end{align}$$
에서 $a=13, b=1$이므로 $10a+b=131$이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이
부분적분을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= -x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} \\
&= \pi - 2
\end{align}$$
이므로 구하는 값은
$$120(a^2 + b^2)=600$$
이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이
대칭성을 이용하면 문제에서 구하는 영역의 넓이는 극곡선 $r=3\cos \theta$의 내부이면서 극곡선 $r=1+\cos\theta$의
외부인 영역의 넓이와 같으므로, 대칭성을 이용하면 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
S &= 2\times \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{3}}\left(9\cos^2\theta - (1+\cos\theta)^2\right)d\theta \\
&= \pi
\end{align}$$
이므로 구하는 값은 $11$이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이
문제에서 구하는 값을 구하기 위해서 입체 $E$의 부피를 구하면 된다.
이제 곡면 $\rho=\cos\phi$가 구면
$$S : x^2 + y^2 + \left(z-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$
임에 주목하자.
곡면 $\rho=1-\cos\phi$는 $\phi$가 $0$에서 $\frac{\pi}{2}$까지 증가함에 따라 증가하고
$\phi=\frac{\pi}{3}$일 때 위에서 얻은 구면 $S$와 만난다.
따라서 두 곡면으로 둘러싸인 영역은 구면 $S$내부의 부피를 $V_1$
구면 $S$ 내부에 속하면서 곡면 $\rho=1-\cos\phi$외부에 속하는 부피를 $V_2$라 했을 때
$$V_1 - V_2$$
이다. 이때
$$V_1 = \frac{\pi}{6}$$
이고, 삼중적분을 이용하면
$$\begin{align}
V_2 &= \int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}{3}} \int_{1-\cos\phi}^{\cos\phi} \rho^2\sin\phi d\rho d\phi d\theta \\
&= \frac{2\pi}{3}\int_0^{\frac{\pi}{3}}\sin\phi(\cos^3 \phi - (1-\cos\phi)^3)d\phi \\
&= \frac{7}{48}\pi
\end{align}$$
이다.
따라서 문제에서 구하는 값은
$$\frac{480}{\pi}(V_1 - V_2) = 10$$
이다.
2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이
행렬
$$\begin{pmatrix}
4 & 1 \\
1 & 4
\end{pmatrix}$$
의 고유치는
$$\lambda = 5, 3$$
이고, 이에 대응하는 고유벡터는 순서대로
$$\begin{pmatrix}
y_1 \\
y_2
\end{pmatrix}=c_1\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}e^{5t} + c_2\begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix}e^{3t}$$
를 만족시킨다. 이제 초기조건을 이용하면
$$\begin{cases}
c_1 + c_2 = 3\\
c_1 - c_2 = 1
\end{cases}$$
에서 $c_1 = 2, c_2 = 1$임을 얻는다. 이상에서
$$\begin{cases}
y_1(1) = 2e^5 + e^3 \\
y_2(1) = 2e^5 - e^3
\end{cases}$$
이고, 둘이 곱해보면
$$a=4, b=10, c=-1, d=6$$
이므로
$$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 141$$
이다.
마치며
이상으로 2024 서울시립대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
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