2024학년도 7월 모의고사 미적분 29번 풀이 (240729 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 2024학년도 7월 모의고사 미적분 29번에 대해 다뤄보겠습니다.

문제

풀이

(나)의 양변을 미분하면

$$2xf'(x^2 + 1) = 2ae^{2x} + b$$

이고 양변에 $x=0$을 대입하면 $b=-2a$임을 얻는다. 식을 정리하면

$$2xf'(x^2 + 1) = 2ae^{2x} - 2a$$

이고, 양변을 $2x$로 나눈 뒤 $x\to 0+$인 극한을 취하면

$$f'(1) = \lim_{x\to 0+}f'(x^2 + 1) = 2a$$

이다.

한편 (가)에 $x\to 1-$인 극한을 취하면 $f'(1)=2=2a$에서 $a=1, b=-2$이다.

(나)로부터 $f(1) = 1$이고, (가)를 적분하면

$$f(x)=-x^2 + 4x - 2\quad (x<1)$$

임을 얻는다. 따라서

$$\int_0^1 f(x)dx = - \frac{1}{3} $$

이다. 한편

\begin{align}
\int_1^5 f(x) \, dx &= 2\int_0^2 t \, f(t^2 + 1) \, dt \quad (x = t^2 + 1) \\
&= 2\int_0^2 (t e^{2t} - 2t^2) \, dt \\
&= \frac{3}{2}e^4 - \frac{61}{6}
\end{align}

이다. 따라서

\begin{align}
\int_0^5 f(x) \, dx &= \int_0^1 f(x) \, dx + \int_1^5 f(x) \, dx \\
&= \frac{3}{2}e^4 - \frac{21}{2}
\end{align}

이고 $p+q = 12$이다.

무난하게 주어진 조건을 이용하면 풀리는 문제 같습니다.