2024학년도 10월 모의고사 수학 20번 풀이 (241020 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 수학 20번 문제를 다뤄보겠습니다.

우변을 전개하면

$$\begin{align} 2x^2f(x) &= 3f(x)\int_0^x (x-t)dt + 3\int_0^x (x-t)f(t)dt \\ &= \frac{3}{2}x^2f(x) + 3\int_0^x (x-t)f(t)dt \end{align}$$

이고, 식을 정리하면

$$x^2f(x) = 6\int_0^x (x-t)f(t)dt$$

이다. 그런데 우변의

$$\int_0^x (x-t)f(t)dt $$

를 두 번 미분하면 $f(x)$가 된다. 즉, 이는 $f(x)$를 두 번 적분한 식과 같다.

그런데 앞에 곱해진 $6$을 봤을 때, $f(x)$는 일차식이고, 상수항은 존재하지 않는다.

($6=2\times 3$이므로, $x$를 두 번 적분했다고 생각하면 된다.)

(상수항이 존재하지 않는 이유는 항별로 생각해보면 계수가 맞지 않기 때문이다.)

따라서 $f(x)=ax$이고, $f'(2)=4$에서 $a=4$이다. 즉, $f(6)=24$이다.

특별한 발상 없이 단순 계산을 통해 해결했습니다.