수학올인의 수학 기록

[편입] 2025 한양대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

수학올인 — Tue, 15 Jul 2025 23:59:28 +0900

[편입] 2025 한양대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에선 2025 한양대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 한양대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(한양대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 37번 풀이

다음이 성립한다.

$0<a<b$인 두 실수 $a, b$에 대하여 타원

$$C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$
의 두 초점을 $\rm F, F'$라 하면 타원 위의 임의의 점 $\rm P$에 대하여

$$\rm{\overline{FP}} + \overline{F'P}=2\it a$$
가 성립한다. 즉, 좌변은 항상 장축의 길이와 같다.

위의 성질로부터 이 문제에서는
$$\rm{\overline{FP}} + \overline{F'P}=10$$
이 성립한다. 따라서 구하는 식을 고쳐쓰면
$$\rm{\overline{AP}}-\overline{PF'}=\overline{AP}+\overline{PF}-10$$
의 최소를 구하면 되고, 상수 $10$은 고정이므로, 앞의 $\rm \overline{AP}+\overline{PF}$가 최소이면 된다.

이때 다음과 같이 그림을 그려 생각하면 세 점 $\rm A, P, F$가 한 직선 위에 놓일 때 위의 값이 최소가 됨을 알 수 있다.
(두 점 $\rm A, F$를 지나는 경로중 거리가 최소인 경로는 직선 경로이기 때문이다.)

따라서
$$a^2 = 25^2 - 9^2$$
에서 $a=\pm 4$이므로 구하는 최솟값은
$$\begin{align}
    \rm \overline{AP}-\overline{PF'} &= \rm\overline{AP}+\overline{PF} - 10 \\
    &\geq \rm\overline{AF} - 10 \\
    &= \sqrt{12^2 + 9^2} - 10 \\
    &= 15 -10 \\
    &= 5
\end{align}$$
이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 38번 풀이

실수 $k$에 대하여 $x=0$근방에서
$$(1+x)^k = 1+kx+\frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots$$
이 성립한다. 이제 $f(x)$의 식을 고쳐서 좌변의 형태로 다시 써보면
$$f(x) = \left(4\left(1+\frac{3}{4}x\right)\right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\left(1+\frac{3}{4}x\right)^{-\frac{1}{2}}$$
로 쓸 수 있다.

따라서 문제의 경우는 $x$ 대신 $\frac{3}{4}x$를 대입하고 $k=-\frac{1}{2}$인 경우인데
구하는 값을 계산할 때 서로 약분이 될 것임을 알 수 있고 이를 최대한 이용하기 위해 $k=-\frac{1}{2}$는 대입하지 않고
$x$ 대신 $\frac{3}{4}x$만 대입하여 $a_{10}, a_{11}$을 각각 구해보면
$$\begin{align}
a_{10} &= \frac{1}{10!}k(k-1)\cdots (k-9)\left(\frac{3}{4}\right)^{10} \\
a_{11} &= \frac{1}{11!}k(k-1)\cdots (k-10)\left(\frac{3}{4}\right)^{11}
\end{align}$$
이 성립한다. 따라서
$$a_{11} = \frac{1}{11} \times \frac{3}{4}(k-10)a_{10}$$
이 성립하므로
$$\frac{a_{11}}{a_{10}} = \frac{3}{44}(k-10)\bigg|_{k=-\frac{1}{2}} = -\frac{63}{88}$$
이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 39번 풀이

방향도함수를 구하기 위해 경도벡터
$$\nabla f =(f_x, f_y)$$
에 대하여
$$\begin{align}
    f_x(1,2) &=a\\
    f_y (1,2) &= b
\end{align}$$
라 하자. 주어진 두 조건으로부터
$$\begin{align}
    \frac{3}{5}a - \frac{4}{5}b &= \frac{26}{5} \\
    -\frac{12}{13}a + \frac{5}{13}b &= -\frac{82}{13}
\end{align}$$
이 성립하므로 둘을 연립하면
$$a=6, \quad b=-2$$
를 얻는다.

이제 곡면
$$f(x,y)-z=0$$
위의 점 $(1, 2, f(1,2))$에서의 경도벡터가
$$n=(6,-2,-1)$$
이므로, 이 점에서의 접평면의 방정식은
$$6(x-1) -2(y-2)-(z-f(1,2)) = 0$$
이고, 이 접평면이 점 $(3,5,3)$을 지나므로 대입하면
$$12-6-(3-f(1,2))=0$$
에서
$$f(1,2)=-3$$
이다. 한편
$$|\nabla f(1,2)|^2 = 6^2 + (-2)^2 = 40$$
이므로 구하는 값은
$$40 + (-3) = 37$$
이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 40번 풀이

함수 $g(x)$를
$$g(x) = \int_0^x f(t)dt$$
라 하자. 그러면
$$\begin{align}
(f(0))^2 &= (g(0))^2\\
\left(\int_0^2 f(x)dx\right)^2 &= (g(2))^2
\end{align}$$
이다.

함수 $f(x)$가 연속이므로 함수 $g(x)$는 미분가능하고, 주어진 식을 다시 쓰면
$$g(x)g'(x)=e^x + 3x-1$$
이고, $g(0)=0$이므로 미분계수의 정의로부터
$$g'(0) = \lim_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{x}$$
이므로 위의 식의 양변을 $x$로 나누고 양변에 $x \to 0$인 극한을 취하면
$$\lim_{x\to 0}g'(x)\times \frac{g(x)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{e^x + 3x-1}{x}$$
에서
$$(g'(0))^2 = 4$$
이다. 한편 $f(0)=g'(0)$이므로
$$(f(0))^2 = 4$$
이다.

이번에는 위 식의 양변에 $2$를 곱한 뒤 적분하면
$$(g(x))^2 = 2e^x + 3x^2 - 2x + C$$
이고 $g(0)=0$이므로 $C = -2$이므로
$$(g(x))^2 = 2e^x + 3x^2 - 2x - 2 $$
이고 양변에 $x=2$를 대입하면
$$(g(2))^2 = 2e^2 + 6$$
임을 얻으므로, 구하는 값은
$$(g'(0))^2 + (g(2))^2 = 2e^2 + 10$$
이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 41번 풀이

적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 \int_0^{x^3} \cos(\pi x^2)dydx \\
    &= \int_0^1 x^3 \cos (\pi x^2)dx \\
    &= \frac{1}{2} \int_0^1 t\cos (\pi t)dt \quad (x^2 = t) \\
    &= \frac{1}{2\pi} t\sin (\pi t) + \frac{1}{2\pi^2} \cos(\pi t)\bigg|_0^1 \\
    &= -\frac{1}{\pi^2}
\end{align}$$
이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 42번 풀이

ㄱ. 극한비교판정법으로부터 주어진 급수의 수렴성은 급수
$$\sum \frac{1}{n(\ln n)^2}$$
의 수렴성과 같고, 이 급수는 적분판정법으로부터 수렴하므로 원래의 급수도 수렴한다.

ㄴ. 비판정법을 이용하면 수렴한다.

ㄷ. $n\to\infty$이면 $\frac{2}{n}\to 0$이므로 테일러전개를 이용하면
$$\begin{align}
2- n\sin\frac{2}{n}&\approx 2 - n\left(\frac{2}{n} - \frac{1}{6}\left(\frac{2}{n}\right)^3 \right) \\
&= \frac{4}{3n^2}
\end{align}$$
이므로 주어진 급수는
$$\sum \frac{4}{3n^2}$$
와 비슷하게 행동하게 되어 수렴한다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 43번 풀이

주어진 곡선은 폐곡선이고, 타원
$$\frac{x^2}{9} + y^2 = 1$$
의 경계이다. 이 타원의 내부를 $D$라 하자.

그린정리를 이용하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D (1-x)dxdy \\
    &= \iint_D 1 dxdy \\
    &= \text{Area}(D) \\
    &= 3\pi
\end{align}$$
이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 44번 풀이

$A^3 = B^2$에서
$$(\det A)^3 = (\det B)^2 = 3^6$$
이므로
$$\det A = 3^2 = 9$$
이다. 이제 행렬식의 성질을 이용하면
$$\begin{align}
    \det (2A^T BA^{-1}B^{-1}A) &= 2^3 \times \frac{\det A \det B \det A}{\det A \det B} \\
    &= 8\det A \\
    &= 72
\end{align}$$
이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 45번 풀이

ㄱ. 주어진 행렬이 대칭행렬이므로
$$\begin{cases}
    c+2 = 4 \\
    a+b=a \\
    a+b=c
\end{cases}$$
를 얻고, 이를 풀면
$$a=2, b=0, c=2$$
이다. 따라서 행렬 $B$는
$$B = \begin{pmatrix}
0 & 2 & -2 \\
-2 & 0 & 1 \\
2 & -1 & 0
\end{pmatrix}$$
이 되어 반대칭 행렬이 맞다. (참)

ㄴ. 주어진 행렬은 상삼각행렬이므로 고윳값이
$$\lambda = -1, 1 ,5$$
임을 바로 알 수 있다. 이제 직접 벡터를 주어진 행렬에 곱해보면
$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -1 & 3 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
5 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
10 \\
2 \\
2
\end{pmatrix}$$
이므로 고윳값 $\lambda = 5$에 대응하는 고유벡터가 맞다. (참)

ㄷ. $\lambda = 1$이 행렬 $A$의 한 고윳값이라고 하자.
그러면 나머지 한 고윳값을 $k$라 하면
$$1+k=\text{tr}(A) = -2$$
이므로 $k=-3$임을 얻는다. 즉, 나머지 한 고윳값은 $\lambda = -3$이 맞다. (참)

ㄹ. 주어진 행렬의 고윳값을 구하는 과정에서 2행 2열을 기준으로 라플라스전개를 했다고 생각하면
주어진 행렬의 고윳값은
1. $\lambda = 5$
2. 원래의 행렬에서 2행 2열을 제거하여 얻은 $2\times2$행렬의 고윳값
이고, 직접 계산해보면
$$\lambda = 0, 5, 5$$
임을 알 수 있다. 한편 주어진 행렬은 대칭행렬이므로 대각화가 가능하다.
즉, 두 행렬은 닮았다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 46번 풀이

두 벡터 $v_1, v_2$는 $U$의 직교기저이므로 둘의 사잇각은 $\frac{\pi}{2}$이다.

한편
$$\begin{align}
    u_1 \times u_2 &= (a_1 v_1 + a_2 v_2) \times (b_1 v_1 + b_2 v_2 ) \\
    &= a_1b_2 (v_1 \times v_2) + a_2b_1 (v_2 \times v_1) \\
    &= a_1b_2 (v_1 \times v_2) - a_2b_1 (v_1 \times v_2) \\
    &= (a_1b_2 - a_2b_1)(v_1 \times v_2)
\end{align}$$
이므로
$$\begin{align}
    |u_1 \times u_2| &=|(a_1b_2 - a_2b_1)(v_1 \times v_2)| \\
    &= |a_1b_2 - a_2b_1| |v_1 \times v_2| \\
    &= |a_1b_2 - a_2b_1||v_1||v_2|\sin\frac{\pi}{2} \\
    &= \frac{5}{9}|a_1b_2 - a_2b_1|
\end{align}$$
이다. 한편 주어진 두 벡터 $u_1, u_2$를 직접 외적하여 크기를 구해보면
$$|u_1 \times u_2| = \sqrt{75}$$
이므로
$$|a_1b_2 - a_2b_1| = 5\sqrt{3}\times \frac{9}{5} = 9\sqrt{3}$$
이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 47번 풀이

문제에서 행렬 $A$의 1열와 3열에 주목하면
$$\begin{pmatrix}
2 \\
2 \\
4
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \\
3 \\
r
\end{pmatrix}$$
로 봤을 때 $r=7$이다.

한편 $\text{rank}(A)$의 값은 0이상 3이하의 정수이므로 여기에 $7$을 곱한 것으로
가능한 선지는 5번 뿐이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 48번 풀이

주어진 행렬의 열벡터끼리 내적하면 수직이 아니다. 따라서 두 열벡터는 열공간 $V$의 기저이되
직교기저는 아니다.

따라서 최소제곱법을 이용하자. 두 상수 $p, q$에 대하여
$$p\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
2 \\
1
\end{pmatrix} +q\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
-1 \\
0
\end{pmatrix} $$
를 만족시키는 $p, q$를 찾으면 되고, 행렬표현을 통해 다시 나타내보면
$$\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & -1 \\
2 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
p \\
q
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
-1 \\
0
\end{pmatrix} $$
이고, 최소제곱법 공식을 이용하면
$$\begin{pmatrix}
6 & 2 \\
2 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
p \\
q
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-1 \\
-1
\end{pmatrix}$$
이 성립한다. 이를 풀면
$$p=-\frac{1}{14}, q=-\frac{2}{7}$$
이므로 구하는 정사영벡터는
$$-\frac{1}{14}\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
2 \\
1
\end{pmatrix} -\frac{2}{7}\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-\frac{5}{14} \\
\frac{2}{7} \\
-\frac{1}{7} \\
-\frac{5}{14}
\end{pmatrix}$$
이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 49번 풀이

행렬 $A$의 고윳값이 $\lambda = -1, 1, 2$이므로 행렬 $B$의 고윳값은
$$\lambda = -4, -6, -12$$
이다. 따라서 행렬 $B$의 행렬식은 모든 고윳값의 곱인
$$\det B = (-4)\times (-6)\times (-12) = -288$$
이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 50번 풀이

[풀이 1]
답만 구하는 풀이이다. 특이값분해의 성질로부터
- 가운데에 곱해지는 행렬은 $n$행 $n$열 성분을 제외하면 전부 $0$
- $A=U\Sigma V^T$로 쓸 때 $U, V$는 직교행렬
가 성립한다 이를 이용할 수 있다.

우선 첫번째 내용을 이용하면
$$\sigma_{12}^2 + \sigma_{13}^2+\sigma_{21}^2+\sigma_{22}^2 = 0$$
임을 알 수 있다.

행렬 $U$가 직교행렬임을 이용하자. 2행과 2열의 크기가 각각 1이어야 하므로
$$u_{21}^2 = u_{12}^2 = \frac{1}{2}$$
임을 알 수 있고, 이를 다시 1행 (또는 1열)의 크기가 1이어야 함에 적용하면
$$u_{11}^2 = \frac{1}{2}$$
임을 알 수 있다.

마찬가지로 $V$가 직교행렬임을 이용하자. 3행과 2열의 크기가 $1$이어야 하므로
$$v_{31}^2 = \frac{1}{3},\quad v_{12}^2 = \frac{1}{2}$$
이다. 이를 1열의 크기가 1이어야 함에 적용하면
$$v_{21}^2 = \frac{1}{3}$$
이고, 마지막으로 이를 2행의 크기가 1이어야 함에 적용하면
$$v_{23}^2 = \frac{1}{6}$$
임을 얻는다. 이상에서 구하는 값은
$$\frac{1}{2}+0+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}$$
이다.

[풀이 2]
직접 $U, V^T$를 구성하는 풀이이다. 위에서 설명한 내용과 마찬가지로
$$\sigma_{12}^2 + \sigma_{13}^2+\sigma_{21}^2+\sigma_{22}^2 = 0$$
임은 바로 알 수 있다.

이때 $U$, $V$를 구성할 때 다음이 성립한다. :
- $U$의 각 열은 행렬 $AA^T$의 고유벡터이다.
- $V^T$의 각 열은 행렬 $A^TA$의 고유벡터이다.

이때 $\Sigma$에 나열된 특이값의 순서가 $\sqrt{6}, 0$이므로
- $U$의 1열, 2열은 각각 고윳값 $6, 0$에 대응되는 고유벡터
- $V^T$의 1열, 2열은 각각 고윳값 $6, 0$에 대응되는 고유벡터

임을 알 수 있다.

이제 직접 $AA^T$, $A^TA$의 고윳값 및 고유벡터를 구해보면
$$AA^T = \begin{pmatrix}
3 & 3 \\
3 & 3
\end{pmatrix}$$
에서
$$\lambda=6, 0$$
이고 이에 대응되는 고유벡터는 각각
$$v_1 = \begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix}$$
이므로 $U$가 직교행렬임을 고려하면
$$U = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}$$
임을 알 수 있다.

마찬가지로
$$A^TA = \begin{pmatrix}
2 & 2 & -2 \\
2 & 2 & -2 \\
-2 & -2 & 2
\end{pmatrix}$$
에서
$$\lambda = 6, 0, 0$$
이고 이에 대응되는 고유벡터는 각각
$$v_1 = \begin{pmatrix}
-1 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix},\quad v_3 = \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}$$
이때 위에서 언급한 내용으로부터 $v_1$의 상수배가 $V^T$의 1열이 됨은 바로 알 수 있다.
또, $V^T$의 3행 2열 성분이 $0$이므로 $v_2$의 상수배가 $V^T$의 2열이 되어야 한다.

그런데 남은 $v_3$은 아무리 상수배를 해도 $V^T$의 3열이 될 수 없다.
여기서 떠올릴 수 있는 것은 $\lambda=0$에 대응되는 고유벡터가 2개라는 것이다.
즉, 꼭 $v_2$ 또는 $v_3$의 상수배를 해야하는 것이 아니라 $v_2$와 $v_3$의 일차결합으로 나타내도 된다는 것이고
이를 통해 $V^T$의 3열은
$$\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{2}{\sqrt{6}}
\end{pmatrix}$$
이 됨을 알 수 있다.

(이렇게 고유벡터를 바로 쓰는 것이 아닌 일차결합을 해서 써야하는 문제가

2024년 가천대학교 편입수학 기출문제 11번에도 출제되었다.)

1열과 2열은 직교행렬이 되도록 각각 상수배해서 설정해주면
$$V^T = \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
-\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}}
\end{pmatrix}$$
이다.

이상에서 구하는 값을 전부 제곱하여 더해보면 위와 동일한 결론을 얻는다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 51번 풀이

주어진 식을 변형하면
$$F(s) = \frac{s+2-3}{(s+2)^2} = \frac{1}{s+2}-\frac{3}{(s+2)^2}$$
이므로 역변환하면
$$f(t) = e^{-2t} - 3te^{-2t}$$
가 되어
$$f(1) = -2e^{-2}$$
이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 52번 풀이

역연산자 방법을 통해 특수해 $y_p$를 먼저 구해보면
$$\begin{align}
    y_p &= \frac{1}{(D+1)(D+4)}\left\{6e^{-t}\right\} \\
    &= 6e^{-t} \frac{1}{D(D+3)}\left\{1\right\} \\
    &= 6e^{-t} \frac{1}{D^2+3D}\left\{1\right\} \\
    &= 6e^{-t} \frac{1}{D+3}\left\{t\right\} \\
    &= 2e^{-t} \frac{1}{1+\frac{D}{3}} \left\{t\right\} \\
    &= 2e^{-t} \left(1-\frac{D}{3} + \left(\frac{D}{3}\right)^2-\cdots\right) \left\{t\right\} \\
    &= 2e^{-t} \left(t - \frac{1}{3}\right) \\
    &= \frac{2e^{-t}}{3}(3t-1)
\end{align}$$
임을 얻는다. 따라서 주어진 미분방정식의 제차해 $y_c$는 미분방정식
$$y_c ''+5y_c'+4y_c = 0,\quad y_c(0)=\frac{8}{3}, y_c'(0)=\frac{1}{3}$$
을 만족시키고 이는 라플라스 변환을 통해 해결할 수 있다.

함수 $y_c$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
    Y &= \frac{8s+1+40}{3(s+1)(s+4)} \\
    &= \frac{11}{3(s+1)} - \frac{1}{s+4} \\
\end{align}$$
이고 역변환하면
$$y_c = \frac{11}{3}e^{-t} - e^{-4t}$$
이다.

따라서 주어진 미분방정식의 해는
$$\begin{align}
    y &= y_c + y_p \\
    &= \frac{11}{3}e^{-t} - e^{-4t} + \frac{2}{3}e^{-t}(3t-1)
\end{align}$$
이므로 구하는 값은
$$y(1) = 5e^{-1} - e^{-4}$$
이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 53번 풀이

$x=e^t$ 치환을 통해 주어진 코시 오일러 미분방정식을 이계 선형 미분방정식으로 변환하면
$$y''-16y'+68y=0,\quad y(0)=3, y'(0)=30$$
이고 이는 라플라스 변환을 통해 해결할 수 있다. 함수 $y(t)$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
Y &= \frac{3s+30-48}{(s-8)^2 + 2^2} \\
&= \frac{3(s-8) + 6}{(s-8)^2 + 2^2}
\end{align}$$
이고 역변환하면
$$y(t) = 3e^{8t}(\cos t+\sin t)$$
이다.

이제 $x=e^t$ 치환 이전의 구하는 값 $y(e^{\frac{\pi}{8}})$은 치환 이후 $y\left(\frac{\pi}{8}\right)$와 같으므로
$$y\left(\frac{\pi}{8}\right)=3\sqrt{2}e^{\pi}$$
이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 54번 풀이

구하는 값이 $x$에 연관되어 있으므로 $x$에 대한 미분방정식으로 변형할것이다.

우선 초기치를 대입하면
$$x(0)=2, x'(0)=6$$
을 얻는다. 주어진 미분방정식을 미분연산자를 통해 다시 나타내면
$$\begin{cases}
    (D-1)x - y = 0 \\
    x + (D-1)y = 0
\end{cases}$$
이다. 첫 식의 양변에 $D-1$을 곱한 뒤 두번째 식과 더하면
$$(D-1)^2x + x = 0$$
에서
$$x''-2x'+2x =0,\quad x(0)=2, x'(0)=6$$
을 얻고, 이는 라플라스 변환을 통해 해결할 수 있다.

함수 $x(t)$의 라플라스 변환을 $X$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
    X &= \frac{2s+6-4}{(s-1)^2 + 1} \\
    &= \frac{2(s-1)+4}{(s-1)^2 + 1}
\end{align}$$
이고 역변환하면
$$x(t) = 2e^t (\cos t+2\sin t)$$
이므로 구하는 값은
$$x(\pi) = -2e^{\pi}$$
이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 55번 풀이

론스키안 방법을 이용한다. 먼저 제차 미분방정식
$$y''+y=0$$
의 두 해가
$$y=\cos x, \sin x$$
이므로 제차해의 론스키안 행렬식은
$$W(x) = \det \begin{pmatrix}
\cos x & \sin x \\
-\sin x & \cos x
\end{pmatrix} = 1$$
이고
$$\begin{align}
    W_1(x) &= \det \begin{pmatrix}
0 & \sin x \\
\sec x & \cos x
\end{pmatrix} = -\tan x \\
W_2(x) &= \det \begin{pmatrix}
\cos x & 0 \\
-\sin x & \sec x
\end{pmatrix} = 1
\end{align}$$
이므로 주어진 미분방정식의 특수해 $y_p$는
$$\begin{align}
    y_p &= \cos x\int \frac{W_1(x)}{W(x)}dx+\sin x\int \frac{W_2(x)}{W(x)}dx \\
    &= \cos x\int -\tan xdx+\sin x\int dx \\
    &= \cos x\ln \cos x + x\sin x
\end{align}$$
이다. 즉, 주어진 미분방정식의 해 $y$는
$$y=c_1 \cos x+c_2 \sin x+y_p$$
이고, 주어진 두개의 초깃값을 통해
$$y=x\sin x+\cos x\ln (2\cos x)$$
임을 알 수 있다. 따라서 구하는 값은
$$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}\ln 2+\frac{\sqrt{2}}{8}\pi$$
이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 56번 풀이

적당한 차수의 다항함수나 지수함수같은 해를 무작위로 대입해봐도 성립하지 않는다.
또, 평행이동 후 라플라스 변환을 생각하더라도 $x^2$때문에 상당히 계산이 복잡해지게 된다.
이런 경우 곱미분 형태를 만드는 방법으로 접근해본다.

가장 먼저 이계도함수가 포함된
$$(x^2 - x)y''$$
를 보자. 어떤 두 식이 곱해진 것을 미분하여 위의 식이 나왔다고 생각하면
$y''$은 $y'$를 미분하여 생겼을 것이고, 앞에 곱해진 $x^2 - x$는 미분하지 않은 그대로일 것이다.
(곱미분을 할 때 곱해진 것 중 하나를 미분하면 나머지를 그대로 쓰기 때문이다.)

즉, 어떤 함수 $f(x)$에 대하여
$$f(x)y'$$
를 미분한 것이 $(x^2 - x)y''$라는 것이고, 직접 미분을 해보면
$$f'(x)y' + f(x)y''$$
이 되므로 $f(x) = x^2 -x$이다.

따라서
$$((x^2 - x)y')' = (x^2 - x)y'' + (2x-1)y'$$
이므로 주어진 미분방정식에서 이 부분을 제외하고 남은 부분만 써보면
$$xy'+y$$
가 남는데, 이는
$$(xy)' = y+xy'$$
으로 쓸 수 있다.

이제 주어진 미분방정식을 다시 쓰면
$$((x^2 - x)y')' + (xy)' = 0$$
이다. 양변을 적분하면
$$(x^2 - x)y' + xy = C=3$$
이고 이는 일계 선형 미분방정식이다.

따라서 적분인자를 이용해도 되나, 위에서 이용한 방법을 다시 한 번 이용할 수 있다.
$$(xy)' = y+xy'$$
가 성립한다는 점에서
$$((x-1)y)' = y+(x-1)y'$$
임을 알 수 있으므로, 주어진 미분방정식의 양변을 $x$로 나누면
$$(x-1)y' + y = \frac{3}{x}$$
이고 이때 좌변이 $((x-1)y)'$이므로 양변을 적분하면
$$(x-1)y = 3\ln x + C = 3\ln x + 3\ln 2$$
이므로
$$y = \frac{3\ln x+3\ln 2}{x-1}$$
에서
$$y\left(\frac{1}{4}\right) = 4\ln 2$$
이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 57번 풀이

변수변환
$$\begin{cases}
    u=xy\\
    v=yz\\
    w=zx
\end{cases}$$
라 하자. 그러면 구하는 부피 $V$는
$$\begin{align}
    V &= \int_1^4 \int_4^{16}\int_1^9 \frac{1}{2\sqrt{uvw}}dwdvdu \\
    &= 16
\end{align}$$
이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 58번 풀이

주어진 두 극곡선을 회전시켜서 두 곡선
$$\begin{align}
    r&=6+6\cos\theta \\
    r&=6+2\cos\theta
\end{align}$$
에 대한 문제로 생각해도 된다. 이때 두 극곡선의 교각은
$$\theta=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$$
이므로 대칭성을 이용하면 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= 2\left(\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(6+2\cos\theta)^2d\theta + \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (6+6\cos\theta)^2 d\theta\right) \\
    &= 19\pi +24 + 27\pi-72 \\
    &= 46\pi - 48
\end{align}$$
이므로
$$a-b=94$$
이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 59번 풀이

주어진 미분방정식은 베르누이 미분방정식이고, $u=y^{-1}$로 치환하면 주어진 미분방정식은
$$u'-\frac{4}{x}u = -3$$
이라는 일계 선형 미분방정식이 되므로 공식을 이용하면
$$\begin{align}
    u &= e^{4\ln x}\left(\int \frac{-3}{x^4}dx + C\right) \\
     &= x^4 \left(\frac{1}{x^3} + C\right) \\
     &= x+Cx^4 \\
     &= \frac{1}{y}
\end{align}$$
이므로
$$y=\frac{1}{x+Cx^4}$$
에서
$$y(1)=\frac{1}{3}\quad\Longrightarrow\quad C=2$$
이므로
$$y(2)=\frac{1}{34}$$
에서
$$p+q=35$$
이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 60번 풀이

앞에 곱해진 행렬이
$$\sqrt{2}\begin{pmatrix}
\cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} \\
\sin\frac{\pi}{4} & \cos\frac{\pi}{4}
\end{pmatrix}$$
임을 눈치 챌 수 있다. 또, 앞에 곱해진 행렬을 $P$, 뒤에 곱해진 행렬을 $Q$라 하면
$$PQ=QP$$
가 성립한다. (회전의 순서를 바꿔도 상관이 없기 때문이다.)

즉, 두 행렬 $P, Q$는 교환가능하다. 따라서
$$A^{25} = P^{25}Q^{25}$$
인데

행렬 $Q$는 반시계방향으로 $\theta$만큼 회전하는 변환이고
행렬 $P$는 반시계방향으로 $\frac{\pi}{4}$만큼 회전하고 $\sqrt{2}$배 하는 변환

이고, $x$축 위에서 부호는 고려하지 않아도 되기때문에 회전각만 고려하면 원래의 $x$축 위의 점을

1. 반시계방향으로 $25\theta$만큼 회전
2. 반시계방향으로 $\frac{25}{4}\pi$만큼 회전

을 순서대로 적용했을 때 다시 $x$축 위에 놓인다는 말과 같다.
곧, 전체 회전각이 $\pi$의 정수배가 되어야 하므로 정수 $n$에 대하여
$$25\theta + \frac{25}{4}\pi = n\pi$$
이므로 $\theta$에 대해 풀면
$$\begin{align}
\theta &= \left(\frac{n}{25}-\frac{1}{4}\right)\pi \\
&=\frac{4n-25}{100}\pi
\end{align}$$
이다. 이제 $\theta$가 양수이려면 $n\geq 8$이고, $\theta$의 최소를 묻고 있으므로
$n=8$일 때
$$\theta = \frac{3}{100}\pi$$
로 최소가 된다. 따라서 정답은
$$p+q=103$$
이다.

2025 한양대학교 편입수학 기출문제 61번 풀이

시각 $t$에서 소금의 양을 $y(t)$라 하자. 그러면 $y'(t)$를 모델링하는 방법은
들어오는 소금의 양에서 빠져나가는 소금의 양을 빼준 것과 같다.

이때, 소금의 농도가 $0.1\text{kg/L}$인 소금물이 $3\text{L/min}$의 비율로 수조로 들어오므로
$0.3$만큼의 소금이 분마다 계속 유입된다.

이제 빠져나가는 양을 계산하기 위해 시각 $t$에서 수조에 얼마만큼의 물이 들어있는지를 먼저 구해야 한다.
초기상태에는 $10$만큼의 물이 있고, 분마다 3리터가 들어오면서 2리터가 빠지므로
분당 1리터의 물이 수조에 추가된다고 볼 수 있다. 즉, 시각 $t$에서 수조의 물의 양은
$$10+t$$
만큼 있게된다.

따라서 유출량은 수조에 있는 전체 물의 양 대비 빠지는 물의 양인
$$\frac{2y}{10+t}$$
이다.

이상을 종합하면
$$y'=3-\frac{2}{10+t}y,\quad y(0)=2$$
이고 이는 일계 선형 미분방정식이므로 공식을 이용하면
$$\begin{align}
    y &= e^{-2\ln (t+10)}\left(\int \frac{3}{10}(t+10)^2 dt +C\right) \\
    &= \frac{1}{(t+10)^2}\left(\frac{1}{10}(t+10)^3+C\right) \\
    &= \frac{1}{10}(t+10)+\frac{C}{(t+10)^2} \\
    &= \frac{1}{10}(t+10)+\frac{100}{(t+10)^2} \quad (y(0)=2)
\end{align}$$
이다.

이때 시각 $t$에서 수조 내의 물의 양이 $10+t$이므로, 물의 양이 $20$이 될 때는 $t=10$이다.
즉, 구하는 값은
$$y(10) = \frac{9}{4}$$
에서 구하는 값은 $13$이다.

마치며

이상으로 2025 한양대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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[편입] 2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

수학올인 — Sun, 13 Jul 2025 23:59:31 +0900

[편입] 2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에선 2025년 중앙대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 중앙대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(중앙대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제)

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

분자와 분모에 곱해져있는 모든 항이 $x=2$근방에서 양수이므로 로그 미분법을 이용한다.
가장 먼저 $f(2) = \frac{4}{5}$이고
$$\ln f(x) = 4\ln x+\ln(x-1)-\ln(x+2)-\ln(x^2+  1)$$
이므로 양변을 미분하면
$$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{4}{x} + \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+2}-\frac{2x}{x^2+1}$$
이므로
$$\begin{align}
    f'(2) &= f(2)\times\left(2+1-\frac{1}{4}-\frac{4}{5}\right) \\
    &=\frac{39}{25}
\end{align}$$
이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

수열 $a_n$을
$$a_n = \frac{n!}{n^n}$$
라 하면, 비율판정법을 통해
$$\frac{a_n}{a_{n+1}} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e$$
이므로 구하는 수렴반경은 $e$이다.

아래의 두 급수
$$\sum \frac{n!}{n^n},\quad \sum \frac{n^n}{n!}$$
의 수렴반경이 각각 $e, \frac{1}{e}$임은 암기하고 있으면 좋다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

로피탈의 정리를 두 번 적용해보면, 구하는 값은 $f''(1)$과 같음을 알 수 있고
$$\begin{align}
f'(x) &= \frac{1}{x^2+1} \\
f''(x) &= -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}
\end{align}$$
이므로 주어진 극한은
$$\text{(Limit)} = f''(1) = -\frac{1}{2}$$
이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

주어진 행렬 $B$는 $3\times 3$행렬이므로 고윳값을 세 개 가질 것이다.

그리고 세 고윳값의 합은 대각합과 같으므로
$$\text{tr}(B) = 0$$
임을 고려하면 $B$의 세 고윳값의 합은 $0$이다.

따라서 4개의 선지 중 3개를 골라서 더했을때 그 값이 0이라면 그 셋은 고윳값이라는 말이고
이때 포함되지 않은 1개가 고윳값이 아닌 값이다.

선지를 확인하면 1, 2, 4번을 골라 더하면 0이므로, 정답은 3번이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

구하는 값은 주어진 세 벡터 $a, b, c$를 행 (또는 열)로 갖는 $3\times 3$크기의 행렬의 행렬식과 같으므로
$$a\circ(b\times c) = \det \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 4 \\
4 & 9 & 16
\end{pmatrix} = 2$$
이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

$f(2) = 9$이므로 $f^{-1}(9)=2$이다. 따라서 역함수 미분법을 이용하면
$$(f^{-1})'(9) = \frac{1}{f'(2)} = \frac{2}{25}$$
이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

편미분을 이용하여 음함수의 이계도함수를 구하자.
$$f(x,y)=y^3 - x^2 - 4= 0 $$
이라 하면
$$\begin{align}
    &f_x = -2x, \quad f_y = 3y^2 \\
    &f_{xx} = -2 ,\quad f_{yy} = 6y \\
    &\quad \quad \quad \quad f_{xy}=0
\end{align}$$
이므로
$$\begin{align}
    \frac{d^2y}{dx^2} &= - \frac{(f_x)^2 f_{yy} - 2f_x f_y f_{xy} + (f_y)^2 f_{xx}}{(f_y)^3} \\
    &=\frac{6y^3 - 8x^2}{9y^5}
\end{align}$$
이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

행렬
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
-1 & 3 & 4
\end{pmatrix}$$
에 대하여 $T$의 치역은 $A$의 열벡터들의 일차결합으로 생성된다.

이때 만약 치역의 차원이 3이라면 $\mathbb{R}^3$의 모든 벡터가 포함될 것이므로 3차원은 아닐 것이다.
마찬가지로 치역의 차원이 3이라면 선지중 3개는 한 직선 위에 놓여야 하는데 그렇지 않다.
따라서 치역의 차원은 2임을 알 수 있다.

따라서 $A$의 열벡터 중 일차독립인 아무 두 벡터가 치역의 기저가 됨을 알 수 있고
그 둘을 외적해서 얻은 벡터는 $T$의 치역과 수직이다.

이 문제에서는 $A$의 1, 2열의 벡터를 골라 외적하여 얻은 벡터를 $v$라 하면
$$v = \begin{pmatrix}
1 \\
-5 \\
1
\end{pmatrix}$$
임을 얻는다.

이 과정을 왜 한 것이냐면 :
- 만약 선택지의 벡터가 치역에 속한다면 $v$와의 내적이 $0$이다.
- 만약 선택지의 벡터가 치역에 속하지 않는다면 $v$와의 내적이 $0$이 아니다.

를 이용하기 위함이다. 치역을 직접 구하는 문제에서 단순히 선지마다 참거짓을 확인하는 문제로 바꾼 것이다.
이제 $v$와 선지 4개를 전부 내적해서 확인해보면 내적값이 $0$이 아닌 것은 4번이므로
정답은 4번이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

주어진 함수는 우함수이므로, $x\geq 0$에서만 생각하자.

미분해보면
$$S '(x) = \begin{cases} \frac{x\cos x -\sin x}{x^2} & (x\neq 0) \\
0&(x=0)\end{cases}$$
이므로
$$S'(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad \tan x= x$$
이다.

그런데 주어진 구간에서 $\tan x = x$의 실근은 $x=0$뿐이고 $x=0$근방에서
$|\sin x|\leq |x|$이므로 $x=0$ 근방에서
$$|S(x)|\leq 1$$
이 되어 $x=0$에서 $S(x)$는 극대이다.

이때 $0<x<\frac{\pi}{2}$이면
$$\begin{align}
x<\tan x &\quad\Longrightarrow\quad x\cos x - \sin x<0 \\
&\quad\Longrightarrow\quad S'(x) < 0
\end{align}$$
이므로 함수 $S(x)$는 $0\leq x\leq \frac{\pi}{2}$에서 감소하므로 최솟값
$$S\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{2}{\pi}$$
를 갖는다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

행렬식을 구하는 과정에서 2, 3, 4행에 전부 1행을 빼면
$$\det M = \det\begin{pmatrix}
a & b & b & b \\
0 & a-b & 0 & a-b \\
0 & 0 & a-b & a-b \\
-(a-b) & 0 & 0 & a-b
\end{pmatrix}$$
이다. 이제 4열에 2, 3열을 뺀 뒤 1열을 더하면
$$\begin{align}\det M &= \det\begin{pmatrix}
a & b & b & a-b \\
0 & a-b & 0 & 0 \\
0 & 0 & a-b & 0 \\
-(a-b) & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \\
&= (a-b)\det \begin{pmatrix}
b & b & a-b \\
a-b & 0 & 0 \\
0 & a-b & 0
\end{pmatrix} \\
&= -(a-b)^2 \det \begin{pmatrix}
b & a-b \\
a-b & 0
\end{pmatrix} \\
&= (a-b)^4
\end{align}$$
이다. 순서대로

1. 4행에 대한 라플라스 전개
2. 3행에 대한 라플라스 전개

를 이용한 것이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

극좌표 상에서 넓이를 구하는 공식을 사용하면 반각치환이나 복소적분을 이용해야 하므로
직교좌표계로 고친 뒤 넓이를 구하는 것이 빠를 것임을 유추할 수 있다.
(이러한 근거로는 기출문제로부터 주어진 극곡선이 타원임을 알 수 있기 때문도 있다.)

직교좌표계로 고치기 위해 양변에 $5+3\cos\theta$를 곱하면
$$16=5r+3r\cos\theta = 5r+3x$$
에서 $5r$에 대해 정리하면
$$5r = 16-3x$$
에서 양변을 제곱하면 $r^2 = x^2 + y^2$이므로
$$25x^2 + 25y^2 = 9x^2 - 96x+256$$
에서
$$16x^2 + 96x+25y^2 = 256$$
이고 완전제곱꼴로 고치면
$$16(x+3)^2 + 25y^2 = 400$$
이므로 주어진 곡선은
$$\frac{(x+3)^2}{5^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1$$
이 되므로, 이 타원 내부의 넓이 $S$는
$$S = 4\times 5\times\pi = 20\pi$$
이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

두 양수 $a, b$에 대하여
$$\lim_{n\to\infty} (a^n + b^n)^{\frac{1}{n}} = \max(a, b)$$
가 성립한다.

왜냐하면 두 양수 $a, b$중 큰 것을 $k$라 하면
$$k^n\leq a^n+b^n\leq 2k^n$$
에서 양변에 $\frac{1}{n}$승을 취하면
$$k\leq (a^n + b^n)^{\frac{1}{n}} \leq k2^{\frac{1}{n}}$$
이고 양변에 $n\to\infty$인 극한을 취하면
$$\begin{align}
    \lim_{n\to\infty} k &= k \\
    \lim_{n\to\infty} k2^{\frac{1}{n}} &= k
\end{align}$$
이므로
$$\lim_{n\to\infty} (a^n + b^n)^{\frac{1}{n}} = k =  \max(a, b)$$
이기 때문이다. 따라서 $0<a<b$이므로 정답은 3번이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

$(g(x))^2 = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_1^3 \frac{1}{2\sqrt{t+1}}dt \\
    &= \sqrt{t+1}\bigg|_1^3 \\
    &= 2-\sqrt{2}
\end{align}$$
이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

$2t=x$로 치환한 뒤 부분적분을 반복하여 적용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{8}\int_0^{\pi} x^2\sin xdx \\
    &= \frac{1}{8}\left(-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x\right)\bigg|_0^{\pi} \\
    &= \frac{\pi^2 - 4}{8}
\end{align}$$
이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

분자를
$$6x+7 = 6(x+2) - 5$$
로 변형하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_{-1}^1 \left(\frac{6}{x+2} - \frac{5}{(x+2)^2}\right)dx \\
    &= 6\ln(x+2) + \frac{5}{x+2}\bigg|_{-1}^1 \\
    &= 6\ln 3-\frac{10}{3}
\end{align}$$
이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

경계 $z=0$이 포함되든 그렇지 않든 이중적분 값에 변화는 없다.
따라서 구면좌표계를 이용하여 계산하면 주어진 삼중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1 \rho^2 \sin^2\phi \times \rho \cos\phi \times \rho^2 \sin\phi d\rho d\phi d\theta \\
    &= \left(\int_0^{2\pi} d\theta \right)\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\phi \cos\phi d\phi \right)\left(\int_0^1 \rho^5 d\rho \right) \\
    &= 2\pi \times \frac{1}{4}\times \frac{1}{6} \\
    &= \frac{\pi}{12}
\end{align}$$
이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

$\sqrt{x}=t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{2}{\pi}\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt \\
    &= \frac{2}{\pi} \times \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\
    &= \frac{2}{\pi}\times \frac{\pi}{3} \\
    &= \frac{2}{3}
\end{align}$$
이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

$f(x)=y$로 쓰고 양변을 $x^2 + 1$로 나누면 주어진 미분방정식은
$$y'+\frac{4x}{x^2 + 1}y = \frac{x}{x^2 + 1}$$
이라는 일계 선형 미분방정식이 된다. 따라서 공식을 이용하면
$$\begin{align}
y &= e^{-2\ln(x^2 + 1)}\left(\int \frac{x}{x^2 + 1}\times (x^2 + 1)^2 dx + C\right) \\
&= \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \left(\frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2}+C\right)
\end{align}$$
이고
$$f(2)=\frac{6+C}{25}=1$$
이므로 $C=19$이다.

따라서
$$f(0)=C=19$$
이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

단순폐곡선 $C$의 내부를 $D$라 하고 그린정리를 이용하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D (6-2)dA \\
    &= \iint_D 4 dA \\
    &= 4s
\end{align}$$
이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

부분적분을 반복해서 적용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= x(\ln x)^2 - 2x\ln x+2x\bigg|_1^e \\
&= e-2
\end{align}$$
이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

(가)
$$\begin{align}
    (A-A^T)^T &= A^T - A \\
    &= -A + A^T \\
    &= -(A-A^T)
\end{align}$$
에서 $B=A-A^T$라 하면
$$B^T = -B$$
이므로 $B=A-A^T$는 반대칭행렬이다. (참)

(나)
홀수 자연수 $n$에 대하여
$$A^T = -A$$
의 양변에 $\det$을 취하면
$$\det A^T = (-1)^n \det A$$
에서 $n$이 홀수이므로 $(-1)^n = -1$이다. 즉,
$$\det A = -\det A$$
이므로
$$\det A=0$$
이다. (참)

(다)
반례는 다음과 같다.
$$\det \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} = 1$$
(거짓)

일반적으로 짝수 자연수 $n$에 대하여 실수 성분을 갖는 $n\times n$크기의 반대칭행렬 $A$의 행렬식은
$$\det A \geq 0$$
이다.

(라)
반대칭행렬의 주대각선은 전부 $0$이므로
$$\text{tr}(A) = 0$$
이다.(참)

이상에서 옳은 것은 (가), (나), (라)이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

먼저 주어진 함수가 원점에 대칭이므로 $B_8 = 0$임을 알 수 있고
$$\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \ln(1+x) - \ln(1-x)$$
에서 각각의 전개식이
$$\begin{align}
\ln(1+x) &= x-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \cdots \\
-\ln(1-x) &= x+\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \cdots
\end{align}$$
이므로
$$B_5 = \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\right)=\frac{2}{5}$$
이다.

따라서 구하는 값은
$$B_5 + B_8 = \frac{2}{5}$$
이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

사차다항식 $p(x)$를
$$p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx+e$$
라 하자. 그러면
$$x^4 p\left(\frac{1}{x}\right) = ex^4 + dx^3 + cx^2 + bx+a$$
이므로 둘이 같다는 조건으로부터
$$a=e, b=d$$
를 얻는다.

따라서 전체 5개의 변수 $a, b, c, d, e$중 자유롭게 정할 수 있는 것은 $a, b, c$로 3개이므로
부분공간 $W$의 차원은 자유변수의 개수인 $3$이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

절댓값이 $1$보다 작은 실수 $x$에 대하여
$$\sum_{n=1}^{\infty} n^2x^n = \frac{x(x+1)}{(1-x)^3}$$
이 성립함을 이용하자.

$n+1=m$으로 치환하면 주어진 급수는
$$\begin{align}
    \text{(Sum)} &= \sum_{m=1}^{\infty} \frac{m^2}{3^{m-1}} \\
    &= 3\sum_{m=1}^{\infty} \frac{m^2}{3^m} \\
    &= 3\times \frac{\frac{1}{3}\times \frac{4}{3}}{\left(1-\frac{1}{3}\right)^3} \\
    &= \frac{9}{2}
\end{align}$$
이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

$0<a<b$인 두 실수 $a, b$에 대하여 타원
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$
이 있을 때, 이 타원의 이심률 $k$는 긴 반지름 $b$, 짧은 반지름 $a$에 대하여
$$k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$$
이다.

주어진 이차곡선(타원)을 이차형식으로 표현했을 때 나타나는 대칭행렬 $A$는
$$A = \begin{pmatrix}
5 & \sqrt{2} \\
\sqrt{2} & 4
\end{pmatrix}$$
이므로, 이 행렬의 고유특성다항식은
$$\lambda^2 - 9\lambda+18 = 0$$
에서
$$\lambda=3, 6$$
이다.

따라서 주어진 타원을 적당히 회전시켜
$$3x^2 + 6y^2 = 1$$
로 만들 수 있고, 이 타원의 긴 반지름은 $\frac{1}{\sqrt{3}}$, 짧은 반지름은 $\frac{1}{\sqrt{6}}$이므로
이심률 $k$는
$$k = \sqrt{1-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이

실수 $n$에 대하여 $x=0$근방에서
$$(1+x)^n \approx 1+nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$$
임을 이용하자. $x$대신 $-x^2$을 대입하고 $n=-\frac{1}{2}$인 경우가 문제의 상황인데
약분하면서 계산을 최대한 줄이기 위해 $-x^2$만 대입하고 $n=-\frac{1}{2}$은 대입하지 않고 그냥 $n$으로 쓰면
$$\begin{align}
A_4 &= \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!} \\
A_5 &= -\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5!}
\end{align}$$
이므로 약분한 뒤 $n=-\frac{1}{2}$을 대입하면
$$\frac{A_5}{A_4} = -\frac{n-4}{5}\bigg|_{n=-\frac{1}{2}} = \frac{9}{10}$$
이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이

(가)
문제가 되는 지점은 $x=1$이고, $x=1$근방에서 차수가 $-\frac{1}{2}$이므로 수렴한다.

(나)
문제가 되는 지점은 $x=2$이고, $x=2$근방에서 차수가 $-2$이므로 발산한다.

(다)
문제가 되는 지점은 무한대이고, $x$가 충분히 크면
$$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\approx \frac{1}{\sqrt{x^2}} = \frac{1}{x}$$
가 되어 발산한다.

(라)
문제가 되는 지점은 무한대이고, $x$가 충분히 크면
$$\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}\approx \frac{1}{\sqrt{x^3}} = \frac{1}{x\sqrt{x}}$$
가 되어 수렴한다.

이상에서 발산하는 적분은 (나), (다)이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이

편의상 $y=h(x)$라 하고, 함수 $y$의 라플라스 변환을 $Y$라 하자. 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
Y&= \frac{-1}{(s+5)(s-3)} \\
&= \frac{1}{8(s+5)} - \frac{1}{8(s-3)}
\end{align}$$
에서 역변환하면
$$y = \frac{1}{8}(e^{-5x} - e^{3x})$$
이므로
$$h(-1)=y(-1)=\frac{1}{8} (e^5 - e^{-3})$$
이다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이

계산을 최대한 줄이기 위해 미분을 해서 하는 풀이나 라그랑주 승수법을 이용하는 풀이 대신 기울기를 이용하자.

주어진 점을 $\rm P$라 하자.
주어진 곡선 위의 점 $\rm{A}$$\displaystyle\left(t, \frac{1}{t}\right)$에 대하여 주어진 점과 점 $\rm{A}$ 사이의 거리가 최대 또는 최소가 되는 순간은
두 점 $\rm P$, $\rm A$를 지나는 직선과 점 $\rm A$에서의 접선이 수직인 경우이다.

곡선 $xy=1$은 $y=-x$에 대칭이고, 점 $(-1, 1)$또한 직선 $y=-x$위에 있으므로 $t>0$이든 $t<0$이든 상관없다.
(어떤 경우는 곡선의 개형에 따라서 $t$의 범위를 고려해야 하는 문제도 있을 수 있으나 이 문제에서는 상관없다.)
두 점 $\rm P$, $\rm A$를 지나는 직선의 기울기는
$$\frac{\frac{1}{t} - 1}{t+1}$$
이고, 점 $\rm A$에서의 접선의 기울기는
$$-\frac{1}{t^2}$$
이므로
$$\frac{\frac{1}{t} - 1}{t+1} \times \left(-\frac{1}{t^2}\right) = -1$$
에서 식을 정리하면
$$t^4 + t^3 + t-1 = 0$$
이다. 이제 이를 인수분해하면
$$\begin{align}
    t^4 + t^3 + t-1 &= t^4 - 1 + t^3 + t \\
    &= (t^2 + 1)(t^2 - 1) + t(t^2 + 1) \\
    &= (t^2 + 1)(t^2 + t -1 ) \\
    &=0
\end{align}$$
에서 $t^2 + 1>0$이므로
$$t^2 + t-1 = 0$$
이다.

이제 두 점 $\rm A, P$ 사이의 최장 또는 최단거리 $d$는
$$\begin{align}
    d &= \sqrt{(t+1)^2 + \left(\frac{1}{t}-1\right)^2} \\
    &= \sqrt{(t+1)^2 + t^2} \\
    &= \sqrt{2t^2 + 2t + 1} \\
    &= \sqrt{(2t^2 + 2t - 2) + 3} \\
    &= \sqrt{3}
\end{align}$$
이다.

참고1) 마지막 계산 부분에서
$$t^2 + t-1 = 0$$
의 양변을 $t$로 나누면
$$t=\frac{1}{t}-1$$
가 됨을 이용하였다.

참고2) 마지막 계산시 $d$를 구했을 때 상수가 아니라 $t$에 대한 식이 나왔다면
구한 제약조건 (이 문제에서는 $t^2 + t-1 = 0$)과 곡선의 개형 및 $t$의 범위를 통해 어떨때 최소가 되는지 찾아야 한다.
이 문제에서는 $d$가 $t$에 대한 식이 아닌 상수로 나오므로 최소임을 바로 보장받을 수 있다.

2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이

변수변환
$$\begin{cases}
    x-y=u \\
    x+2y=v
\end{cases}$$
를 이용하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\pi} \sin u\cos v dudv \\
    &= \frac{1}{3}\times 2\times 1 \\
    &= \frac{2}{3}
\end{align}$$
이다.

마치며

이상으로 2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

[수학] 교과내로 지수함수 다항함수 로그함수의 속도를 비교하는 방법

수학올인 — Sat, 12 Jul 2025 23:59:48 +0900

[수학] 교과내로 지수함수 다항함수 로그함수의 속도를 비교하는 방법

안녕하세요. 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 고등학교 과정으로 로그함수, 다항함수, 지수함수의 속도 비교에 대해 다뤄보겠습니다.

주로 고등학교에서 미적분을 배우면 초월함수의 극한을 다룰 때

로그함수는 다항함수보다 느리다.

지수함수는 다항함수보다 빠르다.

라는 말을 들어보신 적이 있으실겁니다.

여기서 속도가 느린 함수, 빠른 함수의 의미는 (느린 함수)/(빠른 함수) 의 극한이 0으로 간다는 의미입니다.

저런 말을 들어본 것 뿐 아니라 문제를 풀때도 문제의 끝에 달린

$$\lim_{x\to\infty} x^2 e^{-x} = 0$$

같은 조건을 보신 적이 있으실 겁니다.

이 조건을 왜 주는걸까요?

평가원의 오피셜 답변이 있는지는 모르겠으나, 제 생각은 저러한 사실을 전달하고자 하는 이유도 있지만

저것을 밝히는 과정이 문제 외적으로 까다롭기 때문에 증명 없이 이용하라는 의도인 것 같습니다.

그렇다면 어떻게 저걸 밝힐 수 있을까요?

막상 해보려고 하니 잘 떠오르지 않기도 하고, 아예 "로피탈 같은 교과외로만 가능하다"라거나

"고등학교 과정으로 불가능하다" 같은 얘기도 종종 들립니다.

하지만 저 내용은 분명히 고등학교 과정으로도 보일 수 있습니다.

그리고 그 방법을 지금부터 알아보겠습니다.

지수함수가 다항함수보다 빠름을 증명하기

위에서 언급한 '빠르다'의 정의로부터 우리는

$$\lim_{x\to\infty} x^n e^{-x} = 0$$

임을 보이면 됩니다. ($n$은 어떤 자연수입니다.)

우리가 조사하고자 하는 식인 $x^n e^{-x}$를 $f(x)$라는 함수로 잡아볼게요. 즉,

$$f(x) = x^n e^{-x}$$
라고 합시다. 그러면 미분을 해보면

$$\begin{align} f'(x) &= nx^{n-1} e^{-x} - x^n e^{-x} \\ &= x^{n-1}e^{-x} (n - x) \end{align}$$

이 됩니다.

이제 이 함수의 증감을 조사할 것인데, 우리는 어차피 $x\to\infty$인 상황을 생각할 것이므로

$x>0$일 때만 따지겠습니다.

$x>0$에서는 $x=n$이 유일한 극점의 좌표가 되고

부호를 따져보면 $x^{n-1}>0$이고 $e^{-x}>0$이므로 극대이자 최대가 됩니다.

또, $x>0$에서 $x^n > 0$, $e^{-x}>0$이므로 $x>0$에서 $f(x)>0$이 성립합니다.

이 둘을 합치면 $x>0$에서 부등식

$$0<x^n e^{-x}\leq f(n)\quad (x>0)$$

이 성립함을 알 수 있습니다.

여기서 어떻게 해야 할까요? 바로 전부 $e^{-x}$를 곱해주는 것입니다. 그러면 위의 부등식은

$$0<x^n e^{-2x} \leq f(n)e^{-x}\quad (x>0)$$

으로 변합니다. 이제 눈치채셨나요? 바로 샌드위치 정리를 이용할 수 있습니다.

$$\begin{align} \lim_{x\to\infty} 0 &= 0 \\ \lim_{x\to\infty} f(n)e^{-x} &= 0\end{align}$$

이므로 샌드위치 정리를 이용하면

$$\lim_{x\to\infty} x^n e^{-2x} = 0$$

임을 얻습니다.

그런데, 우리가 맨 처음에 썻던 식이랑은 약간 다르네요.

꼴을 맞춰주기 위해 $2x = t$로 치환합니다. 그러면 $x\to\infty$ 일 때 $t\to\infty$이므로

$$\lim_{x\to\infty} x^n e^{-2x} = 0\quad\Longrightarrow\quad \lim_{t\to\infty} \left(\frac{t}{2}\right)^n e^{-t} = 0$$

임을 얻습니다.

그리고 마지막으로 $n$은 그냥 고정된 어떤 자연수이므로 $\left(\frac{1}{2}\right)^n$도 그냥 상수일 뿐입니다.

따라서 양변에 $2^n$을 곱해 식을 정리해주면 최종적으로 우리가 원하던 바인

$$\lim_{t\to\infty} t^n e^{-t} = 0$$

임을 얻고 증명이 끝납니다.

다항함수가 로그함수보다 빠름을 증명하기

마찬가지로 이번에는

$$\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$$

임을 보이면 되겠습니다. ($n$은 자연수)

이번에는 위의 결과를 이용할 수 있습니다. 우리가 위에서 보인 결과인

$$\lim_{x\to\infty} x^n e^{-x} = 0$$

에서 $x=\ln t$로 치환해봅시다. $x\to\infty$일 때 $t\to\infty$이므로 위의 극한은

$$\lim_{x\to\infty} x^n e^{-x} = 0\quad\Longrightarrow\quad \lim_{t\to\infty} \frac{(\ln t)^n}{t} = 0$$

으로 바뀌게 됩니다. 여기서 식을 조금만 바꿔써본다면

$$\lim_{t\to\infty} \left(\frac{\ln t}{t^{\frac{1}{n}}}\right)^n = 0$$

로 쓸 수 있습니다.

거의 다 왔습니다. 함수

$$p(x) = x^n$$

을 생각해봅시다.

이때 $p(x)$는 연속함수이고, $p(x) = 0$이 되도록 하는 $x$는 $x=0$뿐이라는걸 기억합시다. (★)

그런데 위의 극한은

$$\lim_{t\to\infty} p\left(\frac{\ln t}{t^{\frac{1}{n}}}\right) = 0$$
이 되므로 자연스럽게

$$\lim_{t\to\infty} \frac{\ln t}{t^{\frac{1}{n}}} = 0$$

임을 위에 써둔 (★)표시의 내용으로부터 알 수 있습니다.

마지막으로 $t=x^n$으로 치환하면 $t\to\infty$일 때 $x\to\infty$이므로

$$\lim_{t\to\infty}\frac{\ln t}{t^{\frac{1}{n}}} = 0\quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to\infty} \frac{n\ln x}{x} = 0$$

임을 얻습니다. $n$은 $x$와는 관계없는 자연수이므로 양변을 $n$으로 나눠주면 우리가 원하던 결과인

$$\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$$

을 얻을 수 있습니다.

다항함수가 로그함수보다 빠름을 직접 증명하기

그런데 위의 증명이 틀린 증명은 아니지만, 썩 맘에 들지 않을수도 있습니다.

왜냐하면 로그함수와 다항함수의 속도를 논하기 위해 지수함수를 끌어왔으니까요.

누군가는 이렇게 빌드업을 통해 돌아가는것이 아닌, 그냥 바로 할 수 있는 증명을 원할수도 있습니다.

물론 이러한 방법도 가능합니다. 자연수 $n$에 대하여 함수 $f(x)$를

$$f(x) = \frac{\ln x}{x^n}$$

라 합시다. 마찬가지로 미분해보면

$$f'(x) = \frac{1}{x^{n+1}}(1-n\ln x)$$

이므로

$$f'\left(e^{\frac{1}{n}}\right) = 0$$

이고 부호를 따져보면 극대가 됨을 알 수 있습니다.

한편 $x>1$에서 $\ln x>0$이고 $x^n > 0$이므로 $x>1$에서 $f(x)>0$이 성립합니다.

이 둘을 합치면 부등식

$$0<\frac{\ln x}{x^n}\leq f\left(e^{\frac{1}{n}}\right)\quad (x>1)$$

을 얻습니다.

여기서부턴 위와 비슷하다는걸 아실 수 있을거에요. 이번에는 양변을 $x$로 나눠보면

$$0<\frac{\ln x}{x^{n+1}} \leq \frac{1}{x}f\left(e^{\frac{1}{n}}\right)\quad (x>1)$$

임을 알 수 있고, 양변에 $x\to\infty$인 극한을 취해주면

$$\begin{align} \lim_{x\to\infty} 0 &= 0 \\ \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}f\left(e^{\frac{1}{n}}\right) &= 0\end{align}$$

이므로 샌드위치 정리로부터

$$\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x^{n+1}} = 0$$

임을 알 수 있습니다.

여기서부턴 지수함수와 다항함수의 속도를 비교할 때와 같죠. 원하는 꼴을 만들어주기 위해

$$x=t^{\frac{n}{n+1}}$$

로 치환해주면 $x\to\infty$일 때 $t\to\infty$이므로

$$\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x^{n+1}} = 0\quad\Longrightarrow\quad \lim_{t\to\infty} \frac{n\ln t}{(n+1)t^n} = 0$$

이 되고, 마찬가지로 $\frac{n}{n+1}$은 상수일 뿐이므로, 양변을 그대로 나눠주면 원하던 결론인

$$\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$$

을 얻게 됩니다.

마무리

자 어떤가요?

위에서 볼 수 있는 것처럼, 충분히 고등학교에서 배운 내용만으로도 원하는 바를 보일 수 있습니다.

그러나 꽤 길기도 하고, 샌드위치 정리 같은 경우는 사실 자주 다루지는 않기 때문에 발상이 어려울 수도 있긴 합니다.

그래서 그런지 평가원에서도 항상 이러한 사실을 조건으로 그냥 이용하라고 주는 것 같고요.

어쨋든, 충분히 증명 가능한 부분이니 본문에서 언급된 속도에 대한 내용은 맘 놓고 사용하셔도 됩니다.

그럼 이상으로 포스팅을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

[수학] 지수함수가 다항함수가 아님을 증명하는 두 가지 방법

수학올인 — Thu, 24 Apr 2025 23:59:55 +0900

[수학] 지수함수가 다항함수가 아님을 증명하는 두 가지 방법

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 제목과 같이 지수함수가 다항함수가 아님을 증명하는 두 가지 방법에 대해 알아보겠습니다.

다항함수는 다항함수고 지수함수는 지수함수인데, 이걸 증명할 거리가 되나 하는 생각도 드실겁니다.

그러나 막상 $e^x$가 다항함수가 아님을 어떻게 보일까? 하면 조금 막막하기도 하고

간단한 방법이 바로 떠오르지는 않습니다.

가장 잘 알려져 있는 방법은 $n$차 다항함수라고 가정하고 극한

$$\lim_{x\to\infty} \frac{e^x}{x^{n+1}} =\infty$$

을 이용하여 모순을 보이는 방법이 있는데요.

이걸 증명하기 위해서는 또다시 로피탈의 정리나 따로 부등식을 잡아서 위의 극한값을 정당화해야 합니다.

그래서 이번 포스팅에서는 훨씬 간단한 증명 방법 두 가지를 알아보려 합니다.

방법1 : $n+1$번 미분하여 모순임을 보이기

함수

$$f(x)=e^x$$

가 지수함수가 아닌 $n$차 다항함수라고 합시다. 그러면

$$f(x) = e^x = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n$$

이 성립합니다. 그런데 양변을 $n+1$번 미분하면

$$e^x = 0$$

임을 얻는데, $e^x > 0$이므로, 이는 모순입니다.

방법2 : 차수 비교를 이용하기

이번에는 위의 방법보다 훨씬 간단한 방법인데, 다항함수의 차수를 이용하는 방법입니다.

마찬가지로 함수

$$f(x)=e^x$$

가 지수함수가 아닌 $n$차 다항함수라고 합시다. 그러면

$$f(x)^2 = (e^x)^2$$

인데, 지수법칙으로부터

$$(e^x)^2 = e^{2x}$$

이므로

$$(e^x)^2 = e^{2x}$$

이 되어 모순임을 얻습니다. 왜냐하면 좌변과 우변의 차수가 다르기 때문입니다.

물론 상수함수인 경우도 있지 않냐? 라고 반문할 수 있지만

상수함수가 아님은 그냥 아무런 함숫값 두 개를 비교해보면 바로 나오기 때문입니다.

어떤가요? 가장 처음에 알아본 $x^{n+1}$로 나눠 극한값을 구하는 방법보다

훨씬 간단하고, 복잡하지 않은 테크닉으로 증명을 할 수 있습니다.

물론 다른 방법도 있을 수 있으나 개인적으로 신선했던 두 가지 증명방법이라 글로 남기게 되었습니다.

그럼 이상으로 포스팅을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

[편입] 2025 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

수학올인 — Tue, 8 Apr 2025 23:58:03 +0900

[편입] 2025 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에선 2025년 세종대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 세종대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(세종대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

편도함수를 구해보면
$$f_y = -\frac{2y}{(x^2 + y^2)^2}$$
이므로
$$f_y(0, 3) = -\frac{2}{27}$$
이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

테일러전개로부터 $x=1$ 근방에서
$$\begin{align}
    \tan(1-x) &\approx 1-x \\
    \ln x &\approx x-1
\end{align}$$
이 성립한다. 따라서 지수와 로그의 성질로부터 주어진 극한은
$$\begin{align}
    \text{(Limit)} &= \lim_{x\to 1} e^{f(x)\ln x} \\
    &\approx \lim_{x\to 1} e^{\frac{x-3}{1-x}\times x-1} \\
    &= e^2
\end{align}$$
이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

비율판정법으로부터 주어진 급수의 수렴반지름이 $1$임을 알 수 있다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

$f(x,y,z)$를
$$f(x,y,z)=x^5z^3 - 2y^4z +2x^4y^3 - 1$$
이라 하면 $f$의 경도벡터는
$$\nabla f =(5x^4z^3 + 8x^3y^3, -8y^3z + 6x^4y^2, 3x^5z^2-2y^4)$$
이므로 점 $(1,1,1)$에서의 경도벡터는 $(13,-2,1)$이다.

따라서 점 $(1,1,1)$에서의 접평면 $P$는 $(13,-2,1)$을 법선벡터로 하고 점 $(1,1,1)$을
지나므로
$$P : 13x-2y+z=12$$
이다. 이제 이 평면이 점 $(0, -3, f(0, -3))$을 지나므로 대입하면
$$6+f(0, -3) = 12$$
에서
$$f(0, -3) = 6$$
이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

주어진 식을 $f(x)$라 하고 미분하면
$$\begin{align}
f'(x) &= \frac{2x}{24x^2+x} - \frac{1}{24x+\sqrt{x}} \\
&= \frac{2}{24x+1} - \frac{1}{24x+\sqrt{x}}
\end{align}$$
에서 방정식 $f'(x)=0$을 만족시키는 실수 $x$는 방정식
$$\frac{2}{24x+1} = \frac{1}{24x+\sqrt{x}}$$
를 만족시킨다.

따라서 통분한 뒤 식을 정리하면
$$24x+2\sqrt{x}-1 = (6\sqrt{x} - 1)(4\sqrt{x} + 1) = 0$$
에서
$$\sqrt{x}=\frac{1}{6}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1}{36}$$
이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

$x=\sin t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}t^2 \cos t dt \\
    &= (t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t)\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
    &= \frac{\pi^2}{4} - 2
\end{align}$$
이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

주어진 극곡선을 $90$도 회전시켜 얻은 극곡선의 방정식은
$$r=2-\cos2\theta$$
이다. (어느 방향으로 회전시키든 결과는 같다.)

이때 주어진 곡선과 회전시킨 곡선을 그려보면 다음과 같다.

따라서 구하는 넓이 $S$는 대칭성으로부터
$$\begin{align}
    S &= 8\times \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}} (2-\cos 2\theta)^2 d\theta \\
    &= 4\int_0^{\frac{\pi}{4}}(4-4\cos2\theta + \cos^2 (2\theta))d\theta \\
    &= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}(4-4\cos x+\cos^2 x)dx \quad (2\theta = x) \\
    &= 2\left(2\pi-4+\frac{\pi}{4}\right) \\
    &= \frac{9}{2}\pi - 8
\end{align}$$
이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

문제에서 물어보는 값이 원소 각각의 절댓값의 합이므로
열벡터를 곱하는 방법은 쓸 수 없고 역행렬을 직접 구해야 한다.

행렬 $A$는 삼각행렬이고 단위행렬과 비슷하므로 가우스 소거법을 이용하면
$$A^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$
이다. 이때 $A^{-1}$의 원소의 절댓값은 모두 $1$이므로 구하는 합은 $0$이 아닌 성분의 개수인 $7$이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

ㄱ.
$\sin\frac{n\pi}{4}$에 대한 부분합은 유계이고 수열 $\frac{1}{n}$은 $0$으로 수렴하는
단조감소수열이므로 디리클레 판정법으로부터 수렴한다.

ㄴ.
$$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n} = \frac{1}{e}$$
이므로 발산한다.

ㄷ.
적당히 큰 모든 자연수 $n$에 대하여
$$\ln n <\sqrt{n}$$
이 성립하므로 양변을 제곱한 뒤 역수를 취하면 적당히 큰 모든 자연수 $n$에 대하여
$$\frac{1}{(\ln n)^2} > \frac{1}{n}$$
이다. 따라서 비교판정법으로부터 발산한다.

이상에서 수렴하는 급수는 ㄱ이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

임의의 양수 $x$에 대하여
$$\tan^{-1}x + \tan^{-1}\frac{1}{x}= \frac{\pi}{2}$$
이므로 $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$를 대입하면
$$\tan^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2} + \tan^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2}= \frac{\pi}{2}$$
이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

가장 먼저
$$f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{8}$$
임을 알 수 있다. 주어진 함수 $f(x)$를 두 번 미분해보면
$$\begin{align}
f'(x) &= \frac{2}{4x^2 + 1} \\
f''(x) &= -\frac{16x}{(4x^2 + 1)^2}
\end{align}$$
이고
$$(f^{-1})''(x) = -\frac{f''(y)}{f'(y)^3}$$
이 성립한다. 이때
$$x=-\frac{\pi}{8}$$
에 대응되는 값은
$$y=-\frac{1}{2}$$
이므로
$$(f^{-1})''\left(-\frac{\pi}{8}\right) = -\frac{f''\left(-\frac{1}{2}\right)}{f'\left(-\frac{1}{2}\right)^3} = -2$$
이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

두 변수 $x, y$를
$$\begin{cases}
    x = 2+3t \\
    y = 3+4t
\end{cases}$$
라 하면
$$g(t) = f(x, y)$$
라 쓸 수 있고, 연쇄법칙으로부터
$$\begin{align}
    g'(t) &= f_x(x, y) \times \frac{dx}{dt} + f_y(x,y) \times \frac{dy}{dt} \\
    &= 3f_x(x,y) + 4f_y(x, y) \\
    &= 5\times \left(\frac{3}{5}f_x(x,y) + \frac{4}{5}f_y(x,y)\right) \\
    &= 5\times D_u f(x,y)
\end{align}$$
이다. 한편 $t=1$이면
$$(x,y)=(5,7)$$
이므로
$$g'(1) = 5\times D_u f(5,7) = 15$$
이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

문제의 분모를
$$3x^2 - 4x+ 1 = (3x-1)(x-1)$$
로 인수분해가 가능하므로 부분분수 전개하면
$$\begin{align}
    \frac{1}{1-4x+3x^2} &= \frac{1}{3}\times \frac{1}{\left(x-\frac{1}{3}\right)(x-1)} \\
    &= \frac{3}{2(1-3x)} - \frac{1}{2(1-x)}
\end{align}$$
이다. 이때 나눠진 두 항의 $x^5$의 계수는 각각
$$\begin{align}
    \frac{3}{2(1-3x)} &= \cdots + \frac{3}{2}(3x)^5 + \cdots \\
    \frac{1}{2(1-x)} &= \cdots + \frac{1}{2}x^5 + \cdots
\end{align}$$
이므로 전체 식의 $x^5$의 계수는
$$\frac{729-1}{2}$$
에서 일의 자리가 4이고 양수인 선택지를 고르면 3번이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

주어진 곡선은
$$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 27^{\frac{2}{3}}$$
인 성망형 곡선이므로 (이 포스팅)을 참고하면 구하는 길이 $L$은
$$L = 6\times 27 = 162$$
이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

행렬 $A$의 모든 성분의 합은
$$A \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}$$
의 모든 성분의 합과 같은데,
$$\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} = \frac{1}{9}v_1 + \frac{5}{9}v_2 + \frac{1}{9}v_3$$
이므로
$$\begin{align}
A\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} &= A\left(\frac{1}{9}v_1 + \frac{5}{9}v_2 + \frac{1}{9}v_3\right) \\
&= \frac{1}{9}(v_1 - 10v_2 + 4v_3)
\end{align}$$
이다. 따라서 구하는 모든 성분의 합은
$$\frac{1}{9}(1 - 50 + 4) = -5$$
이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

$\sqrt{2}x = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{\infty} e^{-t^2}dt \\
&= \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}}
\end{align}$$
이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

문제의 조건으로부터 벡터 $\rm{x}$의 크기가 $1$이므로 함수 $f(x,y,z)$의 최대최소는
주어진 행렬 $A$의 고유치의 최대최소와 같다.

한편 행렬 $A$의 고유치는
$$\lambda = 3, 3, 1$$
이므로 최댓값과 최솟값의 합은 $3+1=4$이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

행렬 $A$는 $11\times 11$크기의 정사각행렬이다.

조건 (가)로부터 행렬 $A$는 고유치 $\lambda = 1$을 중복을 포함하여 8개 가진다.

조건 (나)로부터 행렬 $A$의 조르당 표준형의 $\lambda = 1$에 대응되는 조르당 블록의 최대 크기는
$3\times 3$이다.

이제 행렬 $A$의 $\lambda = 1$에 대응되는 조르당 블록의 개수가 $\lambda = 1$에 대응되는
고유공간의 차원과 같으므로

i) 고유공간의 차원이 최대이려면 블록의 수가 최대한 많아야 함
ii) 고유공간의 차원이 최소이려면 블록의 수가 최대한 적어아야 함

을 전부 만족시켜야 한다.

이때 블록의 크기는 최대 $3\times 3$으로 제한되어 있으므로 $3$이하의 자연수들을 더해서 $8$을 만들 때
최대한 많은 자연수들을 더하는 경우와 최대한 적은 자연수들을 더하는 경우를 찾으면 되고
$$\begin{align}
8 &= 3 + 3 + 2 \quad \Longrightarrow\quad \dim \geq 3 \\
8 &= 3+1+1+1+1+1 \quad\Longrightarrow\quad \dim \leq 6
\end{align}$$
임을 알 수 있다. 즉, 최대와 최소의 합은 $9$이다.
(더해지는 자연수의 개수가 곧 조르당 블록의 개수이므로, 고유공간의 차원이 된다.)

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

주어진 곡면 $S$는 닫힌 곡면이다. $S$의 내부를 $E$라 하고 발산정리를 이용할 것인데,
발산정리를 이용한 뒤 변수변환
$$\begin{cases}
    x=u \\
    \sqrt{2}y= v \\
    \sqrt{3}z= w
\end{cases}$$
을 이용하면
$$dxdydz=\frac{1}{\sqrt{6}}dudvdw$$
가 되고 적분영역은
$$E' : u^2 +v^2 + w^2 \leq 1$$
이 되므로, 주어진 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iiint_E 3z^2 dxdydz \\
    &= \frac{1}{\sqrt{6}} \iiint_{E'} w^2 dudvdw \\
    &= \frac{1}{3\sqrt{6}} \iiint_{E'}(u^2 + v^2 + w^2)dudvdw \\
    &= \frac{1}{3\sqrt{6}} \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^1 \rho^4 \sin\phi d\rho d\phi d\theta \\
    &= \frac{1}{3\sqrt{6}}\times 2\pi \times 2\times \frac{1}{5} \\
    &= \frac{2\sqrt{6}}{45}\pi
\end{align}$$
이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

다음이 성립한다.

일변수함수 $f$와 닫힌 구간 $I = [a, b]$에 대하여 구간 $I$에서 함수 $f$의 평균값은
$$\text{Average}(f) = \frac{1}{\text{Length}(I)} \int_a^b f(x)dx$$
이다.

이변수함수 $f$와 영역 $S$에 대하여 영역 $S$에서 함수 $f$의 평균값은
$$\text{Average}(f) = \frac{1}{\text{Area}(S)} \iint_S f(x,y)dxdy$$
이다.

삼변수함수 $f$와 영역 $E$에 대하여 영역 $E$에서 함수 $f$의 평균값은
$$\text{Average}(f) = \frac{1}{\text{Volume}(E)} \iiint_E f(x,y,z)dxdydz$$
이다.

따라서 영역 $D$에 대한 정보만 알면 이중적분을 통해 평균값을 구할 수 있다.
영역 $D$의 식을 다시 쓰면
$$D : x^2 + \left(y-\frac{1}{2}\right)^2 \leq \frac{1}{4}$$
이므로 영역 $D$는 점 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$을 중심으로 하고 반지름이 $\frac{1}{2}$인 원이다.

따라서 영역 $D$의 넓이는
$$\text{Area}(D) = \frac{\pi}{4}$$
이다.

한편
$$f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$$
이므로, 영역 $D$ 위에서의 $f$에 대한 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\sin \theta} r^2 drd\theta \\
    &= \frac{2}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \theta d\theta \\
    &= \frac{4}{9}
\end{align}$$
이므로 구하는 평균값은 이중적분값을 영역 $D$의 넓이로 나눈
$$\text{Average}(f) = \frac{16}{9\pi}$$
이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

낯선 극곡선이 나온 경우 반드시 그림을 그려본다.
먼저 주어진 관계식으로부터
$$r^2 + \theta^2 = 1$$
이고, $t$의 범위에 따라 $r$은 음수와 양수가 모두 될 수 있으므로
$$r=\pm\sqrt{1-\theta^2}$$
이다. 이제 $t$의 범위에 따라 곡선을 그려보자.

i) $0\leq t\leq \frac{\pi}{2}$인 경우
$r$의 값은 $1$에서 $0$으로 감소한다.
$\theta$의 값은 $0$에서 $1$로 증가한다.
이를 그려보면 다음과 같다.

ii) $\frac{\pi}{2}\leq t\leq \pi$인 경우
$r$의 값은 $0$에서 $-1$로 감소한다.
$\theta$의 값은 $1$에서 $0$으로 감소한다.
이를 그려보면 다음과 같다.

iii) $\pi \leq t\leq \frac{3}{2}\pi$인 경우
$r$의 값은 $-1$에서 $0$으로 증가한다.
$\theta$의 값은 $0$에서 $-1$로 감소한다.
이를 그려보면 다음과 같다.

iv) $\frac{3}{2}\pi\leq t\leq 2\pi$인 경우
$r$의 값은 $0$에서 $1$로 증가한다.
$\theta$의 값은 $-1$에서 $0$으로 증가한다.
이를 그려보면 다음과 같다.

각각의 경우에서 빨간색으로 표시된 곡선이 해당 범위에서 추가로 그려진 부분이다.
따라서 대칭성으로부터 주어진 극곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이는
제 1사분면에서의 넓이의 네 배가 되고 제 1사분면에서 주어진 곡선이 그려지는 경우는
i)의 경우 (즉, $r>0, \theta>0$인 경우) 이므로 적분할 곡선으로
$$r=\sqrt{1-\theta^2}$$
를 택하면 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= 4\times \frac{1}{2}\int_0^1 (\sqrt{1-\theta^2})^2 d\theta \\
    &= 2\int_0^1 (1-\theta^2)d\theta \\
    &= \frac{4}{3}
\end{align}$$
이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

$x^2+y^2=4$를 주어진 곡면의 식에 대입한 뒤 정리하면
$$y+z=1$$
을 얻는다. 한편
$$\text{curl}F = (-8z^3, -9x^2, -6y)$$
이므로 주어진 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_{x^2 + y^2\leq 4} \text{curl}F \circ (0,1,1) dxdy \\
    &= \iint_{x^2 + y^2\leq 4} (-9x^2 -6y)dxdy \\
    &= \iint_{x^2 + y^2\leq 4} (-9x^2)dxdy \\
    &= -\frac{9}{2}\iint_{x^2 + y^2\leq 4} (x^2 + y^2)dxdy \\
    &= -\frac{9}{2}\int_0^{2\pi} \int_0^{2} r^3 drd\theta \\
    &= -\frac{9}{2}\times 2\pi \times 4 \\
    &= -36\pi
\end{align}$$
이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

주어진 정$n$각형의 꼭짓점을 ${\rm{P_1}}, {\rm{P_2}},\cdots, {\rm{P_{\it{n}}}}$라 하자.
원 $O_n$의 중심 $\rm{O}$에서 주어진 정$n$각형의 모든 꼭짓점에 선분을 그으면 삼각형이 $n$개가 만들어지는데
만들어진 삼각형 중 하나를 보자.

이때 점 $\rm{H}$는 점 $\rm{O}$에서 선분 $\overline{\rm{P_1 P_2}}$에 내린 수선의 발이다.
또, 위와 같은 삼각형이 $n$개가 만들어지므로 각 $\angle\rm{P_1 OP_2}$는 $2\pi$를 $n$등분 한 것이다. 즉,
$$\begin{align}
    \angle\rm{P_1 OP_2} =\frac{2\pi}{\it{n}} &\quad\Longrightarrow\quad \angle\rm{P_1 OH} = \frac{\pi}{\it{n}} \\
    &\quad\Longrightarrow\quad \angle\rm{OP_1 P_2} = \frac{\pi}{2}-\frac{1}{\it{n}}
\end{align}$$
이다.

한편 정$n$각형의 외접원의 반지름은 $\overline{\rm{OP_1}}$이고, 내접원의 반지름은 $\overline{\rm{OH}}$인데,
$$\tan\left(\angle {\rm{OP_1P_2}}\right) = \frac{\overline{\rm{OH}}}{\overline{\rm{P_1 H}}}$$
에서 주어진 정$n$각형의 한 변의 길이가 $1$이므로 $\overline{\rm{P_1P_2}}=1$임을 이용하여 식을 정리하면
$$\overline{{\rm{OH}}} = \frac{1}{2}\cot\frac{\pi}{n}$$
이다. 따라서
$$\overline{{\rm{OP_1}}} = \overline{{\rm{OH}}}\sec(\angle{\rm{P_1 OH}}) = \frac{1}{2}\csc \frac{\pi}{n}$$
이므로 두 원 $\rm{O}_{\it{n}}$, $\rm{I}_{\it{n}}$의 넓이는
$$\begin{align}
    \text{Area}(\rm{O}_{\it{n}})&=\pi\overline{{\rm{OP_1}}}^2 = \frac{\pi}{4}\csc^2 \frac{\pi}{n} \\
    \text{Area}(\rm{I}_{\it{n}})&=\pi\overline{{\rm{OH}}}^2 = \frac{\pi}{4}\cot^2 \frac{\pi}{n}
\end{align}$$
이고, $A_n$의 넓이는 위의 삼각형의 넓이의 $n$배이므로
$$\text{Area}(A_n) = n\times 1\times\frac{1}{2}\times\overline{{\rm{OH}}} =\frac{n}{4}\cot\frac{\pi}{n} $$
이다. 따라서 테일러전개를 이용하면 주어진 극한은

$$\begin{align}
    \text{(Limit)} &= \lim_{t\to 0+} \frac{\pi \csc^2(\pi t)-\frac{1}{t}\cot(\pi t)}{\frac{1}{t}\cot(\pi t)-\pi \cot^2(\pi t)} \quad \left(\frac{1}{n}=t\right) \\
    &= \lim_{t\to 0+} \frac{\pi - \frac{\sin \pi t\cos \pi t}{t}}{\frac{\sin \pi t\cos \pi t}{t} - \pi\cos^2 (\pi t)} \\
    &\approx \lim_{t\to 0+} \frac{\pi - \left(\pi - \frac{2}{3}\pi^3 t^2\right)}{\left(\pi - \frac{2}{3}\pi^3 t^2\right) - \pi(1-\pi^2 t^2)} \\
    &= \lim_{t\to 0+} \frac{\frac{2}{3}\pi^3 t^2}{\frac{1}{3}\pi^3 t^2} \\
    &= 2
\end{align}$$
이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

곱셈공식으로부터
$$\begin{align}
    1 &= (\sin^2 x+\cos^2 x)^3 \\
    &= \sin^6x + \cos^6 x + 3\sin^2 x\cos^2 x(\sin^2 x+\cos^2 x) \\
    &= \sin^6x + \cos^6 x + 3\sin^2 x\cos^2 x
\end{align}$$
가 성립함을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1-3\sin^2 x\cos^2 x} dx \\
    &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{4}{4-3\sin^2 2x}dx \\
    &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{4-3\sin^2 t }dt \quad (2x= t) \\
    &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\sin^2 t+4\cos^2 t}dt \\
    &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2\sec^2 t}{\tan^2 t+4 }dt \\
    &= \int_0^{\infty} \frac{2}{u^2 + 4}du \quad (\tan t=  u) \\
    &= \tan^{-1}\left(\frac{u}{2}\right)\bigg|_0^{\infty} \\
    &= \frac{\pi}{2}
\end{align}$$
이다.

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

원점과 주어진 세 점을 동시에 포함하는 평면이 있는지를 확인해보면 그렇지 않다.
따라서 스토크스 정리를 바로 적용할 수는 없음을 알 수 있다.

이때 주어진 네 점의 위치를 나타내보면 다음과 같다.

여기서 두 경로

i) 원점에서 점 $(0,2,0)$까지 이동하는 직선경로
ii) 점 $(0,2,0)$에서 원점까지 이동하는 직선경로

를 추가한다고 생각해보면, 추가된 두 경로는 방향만 반대인 관계이므로
경로 $C$에 두 경로를 추가한 선적분의 값과 경로 $C$에 대한 선적분의 값은 같다.

이제 선적분의 경로를 조금 변형할 것인데, 기존의 경로 $C$에 위의 두 직선경로를 추가하면
총 6개의 직선경로가 생기게 된다. 이때

i) 원점에서 출발하여 두 점 $(2,2,0)$, $(0,2,0)$을 순서대로 거쳐 원점으로 돌아오는 경로
ii) 원점에서 출발하여 두 점 $(0,2,0)$, $(0,0,1)$을 순서대로 거쳐 원점으로 돌아오는 경로

를 각각 $C_1$, $C_2$라 하자. (각각의 점을 이동하는 경로는 직선경로이다.)
그러면 $C$에 대한 선적분의 값은 $C_1$와 $C_2$각각의 선적분의 값의 합과 같다.

한편 두 경로 $C_1$, $C_2$는 각각 $xy, yz$평면 위에 놓인 폐곡선이므로 그린정리를 이용할 수 있다.

i) 경로 $C_1$에 대한 선적분
$F$의 세 번째 성분을 제거하고 그린정리를 이용한 뒤 $z=0$을 대입하여 이중적분하면 피적분함수가 $0$이므로
$$\int_{C_1} Fdr = 0$$
이다.

ii) 경로 $C_2$에 대한 선적분
$F$의 첫 번째 성분을 제거하고 그린정리를 이용한 뒤 $x=0$을 대입하여 이중적분하면
$$\begin{align}
    \int_{C_2} Fdr &= \iint_{D_2} (-1)dxdy \\
    &= -\text{Area}(D_2) \\
    &= -1
\end{align}$$
이다. (단, $D_2$는 폐곡선 $C_2$의 내부 영역이다.)

따라서 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_{C_1} Fdr + \int_{C_2} Fdr \\
    &= -1
\end{align}$$
이다.

마치며

이상으로 2025 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

[편입] 2025 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

수학올인 — Sun, 6 Apr 2025 18:19:54 +0900

[편입] 2025 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에선 2025년 항공대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 항공대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

항공대의 경우 최근 2~3년 문제지만 공유하며, 년도가 바뀔 때마다 시험지를 입학처 홈페이지에서 삭제합니다.

따라서 시험지가 필요하신 분은 미리 입학처에서 다운로드를 받아두시기 바랍니다.

(항공대학교 입학처 - 편입학 - 지난기출문제)

2025년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

주어진 미분방정식을 상수계수 미분방정식으로 변환하면
$$y''-3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=3$$
이 되고, 구하는 값은 $y(\ln 2)$와 같다.

함수 $y$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
Y &= \frac{s+3-3}{(s-1)(s-2)} \\
&= \frac{2}{s-2} - \frac{1}{s-1}
\end{align}$$
이므로 역변환하면
$$y = 2e^{2t} - e^t$$
이다. 따라서
$$y(\ln 2) = 6$$
이다.

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

주어진 미분방정식은
$$\frac{y'}{y^2} = 2x$$
와 같이 변수분리가 가능하다. 양변을 적분하면
$$-\frac{1}{y} = x^2 + C$$
에서 $y(1)=\frac{1}{2}$이므로 $C=-3$이다.

식을 정리하여 다시 쓰면
$$y(x) = \frac{1}{3-x^2}$$
이므로
$$y(3) = -\frac{1}{6}$$
이다.

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

고유특성다항식이 중근을 갖는 경우를 고르면 되고, 해보면 3번의 경우
$$\lambda^2 - 6\lambda + 9 = (\lambda-3)^2$$
이 되어 대각화가 불가능하다.

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

계산을 통해 구하는 행렬식의 값은 $-6$임을 알 수 있다.

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

영역 $D$의 내부와 경계로 나누어 계산하자.

i) 영역의 내부
임계점을 찾기 위해 편도함수를 구해보면
$$\begin{align}
    f_x &= 16x \\
    f_y &= 4
\end{align}$$
에서 임계점이 존재하지 않는다.

ii) 영역의 경계
$$4x^2 + y^2 = 16$$
이므로 식을 변형하면
$$8x^2 = 32 - 2y^2$$
이고, 이때 $y$의 범위는 $-4\leq y\leq 4$이다.

따라서
$$\begin{align}
    f(x,y) &= -2y^2 + 4y+32 \\
    &= -2(y-1)^2 + 34 \quad (-4\leq y\leq 4)
\end{align}$$
이고 $y=1$일 때 최댓값 $34$, $y=-4$일 때 최솟값 $-16$을 가지므로
$$\frac{m}{M} = -\frac{8}{17}$$
이다.

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

ㄱ.
$$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\ln n} =\infty$$
이므로, 주어진 일반항의 극한도 $\infty$가 된다. 따라서 수렴하지 않는다.

ㄴ.
비율판정법으로부터
$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3n+2}{4n+3}$$
이므로
$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3}{4} < 1$$
이 되어 수렴한다.

ㄷ.
적분판정법으로부터 발산한다.

이상에서 수렴하는 급수의 개수는 1이다.

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

분자, 분모를 $\cos x$로 나눈 뒤 테일러전개하면 주어진 극한은
$$\begin{align}
    \text{(Limit)} &= \lim_{x\to 0} \frac{x-\tan x}{2x^2\tan x} \\
    &\approx \lim_{x\to 0} \frac{x-\left(x+\frac{1}{3}x^2\right)}{2x^3} \\
    &= -\frac{1}{6}
\end{align}$$
이다.

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

주어진 미분방정식은 완전미분방정식이다. 따라서 $dx, dy$에 곱해진 항들을
각각의 변수로 적분한 뒤 합집합 한
$$x^3y + 2xy^3 = C$$
를 해로 갖는다. 따라서
$$a=1, b=2, m+n+v+w=8$$
이므로 구하는 값은 $4$이다.

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

이 포스팅에서는 미분방정식을 변형하는 풀이와 변형하지 않는 풀이를 모두 소개한다.

[풀이 1]
주어진 미분방정식에 $t=0$을 대입하면 $y'(0)=0$임을 얻는다.
이제 주어진 미분방정식의 양변을 미분하면
$$y''+y'-6y=0, y(0)=5, y'(0)=0$$
이 되므로, 함수 $y(t)$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
    Y &= \frac{5s+5}{(s+3)(s-2)} \\
    &= \frac{2}{s+3} + \frac{3}{s-2}
\end{align}$$
에서 역변환하면
$$y = 2e^{-3t} + 3e^{2t}$$
이다. 따라서 구하는 값은
$$y(\ln 2) = \frac{1}{4} + 12 = \frac{49}{4}$$
이다.

[풀이 2]
함수 $y(t)$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
라플라스 변환의 성질로부터
$$sY - 5 + Y - \frac{6Y}{s} = \frac{5}{s}$$
에서 식을 $Y$에 대해 풀면
$$\begin{align}
    Y &= \frac{5s+5}{s^2 + s-6} \\
    &= \frac{2}{s+3} + \frac{3}{s-2} \\
\end{align}$$
에서 역변환하면 위와 동일한 결론을 얻게 되어
$$y(\ln 2) = \frac{49}{4}$$
가 된다.

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

ㄱ.
대각행렬 $B$를 $A$의 오른쪽에 곱하면 행렬 $A$의 각 열을 $B$의 대각성분만큼 스칼라배 하는 것이고
왼쪽에 곱하면 $A$의 각 행을 $B$의 대각성분만큼 스칼라배 하는 것이 된다.
따라서 같지 않을 것임을 유추할 수 있다. 구체적인 반례는 두 행렬 $A, B$를
$$A = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}$$
라 하면
$$AB = \begin{pmatrix}
0 & 2 \\
1 & 0
\end{pmatrix}, BA = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
2 & 0
\end{pmatrix}$$
이므로 거짓이다.

ㄴ.
대칭행렬의 성질로부터
$$(AA^T)^T = (A^T)^T A^T = AA^T$$
가 되어 참이다.

ㄷ.
반례는 다음과 같다 :
$$A = I, B=-2I$$
이면
$$\text{tr}(A) = 2\geq \text{tr}(B) = -4$$
이지만
$$A^2 = I, B^2 = 4I$$
이므로
$$\text{tr}(A^2) = 2\leq \text{tr}(B^2) = 8$$
이 되어 거짓이다.

ㄹ.
반례는 다음과 같다 :
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -2
\end{pmatrix}$$
이면
$$\det A = -1 \geq \det B = -2$$
이지만
$$\det A^2 = 1 \leq \det B^2 = 4$$
이므로 거짓이다.

이상에서 옳은 것의 개수는 1이다.

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

구하는 값을 보면 $a, b$는 일반해에 관련되어 있고, $A, B$는 특수해에 관련되어있다.

주어진 미분방정식의 보조방정식은
$$r^2 - r-6 = (r-3)(r+2) = 0$$
이므로 $a=-2, b=3$이다. (둘이 순서가 바뀌더라도 상관없다.)

주어진 미분방정식의 특수해 $y_p$는 역연산자를 이용하면
$$\begin{align}
    y_p &= \frac{1}{(D-3)(D+2)}\left\{xe^x\right\} \\
    &= e^x \frac{1}{(D-2)(D+3)}\left\{x\right\} \\
    &= e^x \frac{1}{D^2 +D - 6} \left\{x\right\} \\
    &= -\frac{e^x}{6} \frac{1}{1-\frac{1}{6}D - \frac{1}{6}D^2} \left\{x\right\} \\
    &\approx -\frac{e^x}{6}\left(1 +\frac{D}{6}\right) \left\{x\right\} \\
    &= -\frac{e^x}{6}\left(x + \frac{1}{6}\right) \\
    &= -\frac{xe^x}{6} - \frac{1}{36}e^x
\end{align}$$
이므로
$$A = -\frac{1}{6}, B = -\frac{1}{36}$$
에서 구하는 값은 $-36$이다.

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

분모를 완전제곱식으로 고치면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{4-(x+1)^2}}dx \\
    &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2\sin t-1}{2\cos t}\times 2\cos tdt \\
    &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin t - 1)dt \\
    &= \sqrt{3}-\frac{\pi}{3}
\end{align}$$
이다.

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

주어진 두 함수를 미분해보면
$$\begin{align}
f'(x) &= \frac{g'(x)}{\sqrt{1+g(x)^3}} \\
g'(x) &= -\sin x\sqrt{1+\sin(\cos x)+\cos(\cos x)}
\end{align}$$
이고
$$g\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, g'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sqrt{2}$$
이므로
$$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sqrt{2}$$
이다.

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

주어진 두 극곡선의 교각 중 가장 작은 양수 $\theta$를 구해보면
$$\cos 2\theta = \frac{1}{2}$$
에서
$$\theta = \frac{\pi}{6}$$
이다.

이제 구하는 영역의 넓이는
$$\frac{\pi}{6}\leq \theta\leq \frac{\pi}{4}$$
에서 주어진 두 극곡선으로 둘러싸인 넓이의 두배이므로 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= 2\times \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \cos^2 (2\theta)\right)d\theta \\
    &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{1}{4}-\frac{1+\cos 4\theta}{2}\right)d\theta \\
    &= -\frac{\pi}{48} - \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\cos 4\theta d\theta \\
    &= \frac{3\sqrt{3} - \pi}{48}
\end{align}$$
이다. 눈치가 빠르다면 세 번째 등호까지만 계산했을 때 선택지를 보면
$\pi$가 들어있는 항이 일치하는 선지는 4번 뿐이므로 답을 바로 고를 수 있다.

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

문제에서 주어진 포물면과 평면으로 둘러싸인 영역을 $E$라 하자.
영역 $E$는 닫힌 영역이므로 발산정리를 이용할 수 있고,
$$\text{div}F = 2z$$
이므로 발산정리로부터 구하는 유량은
$$\begin{align}
    \text{(Flux)} &= \iiint_{z}^{3-x^2-y^2} 2z dzdxdy \\
    &= \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} ((3-x^2-y^2)^2 - 4) dxdy \\
    &= \int_0^{2\pi} \int_0^1 r((3-r^2)^2 - 4)drd\theta \\
    &= 2\pi\times \frac{1}{2}\int_2^3 (t^2 -4)dt\quad (3-r^2 = t) \\
    &= \frac{7}{3}\pi
\end{align}$$
이다.

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

두 벡터장
$$\begin{align}
    P &= \left(\frac{x^5 + x^3y^2}{x^2 + y^2}, \frac{x^2 \cos y + y^2\cos y}{x^2 +y^2}\right) \\
    Q &= \left(-\frac{y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}\right)
\end{align}$$
을 생각하면 주어진 벡터장 $F$는
$$F = P+Q$$
를 만족시킨다. 이때 벡터장 $P$의 식을 약분하여 다시 쓰면
$$P = (x^3, \cos y)$$
이므로 $P$에 대한 선적분은 $0$이다.

또, $Q$에 대한 선적분은 원점을 중심으로 한 바퀴를 회전했으므로 회전각인 $2\pi$이다.

따라서 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_C P + \int_C Q \\
    &= 0 + 2\pi \\
    &= 2\pi
\end{align}$$
이다.

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

문제에서 주어진 벡터 $\rm{x}$를
$$\rm{x} = \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}$$
라 하자. 그러면
$$\begin{align}
    \rm{x}^{\it{T}}{\it{A}}\rm{x} &= \begin{pmatrix}
x & y
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
-1 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
x & y
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2x+5y \\
-x+8y
\end{pmatrix} \\
&= 2x^2 + 4xy + 8y^2
\end{align}$$
이고
$${\rm{x}}^{\it{T}}{\it{b}} =  \begin{pmatrix}
x & y
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-2 \\
4
\end{pmatrix} = -2x+4y$$
이다. 따라서 함수
$$\begin{align}
    f(x,y) &= \rm{x}^{\it{T}}{\it{A}}\rm{x} + {\rm{x}}^{\it{T}}{\it{b}} \\
    &= 2x^2 +4xy + 8y^2 - 2x+4y
\end{align}$$
가 최소가 되도록 하는 $x, y$에 대하여 $x+y$의 값을 구하면 된다.

임계점을 구하기 위해 편미분하면
$$\begin{align}
    f_x &= 4x+4y-2 = 0\\
    f_y &= 4x+16y+4=0
\end{align}$$
에서 함수 $f(x, y)$가 최소가 되도록 하는 점 $(x, y)$는 임계점이므로 위의 두 식을 만족시킨다.
한편 구하는 값을 보면 $x+y$를 구하면 되므로, 연립하지 말고 첫 식을 정리하면
$$x+y=\frac{1}{2}$$
임을 얻는다.

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

주어진 두 벡터를 일차결합하여
$$\begin{pmatrix}
0 \\
3 \\
-1
\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
-2
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
-3
\end{pmatrix}$$
로 쓸 수 있음을 이용하면
$$\begin{align}
A^3 \begin{pmatrix}
0 \\
3 \\
-1
\end{pmatrix} &= A^3 \left(2\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
-2
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
-3
\end{pmatrix}\right) \\
&= 2\times 2^3 \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
-2
\end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
-3
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이므로 구하는 모든 성분의 합은
$$16 - 3\times 0 = 16$$
이다.

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\sin x} \cos x\sqrt{3+\cos^2 x}dydx \\
    &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\cos x\sqrt{3+\cos^2 x}dx \\
    &= \frac{1}{2}\int_3^4 \sqrt{t}dt \quad (3+\cos^2 x= t) \\
    &= \frac{8}{3} - \sqrt{3}
\end{align}$$
이다.

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

주어진 함수 $f$의 그래디언트는
$$\nabla f = (2xe^{x^2 - y^2}, -2ye^{x^2 - y^2}, 3)$$
이므로, 점 $\rm{P}$에서 함수 $f$의 경도벡터는
$$\nabla f(P) = (0, 0, 3)$$
이고, 점 $\rm{P}$에서의 최대변화율은 경도벡터의 크기와 같으므로
$$M = 3\quad\Longrightarrow\quad \frac{M}{3} = 1$$
이다.

이때, 어차피 방향도함수를 논하고 있고, 구하는 값을 보면 단위벡터가 되므로 벡터 $v$를
단위벡터로 가정해도 된다. 즉,
$$v=  (x,y,z)$$
라 하면
$$x^2 + y^2 + z^2 = 1$$
을 만족시킨다.

이제 점 $\rm{P}$에서 단위벡터 $v$방향으로의 방향미분값이 $1$이므로
$$(0,0,3)\circ v = 1$$
에서
$$z = \frac{1}{3}$$
임을 얻는다.

따라서 벡터 $v$의 끝점이 만드는 도형은
$$\begin{cases}
    x^2 +y^2 + z^2 = 1 \\
    z= \frac{1}{3}
\end{cases}$$
의 교선이므로, 둘을 연립하면
$$x^2 + y^2 = \frac{8}{9},\quad z=\frac{1}{3}$$
이다. 이는 평면 $z=\frac{1}{3}$위에 놓여있는 반지름의 길이가
$$r = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$
인 원이므로, 구하는 도형의 둘레는 원의 둘레인
$$2\pi r = \frac{4\sqrt{2}}{3}\pi$$
이다.

마치며

이상으로 2025 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

년도별 항공대학교 편입수학 정답 및 해설 (클릭시 이동)
(2012~2019년 항공대 해설은 제 블로그의 '항공대' 카테고리를 참고하세요.)

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MIT Integration Bee 2025 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

수학올인 — Wed, 26 Feb 2025 23:59:36 +0900

MIT Integration Bee 2025 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

■ MIT Integration Bee란?

1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다.

문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.

부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.

정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.

■ 시간제한은 몇 분인가요?

본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.

■ 이외의 규칙이 있나요?

문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다.

또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다.

추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.

■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요?

구글에 MIT Integration Bee를 검색하시면 MIT edu 페이지에서 공개된 문제를

확인하실 수 있습니다. 문제지는 2010년부터 공개되어 있습니다.

기본적으로 Qualifier 문제들만 공개되며, 2022년부터는 Qualifier 문제 및

Regular Season, Quarterfinal, Semifinal, Final문제가 전부 공개됩니다.

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 제목과 같이 2025 MIT Integration Bee 문제들의 정답과 해설을

다룹니다. 해설(풀이)은 전부 제 풀이이며 따라서 오류가 있을 수 있습니다.

제 풀이에 오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

추가로, 2025년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설 링크는 본문 가장 아래에 있습니다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 1번

분자에서 $\sqrt{x}$를 묶어내면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int \sqrt{x} dx \\
&= \frac{2}{3}x\sqrt{x}
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 2번

$e^{x+1} = e\times e^x$이므로 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= e\int \frac{e^x}{e^x + 1}dx \\
&= e\ln(e^x + 1)
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 3번

삼각함수의 세배각 공식으로부터
$$\sin 3x = \sin x-4\sin^3 x$$
가 성립하므로 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= 4^{\frac{1}{3}}\int \sin xdx \\
&= -4^{\frac{1}{3}} \cos x
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 4번

로그의 성질을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_1^{e^e} \frac{(\ln x)^2}{x}dx \\
    &= \int_0^e t^2dt \quad (\ln x = t) \\
    &= \frac{e^3}{3}
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 5번

피적분함수는 기함수이므로 주어진 적분은
$$\text{(Integral)} = 0$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 6번

곱해진 모든 항을 $\sin x$와 $\cos x$를 포함하도록 써보면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{2\pi} \sin x\cos x\frac{\sin x}{\cos x}\frac{\cos x}{\sin x}\frac{1}{\cos x}\frac{1}{\sin x}dx \\
    &= \int_0^{2\pi} 1dx \\
    &= 2\pi
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 7번

각각 분배한 뒤 $\left(\frac{1}{\ln x}\right)' = -\frac{1}{x(\ln x)^2}$임을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int \left(\frac{\cos x}{\ln x}-\frac{\sin x}{x(\ln x)^2}\right)dx \\
    &= \int \left(\frac{\sin x}{\ln x}\right)'dx \\
    &= \frac{\sin x}{\ln x}
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 8번

두 함수 $y= 2^{x-1}$, $y=\log_2(2x)$는 역함수 관계이다.

또, 두 함수는 모두 두 점 $(1, 1), (2,2)$를 지나므로 (이 포스팅)을 참고하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= 2\times 2-1\times 1 \\
&= 3
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 9번

$1-x^{2025}=t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{1}{2025}\int_0^1 t^{2025}dt \\
&= \frac{1}{2025\times2026}
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 10번

함수 $f(x)$를
$$f(x) = x\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-1)$$
이라 하자.

그러면 (이 포스팅)을 참고하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{10}{6}(f(0)+4f(5)+f(10)) \\
&= 2025
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 11번

구간을 나누어 계산하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= 2\times (1+2+\cdots+9)+1\times(0+10) \\
&= 100
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 12번

피적분함수를 다시 쓰면
$$x^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times\frac{2}{4}+\frac{1}{3}\times\frac{2}{4}\times\frac{3}{5}+\cdots}$$
이다. 이제 지수부분을 $S$라 하자. 즉,
$$S=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times\frac{2}{4}+\frac{1}{3}\times\frac{2}{4}\times\frac{3}{5}+\cdots$$
의 값을 구하자.

$n$번째 항을 $a_n$이라 하고 일반항을 구해보면
$$a_n = \frac{2n!}{(n+2)!} = \frac{2}{(n+2)(n+1)}$$
이므로
$$\begin{align}
    \sum_{n=1}^{\infty} a_n &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(n+2)(n+1)} \\
    &= 1
\end{align}$$
이다.

따라서 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int xdx \\
    &= \frac{x^2}{2}
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 13번

문제에서 주어진 분모의 형태는 $1+(f(x))^4$이다. 이때 분모를 $1+(f(x))^2$의 형태로 만들고
분자에 $f'(x)$의 형태를 만들 수 있다면 $\tan^{-1}f(x)$의 형태로 적분이 가능할것이다.

따라서 $f(x)$를
$$f(x)=x^2e^{2x}$$
라고 하면
$$f'(x)=e^{2x}(2x+2x^2)$$
이므로, 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int \frac{f'(x)}{1+f(x)^2}dx \\
    &= \frac{1}{2}\tan^{-1} f(x) \\
    &= \frac{1}{2}\tan^{-1}(x^2 e^{2x})
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 14번

삼각함수의 성질로부터
$$\sec^2 x-\tan^2 x = 1$$
이 성립한다. 따라서 합차공식을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int (\sec^2 x+\tan^2 x)dx \\
    &= \int (2\sec^2 x-1)dx \\
    &= 2\tan x - x
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 15번

피적분함수는 중심이 점 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$이고 반지름이 $\frac{1}{2}$인 원의 윗부분이므로
넓이의 관점에서 바라보면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\times \frac{\pi}{8} \\
&= \frac{\pi}{8}
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 16번

배각공식을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int \frac{2\sin 2x\cos 2x\cos x}{\cos 2x\sin x}dx \\
    &= \int \frac{4\sin x\cos^2 x}{\sin x}dx \\
    &=2\int (1+\cos 2x)dx \\
    &= 2x+\sin 2x
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 17번

주어진 적분을 $I$라 하자.

부분적분을 두 번 하면
$$\begin{align}
    I &= \sin x\cosh x-\int \cos x\cosh x \\
    &= \sin x\cos x-\left(\cos x\sinh x+\int \sin x\sinh xdx\right) \\
    &= \sin x\cos x-\cos x\sinh x-\int \sin x\sinh xdx \\
    &= \sin x\cos x-\cos x\sinh x-I
\end{align}$$
이므로, 식을 정리하면
$$I = \frac{1}{2}(\sin x\cosh x-\cos x\sinh x)$$
임을 얻는다. 따라서 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= I \\
    &= \frac{1}{2}(\sin x\cosh x-\cos x\sinh x)
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 18번

덧셈정리를 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{2}\sin x\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin^2 x\right)dx \\
    &= \frac{3}{16}+\frac{\sqrt{3}}{4}\int_0^{\frac{\pi}{3}}(1-\cos 2x)dx \\
    &= \frac{\sqrt{3}}{12}\pi
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 19번

삼각함수의 합을 곱으로 바꾸면
$$\cos\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)+\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)= -\cos x$$
이므로 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= 0
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 20번

무한등비급수의 합 공식을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= -\int_0^1 \frac{x^2}{x^2 + 1}dx \\
    &= -\int_0^1 \left(1-\frac{1}{x^2+1}dx\right) \\
    &= \frac{\pi}{4} - 1
\end{align}$$
이다.

이상으로 2025 MIT Integration Bee 문제들에 대한 제 풀이를 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

년도별 MIT Integration Bee Qualifier 정답 및 해설 (클릭시 이동)
(Qualifier가 아닌 Regular season, Quarterfinals등은 블로그 우측의
'MIT Integration Bee' 카테고리를 참고하세요.)
2019년 이전의 Qualifier 문제의 경우도 위와 동일한 카테고리를 참고하세요.

- 2020 MIT Integration Bee Qualifier
- 2022 MIT Integration Bee Qualifier
- 2023 MIT Integration Bee Qualifier
- 2024 MIT Integration Bee Qualifier
- 2025 MIT Integration Bee Qualifier (현재)

[편입] 2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

수학올인 — Sat, 11 Jan 2025 04:52:56 +0900

[편입] 2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에선 2025년 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 서울과학기술대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(서울과학기술대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)

2025년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

계산해보면 전부 참이므로 정답은 5번이다.

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

지면을 $y=0$이라 하고 가로등을 점 $(0,6)$으로, 사람을 점 $\left(\frac{3}{2}t, 2\right)$으로 생각하자.
그러면 문제 상황을 그림과 같이 나타낼 수 있다.

이제 가로등과 사람을 지나는 직선의 방정식을 구해보면
$$y=-\frac{8}{3t}x+6$$
이고, 이 직선의 $x$절편을 구해보면
$$\left(\frac{9}{4}t, 0\right)$$
이다.

또, 가로등으로부터 사람까지의 거리는 사람의 $x$좌표에서 가로등의 $x$좌표를 빼준 값인
$$\frac{3}{2}t$$
이고, 사람의 그림자의 길이는 위에서 구한 $x$절편인 $\left(\frac{9}{4}t, 0\right)$의 $x$좌표에서 $\frac{3}{2}t$을 빼준
$$\frac{3}{4}t$$
이며, 기둥으로부터 그림자의 끝까지의 거리는 위에서 구한 $x$절편인 $\left(\frac{9}{4}t, 0\right)$의 $x$좌표
$$\frac{9}{4}t$$
이다.

문제의 조건으로부터 사람이 기둥에서 $10$미터 떨어진 순간은
$$\frac{3}{2}t=10\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{20}{3}$$
이므로
$$a=\frac{3}{4}t\bigg|_{t=\frac{20}{3}}=5$$
이고, $b$는 $\frac{9}{4}t$의 변화율인 $\frac{9}{4}$, $c$는 $\frac{3}{4}t$의 변화율인 $\frac{3}{4}$이다.

따라서
$$a+b+c=5+\frac{9}{4}+\frac{3}{4}=8$$
이다.

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

우선 문제에서 말하는 둘러싸인 영역을 그려보면 다음과 같다.

이때 두 곡선
$$y=\sin x,y=\cos x$$
는 $x=\frac{\pi}{4}$에 선대칭관계에 있다는 사실로부터

i) 위 그림의 좌 우 영역 넓이는 동일함
ii) 문제에서 제시한 영역의 질량중심의 $x$좌표는 $\frac{\pi}{4}$

가 성립한다. 문제에서 제시된 영역의 넓이를 $S$라 하면
$$S = 2\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos x-\sin x)dx=2(\sqrt{2}-1)$$
이므로 파푸스의 정리를 이용하면 구하는 회전체의 부피 $V$는
$$\begin{align}
V &= 2\pi \times \frac{\pi}{4}\times S \\
&= \pi^2(\sqrt{2}-1)
\end{align}$$
이다.

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

직선 $y=x$와 곡선 $y=x^2$로 둘러싸인 영역을 $D$라 하면 영역 $D$의 넓이는
$$\text{Area}(D) = \frac{1}{6}$$
이다.

이제 질량중심의 $x, y$좌표를 각각 구해보면
$$\begin{align}
    \bar{x} &= \frac{1}{\text{Area}(D)}\iint_D xdydx \\
    &= 6\int_0^1 \int_{x^2}^x xdydx \\
    &= 6\int_0^1 x^2(1-x)dx \\
    &= \frac{1}{2}
\end{align}$$
이고
$$\begin{align}
    \bar{y} &= \frac{1}{\text{Area}(D)}\iint_D ydydx \\
    &= 6\int_0^1 \int_{x^2}^x ydydx \\
    &= 3\int_0^1 (x^2 -x^4)dx \\
    &= \frac{2}{5}
\end{align}$$
이다. 따라서
$$a+b=\frac{1}{2}+\frac{2}{5}=\frac{9}{10}$$
이다.

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

[오류 문항]
입학처로부터 오류 (전원정답 처리)라고 공지된 문항입니다.

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

$x, y$를 각각 $t$로 미분해보면
$$\begin{align}
    \frac{dx}{dt} &= -2\sin t+2\cos 2t \\
    \frac{dy}{dt} &= 2\cos t-2\sin 2t
\end{align}$$
이다. 따라서 속력을 $v$라 하면
$$\begin{align}
    v &= \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \\
    &= \sqrt{8-8\sin2t\cos t-8\sin t\cos 2t} \\
    &= \sqrt{8-8\sin 3t}
\end{align}$$
에서
$$\sin 3t = 1$$
인 $t$를 모두 찾으면 된다. 이때 주어진 범위를 고려하면 $0\leq 3t\leq 3\pi$이므로
$$3t = \frac{\pi}{2}, \frac{5}{2}\pi$$
가 되어 가능한 모든 $t$의 합은 $\pi$이다.

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

세 점 $\rm{P}, \rm{Q}, \rm{R}$을 지나는 평면의 방정식을 구하자. 이 평면을 $A$라 하면

i) 법선벡터가 $\overrightarrow{\rm{PQ}}\times \overrightarrow{\rm{PR}}$임
ii) 점 $\rm{P}$를 지남

을 만족시켜야 하고, 구해보면 평면 $A$의 방정식은
$$A : 2x-6y+3z+4=0$$
이다. 따라서 구하는 거리 $d$는
$$d = \frac{|4-6-30+4|}{\sqrt{49}}=4$$
이다.

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

문제에서는 높이만 요구하므로 수직방향 (y방향)의 운동만 분석하면 된다.

초기 속력이 $40$이고 지면과 이루는 각이 $\frac{\pi}{3}$이므로 $y$축의 양의 방향 (수직방향)으로의 초기속력은
$$20\sin\frac{\pi}{3} = 20\sqrt{3}$$
이다.

따라서 초기 위치 $x_i$, 초기 속력 $v_i$에 대하여 발사체의 수직방향 위치 $x$는 등가속도운동을 하므로
$$x=x_i + v_it + \frac{1}{2}at^2$$
인데, 초기 높이가 $10$이라고 제시되었으므로 $x_i = 10$이고, 가속도는 $a=g=10$, 위에서 계산한 내용으로부터
초기속도는 $v_i=20\sqrt{3}$이다. 따라서
$$x=10+20\sqrt{3}t-5t^2$$
이다. 이제 이를 미분하면 수직방향 속도 $v$는
$$v = 20\sqrt{3} - 10t$$
이다.

한편 발사체가 지면으로 가장 높은 순간에서는 수직방향으로의 속도가 $0$일 것이므로
$$v=0\quad\Longrightarrow\quad t=2\sqrt{3}$$
이다. 따라서 이를 위치 식에 대입하면 가장 높이 올라갔을 때의 높이는
$$x(2\sqrt{3}) = 70$$
이다.

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

영역 $D$를
$$D : x^2 + y^2 \leq 1$$
라 하자. 이제 두 연속확률변수 $X, Y$의 결합확률밀도함수를 문제에서 제시된 $f(x ,y)$라 하면
$$\iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)dxdy = 1$$
을 만족시켜야 하므로
$$\begin{align}
    1 &= \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)dxdy \\
    &= \iint_D f(x,y)dxdy \\
    &= C\int_0^{2\pi} \int_0^1 re^{r^2}drd\theta \\
    &= C\times \pi(e-1)
\end{align}$$
에서 식을 정리하면
$$C = \frac{1}{\pi(e-1)}$$
을 얻는다.

이제 두 연속확률변수 $X, Y$와 이 둘의 결합확률밀도함수를 $f(x, y)$라 했을 때
임의의 실함수 $g(x,y)$에 대하여 기댓값 $\mathbb{E}\left[g(X,Y)\right]$은
$$\mathbb{E}\left[g(X,Y)\right] = \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)g(x,y)dxdy$$
와 같으므로,
$$\begin{align}
    \mathbb{E}\left[X^2+Y^2\right] &= \iint_{\mathbb{R}^2} (x^2 + y^2)f(x,y)dxdy \\
    &= \frac{1}{\pi(e-1)}\iint_D (x^2 + y^2)e^{x^2 + y^2}dxdy \\
    &= \frac{1}{\pi(e-1)}\int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 e^{r^2}drd\theta \\
    &= \frac{1}{e-1}
\end{align}$$
이다.

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

경로 $C$는 폐곡선이므로 $C$의 내부를 $D$라 하고 그린정리를 이용하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D \sin(y^2)dxdy \\
    &= \int_0^1 \int_0^y \sin(y^2)dxdy \\
    &= \int_0^1 y\sin (y^2)dy \\
    &= \frac{1}{2}(1-\cos 1) \\
    &= \sin^2\frac{1}{2}
\end{align}$$
이다.

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

문제에서 주어진 곡면을 $S_1$이라 하고, 곡면 $S_2$를
$$z=0\quad (x^2 + 2y^2 \leq 8)$$
라 하자. (법선벡터는 아래 방향임을 주의하자.) 그리고 곡면 $S'$을
$$S ' = S_1 \cup S_2$$
라 하자. 그러면 $S'$은 폐곡면이다.

또, 문제에서 구하는 면적분은 $S_1$에 대한 면적분과 같은데, 이는 곧
($S'$에 대한 면적분) - ($S_2$에 대한 면적분)
과 같으므로, 위의 두 면적분값을 구하자.

i) $S'$에 대한 면적분
$S'$의 내부를 $E$라 하고 발산정리를 이용하면 주어진 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iiint_E 3dV \\
    &= 3\iint_{x^2+2y^2\leq 8} (8-x^2 - 2y^2) dxdy \\
    &= \frac{3}{\sqrt{2}}\iint_{u^2 + v^2\leq 8} (8-u^2 -v^2)dudv \quad \left(x=u, \frac{y}{\sqrt{2}}=v\right) \\
    &= \frac{3}{\sqrt{2}}\int_0^{2\pi} \int_0^{2\sqrt{2}} r(8-r^2)drd\theta \\
    &= 48\sqrt{2}\pi
\end{align}$$
이다.

ii) $S_2$에 대한 면적분
면적분의 정의대로 계산하면 주어진 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= -\iint_{x^2 + 2y^2 \leq 8}dxdy \\
    &= -4\sqrt{2}\pi
\end{align}$$
이다.

이상에서 $S_1$에 대한 면적분은
$$\text{(Integral)}=48\sqrt{2}\pi-(-4\sqrt{2}\pi)=52\sqrt{2}\pi$$
이다.

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

ㄱ, ㄴ : curl이 $0$이므로 보존장이다.

ㄷ : 계산해보면 보존장이 아니다.

ㄹ : 계산해보면 보존장이다.

이상에서 보존장의 개수는 3이다.

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

가장 먼저 $x-4=u$로 치환하면 주어진 미분방정식은
$$(u^2-1)\frac{dy}{du} = uy, y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
일 때 $y(0)$의 값을 구하는 문제가 된다.

이제 식을 변형하면
$$\frac{1}{y}dy = \frac{u}{u^2 - 1}du$$
와 같이 변수분리가 가능하므로 양변을 적분하면
$$\ln |y| = \frac{1}{2}\ln |u^2 - 1| + C$$
에서 초기조건을 이용하면
$$y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\quad\Longrightarrow\quad C=0$$
이다. 따라서
$$\ln |y| = \ln \sqrt{|u^2 - 1|}$$
이므로
$$y = \sqrt{|u^2 - 1|}$$
가 되어 구하는 값은 $y(0)=1$이다.

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

주어진 미분방정식의 보조방정식을 구해보면
$$(r-4)^2 + 2 = 0$$
에서 근을 구해보면
$$r=4\pm \sqrt{2}i$$
이므로, 주어진 미분방정식의 일반해는
$$y=e^{4x}(c_1\cos\sqrt{2}x + c_2\sin\sqrt{2}x)$$
이다. 이제 초기조건을 이용하면
$$\begin{align}
y(0)=1&\quad\Longrightarrow\quad c_1 = 1 \\
y\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\pi\right)=0&\quad\Longrightarrow\quad c_2 = 0
\end{align}$$
이므로 주어진 미분방정식의 해는
$$y = e^{4x}\cos\sqrt{2}x$$
이고 구하는 값은 $0$이다.

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

단위계단함수를 이용하여 주어진 미분방정식을 다시 쓰면
$$y'+2y =1-u(t-1)$$
이다. 함수 $y(x)$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스변환하면
$$\begin{align}
    Y &= \frac{1}{s+2}\left(\frac{1}{s} - \frac{e^{-s}}{s}\right) \\
    &= \frac{1}{s(s+2)}-\frac{e^{-s}}{s(s+2)} \\
    &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s+2}\right) - \frac{e^{-s}}{2}\left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s+2}\right)
\end{align}$$
이다. 이제 양변을 역변환하면
$$y(x) = \frac{1}{2}(1-e^{-2x})-\frac{1}{2}u(t-1)(1-e^{-2(x-1)})$$
이므로
$$y(2) = \frac{1}{2}(e^{-2}-e^{-4})$$
이다.

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여
$$(xf(x))' = f(x) + xf'(x)$$
임을 이용하자.

주어진 미분방정식을 다시 쓰면
$$y+xy'=3xe^x + 6x^2$$
에서 위에서 언급한 내용으로부터 좌변은 $xy$의 미분이므로 양변을 적분하면
$$xy = (3x-3)e^x + 2x^3 + C$$
이고, 초기조건을 이용하면 $C=3$이다. 따라서
$$y(x) = \frac{(3x-3)e^x + 2x^3 + 3}{x}$$
이고 양변에 $x\to 0$인 극한을 취하면 구하는 극한값은 $0$이다.

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

두 행렬
$$\begin{align}
    P &= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 2 \\
1 & 1 & 3
\end{pmatrix} \\
Q &= \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{pmatrix}
\end{align}$$
을 생각하면 블록행렬의 행렬식으로부터
$$\begin{align}
    \det A &= \det P \det Q \\
    &= 2
\end{align}$$
이다.

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

모든 성분의 합을 구하려면
$$A\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}$$
의 모든 성분의 합을 구하면 되는데
$$\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} = 3x_1- 2x_2 + x_3$$
이 성립하므로
$$A(3x_1- 2x_2 + x_3)$$
의 모든 성분의 합을 구하면 된다.

이때 두 벡터 $x_2, x_3$의 모든 성분의 합은 $0$이므로 실질적으로
$$A(3x_1- 2x_2 + x_3)$$
의 모든 성분의 합은
$$A(3x_1)$$
의 모든 성분의 합과 같고, $x_1$은 $\lambda = 1$에 대응되는 고유벡터이므로
$$A(3x_1) = 3x_1$$
이 되어 모든 성분의 합은 $3$이다.

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

$a+b+c+d$의 값을 구해야 하는데, $a, b, c, d$를 각각 구하거나 $a+b+c+d$가 한 번에 구해질 것 같지는 않다.
따라서 두 개의 합을 구한 뒤 그 두 개의 합을 계산할 것이다.

이 전략에 주목하여 직교행렬의 성질 (행 또는 열간의 내적이 0)을 이용할 행 또는 열을 내적했을 때
$a, b, c, d$ 각각이 같은 부호가 나오도록 정한다.

i) 1행과 4행의 내적이 0
내적해보면
$$\frac{a+d-1}{2} =0$$
에서
$$a+d=1$$
이다.

ii) 2행과 3행의 내적이 0
마찬가지로 내적해보면
$$\frac{b+c+1}{2} = 0$$
에서
$$b+c=-1$$
이다.

이상에서
$$a+b+c+d=0$$
이다.

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

(ㄱ)
행렬식의 성질로부터 맞다.

(ㄴ)
$k$가 우변이 아닌 좌변에 붙어야 한다. 따라서 거짓이다.

(ㄷ)
행렬식의 성질로부터 맞다.

(ㄹ)
둘은 필요충분조건이므로 맞다.

이상에서 옳은 것의 개수는 3이다.

마치며

이상으로 2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

년도별 서울과학기술대학교 편입수학 정답 및 해설 (클릭시 이동)
- 2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설
- 2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설
- 2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설
- 2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설
- 2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (현재)

[편입] 2020 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

수학올인 — Wed, 1 Jan 2025 09:54:33 +0900

[편입] 2020 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에선 2020년 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 중앙대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(중앙대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제)

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2020 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

테일러전개로부터 $\theta=0$근방에서
$$\tan\theta - \sin\theta \approx \frac{1}{2}\theta^3$$
이 성립하므로, 구하는 극한값은 $\frac{1}{2}$이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

점 $(0, a)$가 주어진 곡선 위의 점이므로 $x=0, y=a$를 주어진 식에 대입하면
등호가 성립해야 한다. 따라서
$$1==-a$$
에서 $a=-1$이다. 한편 음함수 미분법을 이용하면
$$\begin{align}
y' &= -\frac{f_x}{f_y} \\
&= -\frac{\frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}}-1}{-\frac{x}{y^2}e^{\frac{x}{y}} + 1}
\end{align}$$
에서 $x=0, y=-1$을 대입하면
$$y' = 2$$
를 얻는다. 따라서 주어진 곡선 위의 점 $(0, -1)$에서의 접선의 방정식은
$$y=2x-1$$
이다. 따라서 이 직선과 $y=x+3$의 교점은
$$2x-1=x+3 \quad\Longrightarrow\quad x=4, y=7$$
이다. 이상에서 얻은 것을 정리하면 $(a,b,c)=(-1,4,7)$이므로
$$a+b+c=10$$
이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

주어진 두 점을 평면의 방정식에 대입해보면 둘 다 양수이다.
따라서 좌표공간을 주어진 평면의 방정식을 통해 두 부분으로 나눴을 때 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$는
같은 영역에 놓인다.

따라서 구하는 $\mathrm{\overline{PA}} + \mathrm{\overline{PB}}$의 최솟값은

1. 점 $\mathrm{A}$를 주어진 평면에 대칭시킨 뒤 대칭점을 $\mathrm{A}'$라 하면
2. $\mathrm{\overline{A'B}}$가 구하는 최솟값

이 된다. 이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

위의 그림처럼 평면에 수직이고 점 $\mathrm{A}$를 지나는 직선의 방정식을 구해보면
$$l(t)=(2t+1,-t+1,t+1)$$
이고, $t=0$일 때 점 $\mathrm{A}$, $t=-\frac{1}{3}$일 때 평면위를 지나므로 $t=-\frac{2}{3}$일 때
$$l\left(-\frac{2}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right)$$
가 점 $\mathrm{A}'$의 좌표가 된다.

이상에서 구하는 최솟값은
$$\mathrm{\overline{A'B}}=\sqrt{\frac{16}{9} + \frac{4}{9} + \frac{25}{9}} = \sqrt{5}$$
이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

영역을 두 개로 나눠 적분하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^1 \int_1^{3y+1}y^2 dxdy + \int_1^2 \int_1^{7-3y}y^2 dxdy \\
&= \frac{7}{2}
\end{align}$$
이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

문제에서 주어진 두 벡터
$$\begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}$$
은 각각 고유치 $\lambda=2, 3$에 대응되는 고유벡터이다.

이를 이용하여 식을 변형하면
$$\begin{align}
A^{17}\begin{pmatrix}
11 \\
-5
\end{pmatrix} &= A^{17}\left(8\begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}\right) \\
&= 2^{17}\left(8\begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}\right)
\end{align}$$
이다. 이때 $x-y$를 구하게 되면 뒤의 벡터는 성분이 같아서 소거될 것이므로
앞의 벡터만 따져주면
$$x-y=2\times 8\times 2^{17} = 2^{21}$$
이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

주어진 적분이 최대가 되려면 피적분함수가 양수가 되어야 한다.
즉, 적분영역 $E$는
$$E : x^2 + 2y^2 + 3z^2 \leq 1$$
이다.

이제
$$\begin{cases}
    u = x \\
    v = \frac{y}{\sqrt{2}} \\
    w = \frac{z}{\sqrt{3}}
\end{cases}$$
으로 변수변환하면 $dxdydz = \frac{1}{\sqrt{6}}dudvdw$가 성립하고 적분영역은
$$E' : u^2 + v^2 + w^2 \leq 1$$
이 된다. 따라서 주어진 삼중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{\sqrt{6}}\iiint_{E'}(1-u^2-v^2-w^2)dudvdw \\
    &= \frac{1}{\sqrt{6}}\left(\frac{4}{3}\pi - \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1 \rho^4 \sin\phi d\rho d\phi d\theta\right) \\
    &= \frac{8\pi}{15\sqrt{6}}
\end{align}$$
이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

풀이를 시작하기에 앞서, 구하는 미지수와 주어진 순서기저가 모두 동일한 문자인 $\beta$를 사용하고 있다.
별도의 이름 수정 없이 진행하므로, 맥락에 맞게 이해하면 된다.

이 포스팅에서는

1. 좌표벡터를 이용한 풀이
2. 기저변환행렬을 이용한 풀이

를 소개한다.

[풀이 1]
주어진 세 벡터 $w_1, w_2, w_3$의 정의로부터
$$w_1 + w_2 + w_3 = v_1 + 3v_2 + 7v_3$$
이므로 벡터 $w_1 + w_2 + w_3$의 기저 $\beta$에 대한 좌표벡터는 $(1,3,7)$이다.

이를 주어진 행렬에 곱하면
$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\
3 \\
7
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-3 \\
9 \\
4
\end{pmatrix}$$
이므로, 다시 일차결합시키면
$$T(w_1+w_2+w_3)=-3v_1+9v_2+4v_3$$
이다. 이때 주어진 관계식을 다시 $v$에 대해 풀면
$$\begin{cases}
    v_1 = w_1 - 2w_2 \\
    v_2 = w_2 - 2w_3 \\
    v_3 = w_3
\end{cases}$$
이므로
$$T(w_1+w_2+w_3)=-3w_1 + 15w_2 - 14w_3$$
가 되어 구하는 값은 $-2$이다.

[풀이 2]
순서기저
$$\alpha = \left\{w_1, w_2, w_3\right\}$$
를 생각하자. 그러면 문제에서
$$\begin{cases}
    w_1 = v_1 + 2v_2 + 4v_3 \\
    w_2 = v_2 + 2v_3 \\
    w_3 = v_3
\end{cases}$$
임을 제시했으므로 기저 $\alpha$에서 $\beta$로의 기저변환행렬은
$$T_\alpha^\beta = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 0 \\
4 & 2 & 1
\end{pmatrix} $$
이다. 또,
$$\begin{cases}
    v_1 = w_1 - 2w_2 \\
    v_2 = w_2 - 2w_3 \\
    v_3 = w_3
\end{cases}$$
이므로 기저 $\beta$에서 $\alpha$로의 기저변환행렬은
$$T_\beta^\alpha = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-2 & 1 & 0 \\
0 & -2 & 1
\end{pmatrix}$$
이다. 따라서
$$\begin{align}
    &T_\alpha^\alpha \\
    &= T_\beta^\alpha T_\beta^\beta T_\alpha^\beta \\
    &= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-2 & 1 & 0 \\
0 & -2 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 0 \\
4 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이다. 이제 기저 $\alpha$에서 벡터 $w_1+w_2+w_3$의 좌표벡터는 $(1,1,1)$이므로 이를 곱하면
$$\begin{align}
    &T_\alpha^\alpha \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-2 & 1 & 0 \\
0 & -2 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\
3 \\
7
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-2 & 1 & 0 \\
0 & -2 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-3 \\
9 \\
4
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-3 \\
15 \\
-14
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이므로, 구하는 값은 모든 성분의 합인 $-2$이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

$z$좌표를 $z=0$으로 임의로 추가한 뒤 주어진 타원을 매개화하면
$$r(t) = (2\sqrt{2}\cos t, \sqrt{2}\sin t, 0)$$
에서 주어진 점은 $t=\frac{\pi}{4}$일 때이다.

한편
$$\begin{align}
r'(t) &= (-2\sqrt{2}\sin t, \sqrt{2}\cos t, 0) \\
r''(t) &= (-2\sqrt{2}\cos t, -\sqrt{2}\sin t, 0)
\end{align}$$
이므로 구하는 곡률 $\kappa$는
$$\kappa = \frac{\left|r'\left(\frac{\pi}{4}\right)\times r''\left(\frac{\pi}{4}\right)\right|}{\left| r'\left(\frac{\pi}{4}\right)\right|^3} = \frac{4}{25}\sqrt{5}$$
이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

이 포스팅에서는

1. 고유특성다항식과 식조작을 이용한 풀이
2. 고유치와 곱셈공식을 이용한 풀이

를 소개한다.

[풀이 1]
행렬 $A$의 고유특성다항식을 $f(t)$라 하자. 즉,
$$f(t) = \det(A-tI)$$
라 하자. 그러면
$$\begin{align}
    p(t) &= \det(A^2 - tI) \\
    &= \det(A+\sqrt{t}I)\times \det(A-\sqrt{t}I) \\
    &= f(\sqrt{t})f(-\sqrt{t})
\end{align}$$
이다. 이제
$$\begin{cases}
    f(1) = 6, f(-1) = -4 \\
    f'(1) = 7, f'(-1) = -1
\end{cases}$$
임을 이용하자. $p'(t)$를 구해보면
$$p'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}}(f'(\sqrt{t})f(-\sqrt{t})-f(\sqrt{t})f'(-\sqrt{t}))$$
이므로
$$\begin{align}
    p'(1) &= \frac{1}{2}(f'(1)f(-1)-f(1)f'(-1)) \\
    &= \frac{1}{2}(-28-(-6)) \\
    &= -11
\end{align}$$
이다.

[풀이 2]
행렬 $A$의 고유치를 $a, b,c$라 하면 행렬 $A^2$의 고유치는 $a^2, b^2 ,c^2$이다.

이제 곱셈공식으로부터
$$\begin{align}
    a^2 + b^2 + c^2 &= (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) \\
    a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 &= (ab+bc+ca)^2 - 2abc(a+b+c)
\end{align}$$
가 성립함을 이용하자. 주어진 행렬 $A$의 고유특성다항식으로부터
$$\begin{cases}
    a+b+c=2 \\
    ab+bc+ca=-6 \\
    abc=-1
\end{cases}$$
이므로
$$\begin{align}
    p(t) &= -(t^3-(a^2 + b^2 + c^2)t^2 + (a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)t - (abc)^2) \\
    &= -t^3 + 16t^2 - 40t + 1
\end{align}$$
임을 얻는다. 따라서
$$p'(t) = -3t^2 + 32t - 40$$
이므로 $p'(1) = -11$이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

$n=4-r$이므로 구하는 값은 $r-n=2r-4$이다. 한편 계산을 통해
$$\text{rank}(A) = 3$$
이므로 구하는 값이 $2$임을 알 수 있다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

제시된 기약행사다리꼴을 기준으로 보면 각 행의 선두원소가 위치하는 열이 1, 2, 4열이다.
이제 1, 2, 4열의 선형결합으로 5열을 만들어보면
$$2\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} + 5\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} + 6\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \\
5 \\
6
\end{pmatrix}$$
이 성립한다. 이로부터 계수를 똑같이 $2, 5, 6$으로 유지하여 원본행렬 $M$의 1, 2, 4열을 선형결합시키면
$$v= 2\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
2
\end{pmatrix} + 5\begin{pmatrix}
3 \\
1 \\
-1
\end{pmatrix} + 6\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}$$
이 행렬 $M$의 5열이 된다. 따라서 $v$의 모든 성분의 합은
$$2\times 4 + 5\times 3 + 6\times 4 = 47$$
이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

면적소를 계산해보면
$$dS = \sqrt{1+(z_x)^2 + (z_y)^2} = \sqrt{1+y^2}dydx$$
이므로 주어진 면적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^1 \int_0^1 (1+y^2)dydx \\
&= \frac{4}{3}
\end{align}$$
이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

어떤 영역 $A$와 선형변환 $T$에 대하여 영역 $A$를 변환시켜 얻은 영역 $T(A)$의 넓이는
$$\text{Area}(T(A)) = \text{Area}(A) \times |\det T|$$
이다.

따라서 세 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 $S$라 하면
$$S=\frac{3}{2}$$
이고, 문제에서 주어진 선형변환 $T$의 표현행렬은
$$T = \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & -3
\end{pmatrix}$$
이므로 $\det T = -5$이다. 따라서 구하는 넓이는
$$\frac{3}{2}\times 5 = \frac{15}{2}$$
이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

이 포스팅에서는

1. 매개변수 $t$를 소거시키는 풀이
2. 직접 길이를 구하는 풀이

를 소개한다.

[풀이 1]
주어진 곡선의 매개변수 표현은
$$\begin{cases}
    x = \frac{t+1}{t^2 + 1} \\
    y = \frac{t(t+1)}{t^2 + 1}
\end{cases}$$
이다. 여기서 주목해야 할 것은 두 변수 $x, y$가
$$y=tx$$
를 만족시킨다는 것이다. 즉, $t=\frac{y}{x}$이므로
$$\begin{align}
    x &= \frac{t+1}{t^2 + 1}\\
    &= \frac{\frac{y}{x}+1}{\frac{y^2}{x^2} + 1} \\
    &= \frac{xy+x}{x^2 + y^2}
\end{align}$$
에서 식을 정리하면
$$x^2 + y^2 = y+1\quad\Longrightarrow\quad x^2 + \left(y-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}$$
의 일부분이 곡선 $\gamma(t)$임을 알 수 있다.

한편 $\gamma(0) =(1, 0)$, $\gamma(1)=(1, 1)$이므로 주어진 곡선 $\gamma(t)$는 원
$$x^2 + \left(y-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}$$
위의 점 $(1, 0)$에서 출발하여 $(1, 1)$까지 반시계방향으로 이동하는 곡선임을 알 수 있다.

따라서 구하는 길이는 $\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$이다.

[풀이 2]
매개변수로 정의된 곡선의 길이를 구하기 위해 각각 미분해보면
$$\begin{align}
    \frac{dx}{dt} &= \frac{-t^2 - 2t + 1}{(t^2 + 1)^2} \\
    \frac{dy}{dt} &= \frac{-t^2 + 2t+1}{(t^2 + 1)^2}
\end{align}$$
이므로 약간의 인내심을 갖고 계산해보면 구하는 길이 $L$은
$$\begin{align}
    L &= \int_0^1 \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt \\
    &= \int_0^1 \frac{\sqrt{2}}{t^2 + 1}dt \\
    &= \frac{\pi}{2\sqrt{2}}
\end{align}$$
이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

문제에서 제시된 $(\alpha)_n$의 정의대로 해석해보면 $(-3)_n$은 $n\geq 4$일 때 항상 $0$이 된다.

즉, 주어진 급수는 애초에 무한급수가 아니다. 따라서 수렴반경은 $\infty$이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

$x=\cos 2t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin 2t \sqrt{\frac{1-\cos 2t}{1+\cos 2t}}dt \\
    &= 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin 2t \times \frac{\sin t}{\cos t}dt \\
    &= 4\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 t dt \\
    &= 4\left(\frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}\right) \\
    &= \frac{\pi}{2} - 1
\end{align}$$
이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

$\cos^2 x = 1-\sin^2 x$임을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x(1-\sin^2 x)\cos xdx \\
    &= \int_0^1 t^3(1-t^2)dt\quad (\sin x= t) \\
    &= \frac{1}{12}
\end{align}$$
이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

$x^3 = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{1}{3}\int_0^1 te^{-t}dt \\
&= \frac{1}{3}\left(1-\frac{2}{e}\right)
\end{align}$$
이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

함수 $f(t)=\cos t$의 라플라스 변환 $F(s)$가
$$\begin{align}
    F(s) &= \int_0^{\infty} e^{-st}\cos t dt \\
    &= \frac{s}{s^2 + 1}
\end{align}$$
이므로, 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= F(a) \\
    &= \frac{a}{a^2 + 1}
\end{align}$$
이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

$g(x) = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_1^0 \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}dt \\
&= 1-\sqrt{2}
\end{align}$$
이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

반각치환 $\tan\frac{x}{2}=u$를 이용하면 덧셈정리로부터
$$\begin{cases}
    \tan x = \frac{2u}{1-u^2}\\
    \sin x = \frac{2u}{1+u^2}\\
    \cos x = \frac{1+u^2}{1-u^2}
\end{cases}$$
가 성립하고
$$dx = \frac{2du}{\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{2}{u^2 + 1}du$$
가 성립하므로, 이를 전부 대입하면
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} R(\cos x)dx = 2\int_0^1 R\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)\times \frac{1}{1+u^2}du$$
이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

뒤의 적분항에 주목하자. $\theta = \cosh x$로 치환적분하면 $d\theta = \sin hx dx$이므로
$$\begin{align}
    \int_1^{\cosh t} \sqrt{\theta^2 - 1}d\theta &= \int_0^t \sinh x\sqrt{\cosh^2 x - 1}dx \\
    &= \int_0^t \sinh^2 xdx
\end{align}$$
가 성립한다.

따라서
$$A(t) = \frac{1}{2}\sinh t\cosh t - \int_0^t \sinh^2 xdx $$
에서
$$\begin{align}
    A'(t) &= \frac{1}{2}\cosh^2t + \frac{1}{2}\sinh^2 t - \sinh^2 t \\
    &=\frac{1}{2}(\cosh^2 t - \sinh^2 t) \\
    &= \frac{1}{2}
\end{align}$$
이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

벡터함수
$$s(t) = (\cos t, \sin t, t)$$
를 생각하면
$$r(t) = \frac{1}{\sqrt{t}}s(t)$$
이고
$$r'(t) = -\frac{1}{2}t^{-\frac{3}{2}}s(t) + \frac{1}{\sqrt{t}}s'(t)$$
이므로
$$\begin{align}
    r(t)\times r'(t) &= \frac{1}{\sqrt{t}}s(t) \times r'(t) \\
    &= \frac{1}{t} s(t)\times s'(t) \\
    &= \frac{1}{t}(\sin t-t\cos t, -\cos t-t\sin t, 1)
\end{align}$$
이므로 크기를 구해보면
$$\sqrt{1+\frac{2}{t^2}}$$
이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

테일러전개로부터 $x=0$ 근방에서
$$e^x - 1\approx x+\frac{1}{2}x^2$$
이 성립하므로, $x=0$ 근방에서
$$\begin{align}
B(x) &\approx \frac{1}{1+\frac{1}{2}x} \\
&\approx 1-\frac{1}{2}x
\end{align}$$
이므로 $B'(0)=-\frac{1}{2}$이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

$-1<x<1$에서
$$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$$
가 성립하고, 양변을 적분하면
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}x^{n+1} = -\ln(1-x)$$
이 성립한다. 이제 양변을 $x$로 나누면
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}x^n = -\frac{\ln(1-x)}{x}$$
이므로 양변을 $0$부터 $x$까지 적분하면
$$\begin{align}
    -\int_0^x \frac{\ln(1-t)}{t}dt &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_0^x \frac{1}{n+1}t^ndt \\
    &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^2}x^{n+1} \\
    &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}x^n
\end{align}$$
이므로
$$A_n = \frac{1}{n^2} \quad\Longrightarrow\quad A_{20} = \frac{1}{400}$$
이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이

(가) 분자, 분모를 $3$으로 나누면
$$\frac{1}{1-\frac{2}{3}x} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}x\right)^n$$
이므로 참이다.

(나) 위에서 얻은 식의 양변을 미분한 뒤 양변에 $x$를 곱하면
$$\frac{6x}{(3-2x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} n\left(\frac{2}{3}x\right)^n$$
이다. 이때 $n=0$일 때는 어차피 더해지는 식의 값이 $0$이므로 시그마의 시작점을 $n=1$부터로 바꿔도 같다.
따라서 참이다.

(다) (가)에서 얻은 식의 양변을 적분하면
$$-\frac{3}{2}\ln(3-2x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}\left(\frac{2}{3}\right)^n x^{n+1} + C$$
에서 양변에 $x=0$을 대입하면
$$C = -\frac{3}{2}\ln 3$$
이다. 따라서
$$-\frac{3}{2}\ln(3-2x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}\left(\frac{2}{3}\right)^n x^{n+1}-\frac{3}{2}\ln 3$$
이고, 시그마의 형태를 맞춰주기 위해 평행이동하면
$$-\frac{3}{2}\ln(3-2x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} x^n-\frac{3}{2}\ln 3$$
이므로 참이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이

[풀이 1]
적당한 함수를 찍어서 문제를 풀 수 있다. 두 함수 $f(x), g(x)$를
$$\begin{align}
f(x) &= e^{-2(x-1)} \\
g(x) &= e^{-3(x-1)}
\end{align}$$
이라 하면 문제의 조건을 모두 만족시킨다. 따라서
$$f(x)g(x)=e^{-5(x-1)}$$
의 $x=1$에서의 8차 도함수의 값은 $(-5)^8 = 5^8$이다.

[풀이 2]
곱함수의 미분법으로부터
$$(f(x)g(x))^{(8)} = {}_8\mathrm{C}_0 f^{(8)}(x)g^{(0)}(x) + {}_8\mathrm{C}_1 f^{(7)}(x)g^{(1)}(x) +\cdots $$
의 미분계수와
$$(a+b)^8 = {}_8\mathrm{C}_0 a^8b^0 + {}_8\mathrm{C}_1 a^8b^1 + \cdots $$
의 모든 계수의 합이 같다.

따라서 $f(x)$의 $x=1$에서의 미분계수가 $(-2)^n$이고 $g(x)$의 $x=1$에서의 미분계수가 $(-3)^n$이므로
$a=-2, b=-3$을 대입한
$$(-2-3)^8 = 5^8$$
이 구하는 $f(x)g(x)$의 $x=1$에서의 8차 도함수의 값과 같다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이

$2x+3y+5z=k$라 하면 $k$를 최대로 만들면 된다.

이때 $k$의 값을 조절하는 행위는 평면 $2x+3y+5z=k$를 평행이동 한다고 생각할 수 있고,
$k$가 최대일 때는 자연스럽게 평면 $2x+3y+5z=k$이 주어진 구면에 접할 때임을 알 수 있다.

따라서 방향벡터가 평면의 법선벡터와 같고 원점을 지나는 직선의 방정식인
$$l(t) = (2t,3t,5t)$$
와 주어진 구의 교점을 구해보면
$$38t^2 = 19\quad \Longrightarrow\quad t=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$$
이다. 그리고 이 점을 주어진 평면의 방정식도 지나야 하므로
$x=2t, y=3t, z=5t$를 평면의 방정식에 대입하면
$$k=38t=\pm19\sqrt{2}$$
이므로 $19\sqrt{2}$가 구하는 최댓값이 된다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이

그린정리를 이용하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_{\Omega} (3x^2 + 3y^2  + 1)dxdy \\
    &= \frac{\pi}{8} + 3\int_0^{\frac{\pi}{4}}\int_0^1 r^3drd\theta \\
    &= \frac{\pi}{8} + \frac{3}{16}\pi \\
    &= \frac{5}{16}\pi
\end{align}$$
이다.

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이

라플라스 전개를 적당히 이용하면
$$\begin{align}
&16 \\
&= \det \begin{pmatrix}
a & b & a & b \\
0 & a & b & a \\
0 & 3a & a+3b & 3a \\
0 & -a & -b & 0
\end{pmatrix} \\
&= a\det \begin{pmatrix}
a & b & a \\
0 & a & 0 \\
-a & -b & 0
\end{pmatrix} \\
&= a^2 \det \begin{pmatrix}
0 & a \\
-a & b
\end{pmatrix} \\
&= a^4
\end{align}$$
이므로 주어진 방정식이 성립하려면
$$a^4 = 16$$
이어야 하고, 이를 만족시키는 선지는 2번 뿐이다.

마치며

이상으로 2020 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

[편입] 2019 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

수학올인 — Wed, 1 Jan 2025 09:47:41 +0900

[편입] 2019 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에선 2019년 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 중앙대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(중앙대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제)

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2019 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

$x=0$ 근방에서
$$\begin{align}
& \sin(x^2) \approx x^2 \\
& \tan x \approx x
\end{align}$$
이므로 구하는 극한값은 $1$이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

$1+\sec x=t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_2^3 t dt \\
&=\frac{5}{2}
\end{align}$$
이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

먼저 행렬
$$\begin{align}
A = \begin{pmatrix}
3 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 3 \\
\end{pmatrix}
\end{align}$$
를 생각하자.

주어진 세 벡터가 일차종속이라면 주어진 세 벡터를 열로 갖는 행렬의 행렬식이 $0$일것이다.
그런데 주어진 세 벡터를 열로 갖는 행렬을 $B$라 하면
$$\det B = \det (A - kI)$$
가 성립하므로, 구하는 $k$는 행렬 $A$의 고유치이다.
따라서 모든 $k$의 합은 $\text{tr}(A) = 8$이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

[풀이 1]
임의의 양의 실수 $x$에 대하여
$$\frac{\ln x}{x}\leq \frac{1}{e}$$
임을 알고있을 때 사용할 수 있는 풀이이다.

주어진 식을 변형하면
$$\begin{align}
    x^{x^{-2}} &= e^{\frac{\ln x}{x^2}} \\
    &= e^{\frac{\ln x^2}{2x^2}} \\
    &\leq e^{\frac{1}{2e}}
\end{align}$$
이다.

[풀이 2]
정직하게 미분을 통해 계산하면 된다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

고유벡터의 정의로부터
$$\begin{align}
& A\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
2 \\
0 \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
a \\
c \\
\end{pmatrix} \\
& A\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
5 \\
5 \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
a+b \\
c+d \\
\end{pmatrix}
\end{align}$$
에서 계산을 통해 $b=3$임을 알 수 있다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

먼저 주어진 점을 원점을 기준으로 시계 반대 방향으로 회전시키자.
원점을 중심으로 반시계 방향으로 $45$도 회전하는 회전변환의 행렬표현은
$$T = \begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\
\end{pmatrix}
$$
이다. 따라서 회전시켜 얻은 점의 좌표는
$$T\begin{pmatrix}
5 \\
6 \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
-\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{11\sqrt{2}}{2} \\
\end{pmatrix}
$$
이다. 따라서 회전시켜 얻은 점의 좌표는 $\displaystyle \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{11\sqrt{2}}{2}\right)$이다.

이제 이를 직선 $y=-x$에 대칭시킬건데, $x, y$순서를 바꾸고 부호를 모두 바꾸면 된다.
따라서 위의 점을 직선 $y=-x$에 대칭시킨 점의 좌표는
$$\left(-\frac{11\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
이고 $b+c=-5\sqrt{2}$이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

$x=\sin t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} t\cos tdt \\
&= \frac{3\sqrt{2}-2}{24}\pi - \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}
\end{align}$$
이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

$x=0$ 근방에서
$$\sin (x^2) \approx x^2$$
이므로
$$\int_0^x \sin(t^2)dt \approx \frac{1}{3}x^3$$
이다. 즉
$$f(x) \approx \frac{x}{3}$$
이고, $f'(0)=\frac{1}{3}$이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

행렬 $X$를
$$X = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}
$$
라고 하자. 그러면
$$T(X)=XA = \begin{pmatrix}
a & -2a+4b \\
c & -2c+4d \\
\end{pmatrix}
$$
이므로 $T$의 행렬표현은
$$T = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
-2 & 4 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -2 & 4 \\
\end{pmatrix}
$$
이다. 한편 $T$의 고윳값을 중복을 포함하여 모두 더한 값은 대각합과 같으므로
구하는 값은 $\text{tr}(T) = 10$이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

직선 $y=tx$와 $x$축의 양의 방향이 이루는 각을 $\theta$라 하자. 그러면
$$\tan\theta = t$$
가 성립한다.

한편 $y=tx$에 대한 대칭이동 공식을 이용하면
$$\begin{pmatrix}
a(t) \\
b(t)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\cos2\theta & \sin2\theta \\
\sin2\theta & -\cos2\theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-5 \\
12
\end{pmatrix}$$
가 성립한다. 이제 양변을 $t$로 미분하면
$$\begin{pmatrix}
a'(t) \\
b'(t)
\end{pmatrix} = \frac{d\theta}{dt}\times\begin{pmatrix}
-2\sin2\theta & 2\cos2\theta \\
2\cos2\theta & 2\sin2\theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-5 \\
12
\end{pmatrix}$$
가 성립하므로
$$\begin{cases}
    a'(t) = \frac{d\theta}{dt}(10\sin2\theta+24\cos2\theta) \\
    b'(t) = \frac{d\theta}{dt}(-10\cos2\theta + 24\sin2\theta)
\end{cases}$$
임을 얻는다. 따라서 구하는 길이 $L$은
$$\begin{align}
    L &= \int_{-1}^1 \sqrt{(a'(t))^2 + (b'(t))^2}dt \\
    &= \int_{-1}^1 \sqrt{(10\sin2\theta+24\cos2\theta)^2 + (-10\cos2\theta + 24\sin2\theta)^2} \frac{d\theta}{dt}dt\\
    &= \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{26^2}d\theta \\
    &= 13\pi
\end{align}$$
이다. 중간에 적분구간이 바뀐 이유는 $\frac{d\theta}{dt}$와 $dt$를 약분하며 $\theta$에 대한 적분으로 바뀌었기 때문이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

구면좌표계를 이용하면 주어진 삼중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^{\sqrt{2}} \rho^3 \sin^2 \phi \cos\theta d\rho d\phi d\theta \\
&= \frac{\pi-2}{8}
\end{align}$$
이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

이 포스팅에서는

i) 회전곡면의 겉넓이 공식을 이용하는 풀이
ii) 회전시킨 곡면의 방정식 자체를 구하는 풀이

두가지 풀이를 소개한다.

[풀이 1]
곡선 $y=f(x)\quad(a\leq x\leq b)$를 $x$축을 중심으로 회전시켜 얻은 회전곡면의 겉넓이를 구할 때
$$\int_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$$
를 계산함을 이용한다.

문제에서 주어진 선분의 방정식은
$$l(t) = (t, 1, t)\quad (-1\leq t\leq 1)$$
이고, 선분 위의 임의의 점에서, 즉, 범위 내의 임의의 $t$에 대하여 직선에서 $z$축까지의 거리를 구하자.

구하는 거리를 $f(t)$라 하면 점 $(t,1 ,t)$에서 $z$축까지의 거리가 $f(t)$이므로
$$f(t) = \sqrt{t^2 + 1}$$
이다.

이제 구하는 겉넓이를 $S$라 하면 이를 $z$축을 중심으로 회전시킨 회전곡면의 겉넓이가 $S$와 같으므로
$$\begin{align}
    S &= 2\pi\int_{-1}^1 f(t)\sqrt{1+(f'(t))^2}dt \\
    &= 4\pi\int_0^1 \sqrt{2t^2 + 1}dt \\
    &= 2\sqrt{2}\pi \int_0^a\sec^3 u du \quad \left(t=\frac{1}{\sqrt{2}}\tan u, \tan a = \sqrt{2}\right) \\
    &= \pi(2\sqrt{3} + \sqrt{2}\ln(\sqrt{2} +\sqrt{3})
\end{align}$$
이다.

[풀이 2]
문제에서 주어진 선분의 방정식은
$$l(t) = (t, 1, t)\quad (-1\leq t\leq 1)$$
이다. 이제 우리가 구할 곡면은 이 선분을 $z$축으로 회전시켜 얻은 곡면이다.

즉, 얻은 곡면을 $z$축에 수직인 평면, 즉, $xy$평면과 평행한 평면으로 자른 단면은 원이다.
그리고 그 원은
$$x^2 + y^2 = t^2+1,\quad z=t$$
의 형태일 것이다. 그런데 이 둘을 연립하면 $t$를 소거시킬 수 있다. 즉, 곡면
$$S : x^2 + y^2 = z^2 + 1$$
의 일부분이 주어진 선분을 회전시켜 얻은 곡면이 된다.

또, 문제를 다시 일변수로 단순화하면 위의 곡면은 $xz$평면의 곡선
$$z=\pm\sqrt{x^2 - 1}$$
을 $z$축을 중심으로 회전시켜 얻은 곡면이다. 이제 $t=1$이면 $z=1$이므로 $x=\sqrt{2}$이다.

따라서 대칭성을 고려하면 구하는 곡면의 넓이는 $xz$평면의 곡선
$$z=\sqrt{x^2 - 1}\quad (1\leq x\leq \sqrt{2})$$
를 $z$축으로 회전시켜 얻은 회전곡면의 넓이의 $2$배이고, 계산을 통해 위와 동일한 결과를 얻을 수 있다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

주어진 행렬 $A^3$의 고윳값은
$$\lambda = 8, 1$$
이므로, 행렬 $A$의 고윳값은
$$\lambda = 2, 1$$
이다. 따라서 행렬 $A^5$의 고윳값은
$$\lambda = 32, 1$$
이고, 따라서 $\text{tr}(A) = 33$이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

행렬 $A$의 고유치를 $a, b, c$라 하면, 문제의 조건으로부터
$$\begin{align}
    a+b+c&= 2 \\
    a^2+b^2+c^2&=10 \\
    a^3 + b^3 + c^3 &= 20
\end{align}$$
을 만족시킨다. 한편 곱셈공식으로부터
$$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)$$
가 성립하므로
$$ab+bc+ca=-3$$
이다. 또,
$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$
가 성립하므로
$$abc=-2$$
이다. 이제 구하는 값을 보면 어떤 행렬의 행렬식의 값은 모든 고유치의 곱과 같으므로
$$\det A = abc = -2$$
이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

코시 슈바르츠 부등식으로부터
$$2(x^2 + y^2)\geq (x+y)^2$$
이다. 이때 문제의 조건인
$$\begin{cases}
x+y=2-2z \\
x^2 + y^2 = z
\end{cases}$$
를 대입하면
$$2z\geq 4-8z+4z^2$$
에서 식을 정리하면
$$\frac{1}{2}\leq z\leq 2$$
임을 얻는다. 따라서 구하는 값의 최대는
$$e^{x^2 + y^2 + z} = e^{z^2 + z} \leq e^6$$
이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

문제의 조건으로부터 주어진 평면의 법선벡터와 주어진 두 점을 지나는 벡터는 수직이다.
평면의 법선벡터를 $n$, 주어진 두 점을 지나는 벡터를 $v$라 하면
$$\begin{align}
& n= (1,-2,3) \\
& v = (4,-5,6-a)
\end{align}$$
에서
$$n\circ v = 0\quad \Longleftrightarrow\quad a=\frac{32}{3}$$
이다. 따라서 $3a=32$이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

주어진 내적에 대해 정규직교기저를 이룬다는 조건으로부터

i) 서로 내적했을 때 그 결과가 $0$
ii) 자기자신끼리 내적했을 때 그 결과가 $1$

임을 이용하자.

i)를 먼저 이용해보면
$$<\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix}> = a-c = 0$$
에서 $a=c$이고,
$$<\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix}> = b = 0$$
이다.

이제 ii)를 이용하면
$$\begin{align}
<\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix}> &= a^2 + b^2 - 2ac + 4c^2 \\
&= 3c^2 \\
&= 1
\end{align}$$
에서
$$a^2 = c^2 = \frac{1}{3}, b^2 = 0$$
이므로 구하는 값은 $\frac{2}{3}$이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

구의 중심이 직선
$$x=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$$
위에 있으므로 중심의 좌표를 $(t, 2t, 3t)$로 쓸 수 있다.

따라서 이 점으로부터 주어진 두 평면까지의 거리가 동일하므로
$$\frac{|6t-3|}{\sqrt{3}} = \frac{|6t+3|}{3\sqrt{3}}$$
에서
$$t=\frac{1}{4}, 1$$
이다. 이때 각각의 $t$를 위에서 구한 거리 식에 대입하면
$$\begin{cases}
t=1 &\Longrightarrow r=\sqrt{3} \\
t=\frac{1}{4}&\Longrightarrow r=\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{cases}$$
이고, 이 두 값 모두 구하는 값은 동일하게
$$\left(r-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{3}{16}$$
이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

점 $(a, b)$가 주어진 타원 위의 점이므로
$$a^2 + 4b^2 = 5$$
이다. 이제 점 $(a, b)$에서의 접선의 방정식을 구해보면
$$y=-\frac{a}{4b}(x-a)+b$$
이고, 이 직선이 두 점 $(3, 2)$, $(c, 0)$을 모두 지나므로
$$\begin{cases}
    2&=-\frac{a}{4b}(3-a)+b \\
    0&=-\frac{a}{4b}(c-a)+b
\end{cases}$$
임을 얻고, 식을 정리해서 써보면
$$\begin{cases}
    3a+8b=a^2+4b^2 \\
    ac=a^2 + 4b^2
\end{cases}$$
이므로 $a^2 + 4b^2 = 5$임을 이용하면
$$\begin{cases}
    3a+8b=5 \\
    ac=5
\end{cases}$$
이다. 따라서
$$a=\frac{5-8b}{3}$$
이고, 이를 $a^2 + 4b^2 = 5$에 대입하여 풀면
$$b = -\frac{1}{5}, 1$$
에서 $b>0$이므로 $b=1$이다. 따라서 이로부터 $a=-1, c=-5$임을 알 수 있으므로
$$a+b+c=-5$$
이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

변수별로 각각 계산하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \left(\int_0^\infty e^{-x^2}dx\right)\left(\int_0^\infty ye^{-y^2}dy\right) \\
&= \frac{\sqrt{\pi}}{4}
\end{align}$$
이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

(가) : 교대급수판정법으로부터 수렴한다.

(나) : $\ln n$을 무시할 수 있으므로 p급수 판정법으로부터 수렴한다.

(다) : 적분판정법으로부터 발산한다.

(라) : $\frac{1}{n\sqrt{n}}$과의 극한비교판정법으로부터 수렴한다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

임계점을 구하기 위해 편도함수가 $0$이 되는 지점을 계산하면
$$\begin{align}
    & f_x = 3x^2 -6y +6 = 0 \\
    & f_y = 2y - 6x + 3 = 0
\end{align}$$
이다. 이제 이 둘을 연립하면 임계점으로 두 점
$$\left(1, \frac{3}{2}\right), \left(5, \frac{27}{2}\right)$$
을 얻는다.

한편
$$\begin{cases}
    f_{xx} = 6x \\
    f_{yy} = 2 \\
    f_{xy} = -6
\end{cases}$$
이므로 전자에서 극소, 후자는 안장점이다.

이상에서 $a+b=\frac{37}{2}$이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

평면 $x+2z=0$이 원점을 포함하므로 주어진 상황을 다음 그림과 같이 나타낼 수 있다.

이때 점 $\rm{B}$의 좌표가 $(a,b,c)$이고, $\angle\rm{OBA}=\angle\rm{OBA}=\frac{\pi}{2}$이다.

$\angle\rm{OCA}=\angle\rm{OAB}=\theta$라 하고 두 평면의 법선벡터와 내적을 이용하면
$$\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}\quad\Longrightarrow\quad \sin\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$$
임을 알 수 있고, 점과 평면사이의 거리를 구해보면
$$\mathrm{\overline{OA}}=\frac{10}{3}$$
이므로 직각삼각형 $\rm{ABO}$를 생각하면 구하는 값은
$$\mathrm{\overline{OB}}=\frac{10}{3}\sin\theta = \frac{2\sqrt{5}}{3}$$
이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

$x^2 + 2xy+4y^2 = 1$을 이차형식으로 표현했을 때의 대칭행렬 $A$는
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 4
\end{pmatrix}$$
이고, 행렬 $A$의 고유치를 $a, b$라 하면 곡선 $x^2 + 2xy+4y^2 = 1$은 직교대각화외 주축정리로부터
$$ax^2 + by^2 = 1$$
로 바뀐다. 따라서 문제에서 주어진 적분은 영역
$$D' : ax^2 + by^2 \leq 1$$
에 대하여
$$\iint_{D'}(1-ax^2 - by^2)dxdy$$
와 같다.

이제 변수변환
$$\begin{cases}
    \sqrt{a}x = u\\
    \sqrt{b}y = v
\end{cases}$$
을 이용하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{\sqrt{ab}} \iint_{u^2 + v^2\leq 1}(1-u^2-v^2)dudv \\
    &= \frac{1}{\sqrt{3}}\int_0^{2\pi}\int_0^1 r(1-r^2)drd\theta \\
    &= \frac{\pi}{2\sqrt{3}}
\end{align}$$
이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

곡면적의 정의를 이용한 풀이와 곡면을 직접 구하는 풀이가 있다.

[풀이 1]
$z>0$임을 고려했을 때 주어진 곡면을 직접
$$S : z=\sqrt{x^2 + y^2}$$
로 구할 수 있다.

이제 어떤 영역에서 저 곡면의 넓이를 구해야 하는지 파악하자.
$xy$평면상에서의 적분영역을 $A$라 하면
$$0\leq r \leq 1\quad\Longrightarrow\quad 1\leq e^r \leq e$$
이므로 $xy$평면상에서 정의역 $A$는

i) 원점이 중심이고 반지름이 $1$인 원의 외부
ii) 원점이 중심이고 반지름이 $e$인 원의 내부

를 전부 만족하면서 $0\leq \theta \leq \pi$인 부분이다.

따라서 영역 $A$의 넓이는
$$\text{Area}(A) = \frac{\pi}{2}(e^2 - 1)$$
이고, (이 포스팅)을 참고하면 구하는 곡면의 넓이는
$$\sqrt{2}\text{Area}(A) = \frac{\sqrt{2}\pi}{2}(e^2 - 1)$$
이다.

[풀이 2]
곡면적을 구하는 공식을 이용하기 위해 각각을 $r, \theta$로 편미분하면
$$\begin{align}
    S_r &= (e^r\cos\theta, e^r\sin\theta, e^r) \\
    S_{\theta}&= (-e^r\sin\theta, e^r\cos\theta, 0)
\end{align}$$
이므로
$$S_r \times S_{\theta} = e^{2r}(-\cos\theta, -\sin\theta, 1)$$
이다. 따라서 구하는 곡면의 넓이 $A$는
$$\begin{align}
    A &= \int_0^\pi \int_0^1 |S_r \times S_{\theta}| drd\theta \\
    &= \int_0^\pi \int_0^1 \sqrt{2}e^{2r} drd\theta \\
    &= \frac{\sqrt{2}\pi}{2}(e^2 - 1)
\end{align}$$
이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이

주어진 벡터장은 보존적이므로 포텐셜함수를 구해보면
$$f(x,y,z)=e^x \sin y + \frac{1}{3}z^3$$
이다. 따라서 선적분의 기본정리로부터 주어진 선적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= f(x,y,z)\bigg|_{(0,0,0)}^{\left(1,\frac{\pi}{2},1\right)} \\
&= e + \frac{1}{3}
\end{align}$$
이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이

주어진 곡면 $S$에 새 곡면
$$S_1 : z=0\quad (x^2 + y^2 \leq 1)$$
을 추가하여 만든 곡면을 $S'$라 하자.

그러면 $S'$은 폐곡면이므로, 이 곡면의 내부를 $E$라 했을 때 발산정리로부터
$S'$에서의 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iiint_{E}(2x+2y+2z) dV \\
    &= 2\iiint_E zdV \\
    &= \iint_{x^2 + y^2 \leq 1}(1-x^2 - y^2)dxdy \\
    &= \pi
\end{align}$$
이다.

한편 $S_1$에 대한 면적분은 정의로부터
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= -\iint_{x^2 + y^2 \leq 1}(x^2 + y^2)dxdy \\
    &= -\frac{\pi}{2}
\end{align}$$
이다.

따라서 우리가 구하는 원래의 면적분값은 $S'$에서의 면적분값에서 $S_1$에서의 면적분값을
뺀 것이므로
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) \\
    &= \pi
\end{align}$$
이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이

1. 존재하지 않을 수도 있다. 예를 들어
$$A = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}$$
라고 하면 조건을 만족시키는 자연수 $n$은 존재하지 않는다.

2. 어떤 행렬의 대각합은 그 행렬의 모든 고윳값의 합이므로
$$\begin{align}
\text{tr}(A-2I) &= -2+(-1) + 0 \\
&= -3
\end{align}$$
이다.

3. 행렬 $A$의 고유특성다항식이
$$\lambda(\lambda-1)(\lambda-2) =\lambda^3 - 3\lambda^2 + 2\lambda = 0$$
임을 고려했을 때
$$A^3 - 3A^2 + 2A = O$$
가 되어야 한다.

4. 행렬 $A+I$의 고윳값이
$$\lambda=1, 2, 3$$
이므로, 이의 역행렬의 고윳값은
$$\lambda = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}$$
이다.

이상에서 옳은 것은 4번이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이

행렬 $A$의 고윳값 $\lambda$에 대하여 구하는 최댓값은
$$2\times |\lambda|$$
이다.

이제 행렬 $A$의 고윳값을 구해보면
$$\lambda= 3, 3, 5$$
이므로, 구하는 최댓값은 $10$이다.

2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이

쌍대기저의 정의로부터
$$\phi_n(f_m(x)) = \begin{cases}
    1&\quad(n=m) \\
    0&\quad (n\neq m)
\end{cases}$$
이다.

따라서
$$f_1(x) = a+bx+cx^2$$
라 하면
$$\begin{cases}
    \phi_1(f_1(x))=1 \\
    \phi_2(f_1(x))=0 \\
    \phi_3(f_1(x))=0
\end{cases}$$
을 만족시켜야 하고, 계산을 통해
$$\begin{cases}
    a+\frac{b}{2}+\frac{c}{3}=1 \\
    b+2c=0\\
    a=0
\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases}
    a=0\\
    b=3\\
    c=-\frac{3}{2}
\end{cases}$$
이다.

마찬가지로 이 과정을 $f_2(x), f_3(x)$에도 그대로 적용하면
$$\begin{cases}
    \phi_1(f_2(x))=0 \\
    \phi_2(f_2(x))=1 \\
    \phi_3(f_2(x))=0
\end{cases}$$
에서
$$\begin{cases}
    a=0\\
    b=-\frac{1}{2}\\
    c=\frac{3}{4}
\end{cases}$$
이고
$$\begin{cases}
    \phi_1(f_3(x))=0 \\
    \phi_2(f_3(x))=0 \\
    \phi_3(f_3(x))=1
\end{cases}$$
에서
$$\begin{cases}
    a=1 \\
    b=-3 \\
    c=\frac{3}{2}
\end{cases}$$
이다.

이상에서
$$\begin{align}
    f_1(x) &= 3x-\frac{3}{2}x^2 \\
    f_2(x) &= -\frac{1}{2}x + \frac{3}{4}x^2 \\
    f_3(x) &= 1-3x+\frac{3}{2}x^2
\end{align}$$
이므로
$$f_1(1)+f_2(1) + f_3(1) = \frac{5}{4}$$
이다.

마치며

이상으로 2019 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~