[수학] 역함수 적분에 대한 항등식 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 역함수에 대한 정적분값을 쉽게 구할 수 있도록 도와주는 항등식에 대해서 다뤄보겠습니다. 보통 적분 단원의 문제를 풀다 보면 역함수의 정적분값을 구하는 경우가 많이 생기는데요. 이 항등식을 적절히 이용한다면 그런 문제에서 아주 많은 도움이 될 수 있을 것입니다. 정리 닫힌구간 $[a, b]$에서 증가 또는 감소하는 연속함수 $f(x)$에 대하여 다음이 성립한다. $$\int_a^b f(x)dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)dx = bf(b)-af(a)$$ 증명 다음 그림을 생각해 보자. 등식의 좌변은 두 적분의 합(부호 있는 넓이)가 되며, 등식의 우변은 큰 정사각형의 넓이에서 작은 정사각형의 넓이를 ..
