2024학년도 수능 수학 14번 풀이 (241114 풀이)

2024학년도 수능 수학 14번 풀이 (241114 풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 

 

 

 

문제

2024학년도 수능 수학 14번

 

 

 

풀이

$x\le 2$에서 정의된 삼차함수는 $x=-1$에서 극댓값 $5$, $x=1$에서 극솟값 $-3$을 갖는다.

또, $f(2)=5$이다. 추가로, ${\displaystyle \underset{x\to 2+}{lim}f(x)=9}$임을 이용하여 함수 $f(x)$의 그래프를 그릴 수 있다.

 

이제 $b=1$, $b=2$, $b>2$로 경우를 나눠보면 $b=1,2$인 경우는 조건을 만족하지 않는다.

 

$b>2$인 경우 $x>2$에서의 이차함수의 극값을 위 아래로 조절하며 개형을 살펴보면

조건을 만족하는 경우는 아래 그림처럼 삼차함수와 이차함수의 극소가 일치하는 경우이다.

이때 $x>2$에서의 이차함수는 $x=\frac{2+b}{2}$에서 최솟값 $-3$을 가져야 하므로 대입하면

$$a(\frac{b}{2}-1)(1-\frac{b}{2})=-12⟹a(b-2{)}^2=48$$

이다. 한편 $48$의 소인수는

$$1,2,3,2^2,6,8,12,4^2,24,48$$

이므로 $a,b$가 자연수임을 생각했을 때

$$(b-2{)}^2=1,2^2,4^2$$

이어야 한다. 이를 풀면 $b=1,3,4,6$이고 이에 대응되는 $a$를 찾으면 가능한 순서쌍은

$$(48,1),(48,3),(12,4),(3,6)$$

이다. 따라서 $a+b$의 최대는 $51$이다.

 

 

 

차분히 그래프를 이용하여 풀이할 수 있는 문제였습니다.

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