[편입] 2022 경희대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2022년 경희대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 경희대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(경희대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)
2022년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이
임의의 $a>0$에 대하여
$$\lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{n}} = a^0 = 1$$
이고,
$$\lim_{x\to 0}x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$$
이므로 구하는 값은 $1$이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이
전미분을 활용하자. $y=\sqrt{x}$에 대하여
$$dy=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$$
이고, $x=4, dx=0.04$를 대입하면
$$dy=0.01$$
이므로, $\sqrt{4.04}$의 근삿값은 $2+0.01=2.01$이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이
구하는 부피 $V$는
$$\begin{align}
V &= \pi \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left(\left(\cos x + \frac{1}{2}\right)^2 - 1^2\right)dx \\
&= \pi\left(\frac{15\sqrt{3} - 2\pi}{24}\right)
\end{align}$$
이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이
두 포물선의 수직거리는
$$(3x^2 + 1) - (-4x^2 + 2x) = 7x^2 - 2x + 1$$
이므로 함수
$$f(x)=7x^2 - 2x + 1$$의 최솟값을 구하면 된다.
미분하면
$$f'(x)=14x-2$$
이므로 함수 $f(x)$는 $x=\frac{1}{7}$에서 최솟값을 가지고
$$f\left(\frac{1}{7}\right) = \frac{6}{7} = \lambda$$
이므로 $14\lambda = 12$이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이
완전제곱식으로 만든 뒤 삼각치환을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{16-4\left(x+\frac{3}{2}\right)}}dx \\
&= \int_0^{\frac{\pi}{6}} \left(\sin t - \frac{3}{4}\right) dt \quad \left(x + \frac{3}{2} = 2\sin t\right) \\
&= -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{8} + 1
\end{align}$$
이므로 구하는 값은 $-3$이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이
$x=0$에서 주어진 함수가 정의되지 않으므로, $\alpha = 0$이고
$$\beta = \lim_{x\to\infty} f(x) = 3$$
이므로 구하는 값은 $3$이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이
주어진 급수를 나열했을 때
$$\frac{1}{4^4} < \frac{1}{1000} < \frac{1}{3^4}$$
이므로 $n=3$이상일 때이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이
ㄱ. 수렴한다.
ㄴ.
$$\frac{1+e^{-x}}{x} > \frac{1}{x}$$
이므로 발산한다.
ㄷ. 수렴한다.
ㄹ. $1$이다.
ㅁ. $f(0)=-2$이므로
$$(f^{-1})'(-2) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{5}$$
이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이
첫 번째 급수와 두 번째 급수의 수렴 반지름이 $1$임은 당연하다.
세 번째 급수의 수렴 반지름은 $5$이다. (지수부분을 생각하자.)
네 번째 급수의 수렴 반지름은 비율판정법으로부터 $2$이다.
따라서 이들의 합은 $9$이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이
원의 곡률은 일정하고, 그 값은 반지름의 역수이므로 $\alpha = \frac{1}{2}$이다.
한편 $\beta$를 구하기 위해 주어진 포물선을 매개화하면
$$r(t) = (t,2t^2 + 1, 0)$$
이고, 점 $(0, 1)$은 $t=0$일 때이다. 곡률을 구하기 위해 미분하면
$$\begin{align}
& r'(t)=(1, 4t, 0) \\
& r''(t) = (0, 4, 0)
\end{align}$$
에서
$$\kappa=\frac{|r'(0) \times r''(0)|}{|r'(0)|^3} = 4$$
이므로 $\beta = \frac{1}{\kappa} = \frac{1}{4}$이다.
따라서 구하는 값은 $8$이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이
경계 내부와 경계로 나누어 계산하자.
경계 내부에서)
임계점을 구하기 위해 미분하면
$$\begin{align}
& f_x = 2 - y= 0 \\
& f_y = 3 - x = 0
\end{align}$$
에서 임계점의 좌표는 $(3, 2)$인데 이는 영역 밖에 있으므로 고려하지 않아도 된다.
경계에서)
아래 그림과 같이 주어진 경계를 세 부분으로 나눈 뒤 계산하자.
1번에서)
$$f(x,0) = 2x \quad (0\leq x\leq 6)$$
이므로 최소는 $0$, 최대는 $12$이다.
2번에서)
$$f(0, y) = 3y\quad (0\leq y\leq 3)$$
이므로 최소는 $0$, 최대는 $9$이다.
3번에서)
$y=3-\frac{x}{2}$임을 이용하면
$$f(x, y) = \frac{x^2}{2}-\frac{5}{2}x + 9\quad (0\leq x\leq 6)$$
이므로 최소는 $\frac{47}{8}$, 최대는 $12$이다.
위의 결과를 종합하면 최소는 $0$, 최대는 $12$이므로 둘의 합은 $12$이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이
순서대로 값들을 구해보자.
사이클로이드 곡선의 한 아치의 넓이는 $3r^2 \pi$이다.
또, 앞의 계수 ($r$)에 관계 없이 $\theta=\frac{\pi}{2}$에서 접선의 기울기는 $1$이다.
한편 그림을 그려보면 다음과 같다.
수직접선(빨간색)과 수평접선(파란색)의 개수는 각각 $1$이다.
종합하면
$$\begin{align}
& \alpha = 3r^2 \pi \\
& \beta = 1 \\
& \gamma = 1 \\
& \delta = 1
\end{align}$$
이므로 구하는 값은 $6r^2 \pi$이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이
라그랑주 승수법을 이용하면 제약조건의 경도벡터와 목표함수의 경도벡터가 평행하므로
$$\det \begin{pmatrix}
2x & 2y \\
2e^y & 2xe^y
\end{pmatrix} = 0$$
이고 이를 정리하면 $y=x^2$이다. 이를 제약조건에 다시 대입하면
$$y^2 + y -1 = 0$$
에서 $y>0$임을 생각했을 때 이차방정식을 풀면
$$y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$
이다. 이 값을 $k$라고 하면 두 점 $(-\sqrt{k}, k), (\sqrt{k}, k)$에서 함숫값을 조사하면 된다.
$(-\sqrt{k}, k)$에서)
$$f(-\sqrt{k}, k) = -2\sqrt{k}e^k$$
이다.
$(\sqrt{k}, k)$에서)
$$f(\sqrt{k}, k) = 2\sqrt{k}e^k$$
이다.
이를 전부 종합하면
$$\begin{align}
&\alpha = 2\sqrt{k} \\
&\beta = k \\
&\gamma = -2\sqrt{k} \\
&\delta = k
\end{align}$$
이므로
$$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 2k =\sqrt{5} - 1$$
이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이
주어진 변수변환으로부터 $4dxdy = dudv$이다.
한편 $xy$평면에서의 적분영역은 세 점
$$(0, 0), (3, 0), (3, 6)$$
이 이루는 삼각형의 내부이고, 이는 $uv$평면에서의 세 점
$$(0, 0), (12, 0), (6, 6)$$
이 이루는 삼각형의 내부로 변환된다.
그러면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^6 \int_v^{12-v} e^{uv}dudv
\end{align}$$
이므로, $\alpha + \beta + \gamma = 19-v$이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이
주어진 미분방정식은 베르누이 미분방정식이다. $u=y^{-1}$로 치환하면
$$u'-2xu=-3x,\quad u(0)=1$$
이라는 일계 선형 미분방정식으로 변환되며, 공식으로부터
$$\begin{align}
u &= e^{x^2}\left(\int -3xe^{-x^2}dx + C\right) \\
&= e^{x^2}\left(\frac{3}{2}e^{-x^2} + C\right) \\
&= \frac{3}{2}-\frac{1}{2}e^{x^2}
\end{align}$$
이다. 이를 다시 $y$에 대해 풀면
$$y=\frac{1}{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}e^{x^2}}$$
이므로 $y(\sqrt{\ln 2}) = 2$이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이
주어진 미분방정식은 다음과 같이 변수분리가 가능하다.
$$\cos y dy =x dx$$
양변을 적분하면
$$\sin y = \frac{1}{2}x^2 + C$$
에서 $y(0)=0$이므로 $C=0$이다. 따라서
$$\sin(y(\sqrt{2}))=1$$
이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이
곱미분을 떠올리면 $(yy')'=yy''+(y')^2$이 성립하므로 주어진 식의 양변을 적분하면
$$yy'=C=1$$
이 된다. 다시 한 번 양변을 적분하면
$$\frac{1}{2}y^2 = x + C = x + \frac{1}{2}$$
에서 $y(0)>0$임을 고려했을 때
$$y=\sqrt{2x+1}$$
이고, $y(1)=\sqrt{3}$이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이
주어진 미분방정식은 일계 선형 미분방정식이므로 공식으로부터
$$\begin{align}
y &= (x^2 + 1)\left(\int \frac{1}{x^2 + 1}dx + C\right)\\
&= (x^2 + 1)(\tan^{-1}x + C) \\
&= (x^2 + 1)(\tan^{-1}x + 1)
\end{align}$$
이므로 $y(1)=2+\frac{\pi}{2}$이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이
특수해를 구하기 위해 역연산자와 소멸연산자를 이용하자.
선형성으로부터
$$\begin{align}
y_p &= \frac{1}{D^3 - 4D}\left\{2x + 4\sin x+e^{-x}\right\} \\
&= \frac{1}{3} e^{-x} + \frac{1}{D^3 - 4D}\left\{2x + 4\sin x\right\} \\
&= \frac{1}{3}e^{-x} - \frac{x^2}{4} + \frac{1}{D^3 - 4D}\left\{4\sin x\right\} \\
&= \frac{1}{3}e^{-x} - \frac{x^2}{4} - \frac{4}{5D}\left\{\sin x\right\} \\
&= \frac{1}{3}e^{-x} - \frac{x^2}{4} + \frac{4D}{5}\left\{\sin x\right\} \\
&= \frac{1}{3}e^{-x} - \frac{x^2}{4} + \frac{4}{5}\cos x
\end{align}$$
이므로, $y(0) = \frac{1}{3} + \frac{4}{5} = \frac{17}{15}$이다. 즉, $a+b=32$이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이
주어진 코시-오일러 미분방정식을 상수계수로 변환하면
$$y''-6y'+12y=0, y(0)=1, y'(0)=5$$
가 된다. 이때 보조방정식의 해를 구해보면 $r=3\pm \sqrt{3}i$이다.
한편 문제에서 제시된 미분방정식의 해를 $x=e^t$를 이용하여 변환하면
$$y=e^{pt}(a \cos (ct) + b\sin (ct))$$
이다. 즉, $p=3, c=\sqrt{3}$이다. 한편 초기조건 $y(0)=1, y'(0)=5$를 이용하여 $a, b$를 찾으면
$$y(0)=1 \quad \Longrightarrow\quad a=1$$
이고
$$y'(0)=5\quad \Longrightarrow\quad b=\frac{2}{\sqrt{3}}$$
이다. 따라서 $pabc = 6$이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이
직접 변환해보면
$$F(s) = \frac{5}{s+2} - \frac{12}{s^2 + 16}$$
이므로 $a+b+c+d=31$이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이
라플라스변환의 성질을 이용하면
$$f(0) = \lim_{s\to\infty} sF(s) = 0$$
이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이
ㄹ. 행동치인 행렬의 행공간이 같은 것이지 열공간이 같지는 않다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이
주어진 행렬의 기약행사다리꼴은
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & -2 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
이므로 계수는 $2$이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이
집합 $s$에 속하는 벡터를 순서대로 $v_1, v_2, v_3$이라고 하고 주어진 벡터를 $v$라 하면
$$av_1 + bv_2 + cv_3=v$$
를 만족시키는 세 실수 $a, b, c$에 대하여 $a+b+c$가 구하는 값이다.
직접 연립방정식을 풀면 $2$임을 알 수 있다.
추가로, 세 번째 성분에 주목했을 때 $9 = 1 + 0 + 2\times 4$임을 이용하여
직관적으로 $a=1, b=-1, c=2$임을 찾을 수도 있다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이
크래머 공식으로부터 구하는 성분은 $2$행 $1$열의 여인수를 행렬식으로 나눈 값이므로
$$\frac{-1}{det A} \det \begin{pmatrix}
6 & 1 & 6 & 4 \\
4 & 4 & 1 & 7 \\
3 & 5 & 0 & 7 \\
0 & 4 & 1 & 3
\end{pmatrix}$$
이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이
문제의 조건으로부터 벡터 $(1 1 1)^T$는 고윳값 $8$에 대응되는 고유벡터이다.
한편 행렬 $A$의 모든 성분의 합은 벡터
$$A\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}$$
의 모든 성분의 합과 같은데, 곱해지는 벡터가 고유벡터이므로
$$A\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} = 8\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}$$
이므로, 모든 성분의 합은 $24$이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이
직교행렬이므로 각 행(또는 열)벡터의 크기는 $1$이다. $2$열에 이를 적용하면
$$a^2 + \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$$
에서 $a=0$이다.
$2$행에 이를 적용하면
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + b^2 = 1$$
에서 $b^2 = \frac{1}{6}$이다.
$3$열에 이를 적용하면
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + c^2 = 1$$
에서 $c^2 = \frac{1}{3}$이다.
한편 임의의 두 행(또는 두 열)의 내적은 $0$이어야 함을 이용하면
$1, 2$열의 내적이 $0$임으로부터
$$-\frac{2}{\sqrt{6}}b + \frac{1}{3} = 0$$
에서 $b=\frac{1}{\sqrt{6}}$이고, $2, 3$열의 내적이 $0$임으로부터
$$-\frac{1}{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}c = 0$$
에서 $c=\sqrt{1}{\sqrt{3}}$이다. 이를 종합하면
$$a+b+c=\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$$
이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이
구하는 직선을 $y=a+bx$라 두면 공식으로부터
$$\begin{pmatrix}
4 & 12 \\
12 & 46
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 \\
20
\end{pmatrix}$$
이고 이를 풀면
$$a=-\frac{1}{4}, b=\frac{1}{2}$$
이므로 정답은 2번이다.
2022 경희대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이
ㄱ. $|r|$의 $n$승이어야 한다.
ㄴ. 꼭 그럴 필요는 없다.
ㄷ. 고윳값이 아니라 고유벡터여야 한다.
ㄹ. 정의로부터 맞다.
ㅁ. 연립방정식의 관점으로 바라본다면 무수히 많은 해를 가질 수도 있다.
마치며
이상으로 2022 경희대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
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