[편입] 2023 경희대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2023 경희대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2023년 경희대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 경희대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(경희대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)

 

2023년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

$\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}=\cosh 2x$임을 이용하면 구하는 곡면의 넓이 $S$는
$$\begin{array}{rl}S& =2\pi {\int }_0^{\frac{1}{2}}x\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx\\ & =2\pi {\int }_0^{\frac{1}{2}}x\cosh 2xdx\\ & =\frac{(e-1)}{2e}\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

먼저 부분분수 분해로부터
$$\frac{1}{x(x^2+3)}=\frac{x}{x^2(x^2+3)}=\frac{1}{3x}+\frac{x}{3(x^2+3)}$$
이 성립함을 이용하자. 식을 변형하여
$$36(x^2-x+6)=36((x^2+3)-x+3)$$
으로 쓰면 
$$\frac{36(x^2-x+6)}{x(x^2+3)}=36(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2+3}-\frac{x}{x^2+3})$$
이 성립한다. 한편
$$\begin{array}{rl}& {\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{2}{x}dx=\ln 3\\ & {\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{x^2+3}dx=\frac{\sqrt{3}}{36}\pi \\ & {\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{x}{x^2+3}dx=\frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}\end{array}$$
가 성립하므로 전부 대입하면
$${\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{36(x^2-x+6)}{x(x^2+3)}dx=-\sqrt{3}\pi +18\ln 6$$
이므로, $a=-1,b=3,c=18,d=6$이고, 따라서 합은 $26$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

(5) 임의의 양수 $p$에 대하여 주어진 이상적분은 수렴하지 않는다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

직접 두 극곡선의 그래프를 그려보면 다음과 같다.

따라서 교점의 개수는 $3$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

우리는 이미 멱급수의 변형으로부터
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^2{x}^n=\frac{x^2+x}{(1-x{)}^3}$$
임을 알고있다. 따라서 $a=1,b=0,c=2$이고 합은 $3$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

구하는 평면의 방정식이 직선 $L_1$을 품으므로, 구하는 평면의 방정식은
직선 $L_1$위의 한 점 $(0,1,2)$를 지나야 한다.

또, 구하는 평면의 방정식의 법선벡터 $v$는 두 직선의 방향벡터의 외적인
$$v=(-1,-1,0)$$
이므로, 평면의 방정식은
$$p:x+y=1$$
이고, $a=1,b=1,c=0$이다. 따라서 합은 $2$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

$t=\frac{1}{2}$에서의 곡률을 구하기 위해 미분하면
$$\begin{array}{rl}& r^{\prime }(t)=(2,2-4t,0)\\ & r^{″}(t)=(0,-4,0)\end{array}$$
이 성립하므로 구하는 곡률 $\kappa$는
$$\kappa =\frac{|r^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)\times r^{″}\left(\frac{1}{2}\right)|}{{\left|r^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)\right|}^3}=1$$
이므로, 접촉원의 반지름은 $1$이다.

한편 주어진 매개곡선의 매개화를 풀자. 
$$x=-1+2t⟹t=\frac{x+1}{2}$$
이므로
$$y=2t-2t^2=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}$$
이 $r(t)$가 나타내는 포물선이다.

이때, $t=\frac{1}{2}$은 $(x,y)=(0,\frac{1}{2})$을 나타내고 우리가 구한 포물선은
$x=0$에 선대칭임과 동시에 위로 볼록한 형태이고, 꼭짓점의 $y$좌표는 $\frac{1}{2}$이다. 

따라서 우리가 구하는 접촉원은 중심이 $(0,-\frac{1}{2})$이고 반지름이 $1$인 원이므로
$$C:x^2+{(y+\frac{1}{2})}^2=1$$
이고, $a=0,b=-\frac{1}{2},c=1$이므로, 합은 $\frac{1}{2}$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

전미분을 이용하자. 계산의 편의를 위해 양변을 제곱하면
$$z^2=y+{\cos }^{2}x$$
이고, $z=f(0,0)=1$이다. 위 식의 양변을 전미분하면
$$2zdz=dy-2\sin x\cos xdx$$
에서 식을 $dz$에 대해 정리하면
$$dz=\frac{dy-2\sin x\cos xdx}{2z}$$
이다. 이제 위 식에 
$$\begin{array}{rl}& x=0\\ & y=0\\ & dx=0.2\\ & dy=0.1\\ & z=1\end{array}$$
을 전부 대입하면 $dz=0.05$이다. 따라서 근삿값은 $z+dz=1.05$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

주어진 값으로부터 $x,y,z$의 값은 $(x,y,t)=(2,4,-1)$이다.
연쇄법칙으로부터
$$\begin{array}{rl}{z}_u& =z_x\times x_u+z_t\times t_u\\ & =2uv{e}^{ty}+xy{w}^2{e}^{ty}\\ & =4e^{-4}\end{array}$$
이므로 $a-b=8$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

임계점을 찾기 위해 편도함수를 구해보면
$$\begin{array}{rl}& f_x=6xy-12x\\ & f_y=3y^2-12y+3x^2\end{array}$$
에서 $f_x=f_y=0$을 만족시키는 점은 $(0,0),(0,4),(2,2),(-2,2)$이다.

이제 극대, 극소, 안장점 여부를 판정하기 위해 이계편도함수를 구해보면
$$\begin{array}{rl}& f_{xx}=6y-12\\ & f_{xy}=6x\\ & f_{yy}=6y-12\end{array}$$
에서 주어진 점들을 판정해보면 다음과 같다.

따라서 선택지의 값들을 비교했을 때 정답은 $2$번이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

문제의 제약조건 $x+y+z=0$을 이용하면
$$f(x,y,z)=2x-4z$$
이다. 한편 두 번째 제약조건을 매개화하면
$$x=\cos t,y=\frac{\sin t}{\sqrt{2}}$$
이므로, 이를 $f(x,y,z)$에 대입하면
$$2\cos t-2\sqrt{2}\sin t=\sqrt{12}\sin (t+\alpha )$$
이다. 이때 $-1\le \sin x\le 1$임을 이용하면
$a=\sqrt{12},b=-\sqrt{12}$이므로 $ab=-12$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^1{\int }_0^{y^2}\frac{1}{y^3+1}dxdy\\ & ={\int }_0^1\frac{y^2}{y^3+1}dy\\ & =\frac{1}{3}\ln 2\end{array}$$
이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

사면체 $E$의 네 꼭짓점을 구해보면 순서대로
$$(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,4)$$
이다. 따라서 주어진 사면체의 부피 $V$는
$$V=\frac{1}{6}\times 1\times 2\times 4=\frac{4}{3}$$
이다.

한편 주어진 사면체 $E$의 무게중심의 $x$좌표 $\overline{x}$는
$$\overline{x}=\frac{0+0+0+1}{4}=\frac{1}{4}$$
이다. 따라서 주어진 삼중적분은
$${\iiint }_{E}xdV=V\times \overline{x}=\frac{1}{3}$$
이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

구면좌표계를 이용하면 주어진 삼중적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{\pi }{\int }_0^{\frac{\pi }{6}}{\int }_0^1{\rho }^3\sin \varphi \cos \varphi d\rho d\varphi d\theta \\ & =\pi \times \frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{4}\\ & =\frac{\pi }{32}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

$2x+y=u,3x-y=v$로 변수변환하면 $0\le u\le 2,1\le v\le 4$이다.
한편 $5dxdy=dudv$이므로 주어진 이중적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{1}{5}{\int }_1^4{\int }_0^2\frac{u}{v^2}dudv\\ & =\frac{2}{5}{\int }_1^4\frac{1}{v^2}dv\\ & =\frac{3}{10}\end{array}$$
이므로 $a+b=13$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

주어진 미분방정식의 양변을 $y{y}^{\prime }$로 나누면
$$\frac{y^{″}}{y^{\prime }}+(1+\frac{1}{y})y^{\prime }=0$$
이다. 양변을 적분하면 곱미분으로부터
$$\ln y^{\prime }+y+\ln y=C=\ln 2e$$
이고, 로그의 성질을 이용하면
$$y{e}^y{y}^{\prime }=2e$$
이다. 이제 이식의 양변을 다시 한 번 적분하면
$$(y-1)e^y=2ex+C=2ex$$
이다. 이제 $x=\frac{e}{2}$를 대입하면
$$(y-1)e^y=e^2$$
이고 이를 만족시키는 $y$의 값은 $2$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

주어진 미분방정식의 양변을 $x$로 나누면
$$(\frac{y}{x}+\sqrt{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2})dx-dy=0$$
이다. 이제 $y=ux$로 치환하면 $dy=udx+xdu$이므로 대입하면
$$(u+\sqrt{1+u^2})dx-(xdu+udx)=0$$
에서 식을 정리하면
$$\sqrt{1+u^2}dx=xdu$$
이다. 이를 변수분리하면
$$\frac{1}{x}dx=\frac{1}{\sqrt{u^2+1}}du$$
이고 양변을 적분하면
$$\ln x=\ln (u+\sqrt{u^2+1})$$
이다. ($y(1)=0⟹u(1)=0$임을 이용하여 적분상수 소거)

따라서 로그의 성질로부터
$$x=u+\sqrt{u^2+1}$$
이고, $u=\frac{y}{x}$를 다시 대입하여 식을 $x,y$에 대해 풀면
$$x^2=y+\sqrt{x^2+y^2}$$
이다. $x=2$를 대입하면
$$4=y+\sqrt{4+y^2}$$
에서 이를 만족시키는 $y$의 값은 $\frac{3}{2}$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

주어진 미분방정식은
$$\frac{2}{x}dx+y\cot (y^2)dy$$
와 같이 변수분리가 가능하다. 양변을 적분하면
$$2\ln x+\frac{1}{2}\ln \sin (y^2)=C=0$$
에서 로그의 성질을 이용하면
$$\ln x^4\sin (y^2)=0$$
이므로 
$$x^4\sin (y^2)=1$$
이다. 따라서 
$$\sin (y^2(2))=\frac{1}{16}$$
이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

주어진 미분방정식의 양변을 $x^2+1$로 나누면
$$y^{\prime }+\frac{4x}{x^2+1}y=\frac{x}{x^2+1}$$
이라는 일계선형 미분방정식이 된다. 따라서 공식으로부터
$$\begin{array}{rl}y& =\frac{1}{(x^2+1{)}^2}(\int x(x^2+1)dx+C)\\ & =\frac{1}{(x^2+1{)}^2}(\frac{1}{4}(x^2+1{)}^2+C)\\ & =\frac{1}{4}(1+\frac{75}{(x^2+1{)}^2})\end{array}$$
이다.

이제 $x=4$를 대입하면
$$y(4)=\frac{91}{289}$$
이므로, $b-3a=16$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

역연산자와 소멸연산자를 이용하여 특수해를 먼저 구해보면
$$\begin{array}{rl}{y}_p& =\frac{1}{D^2-2D-3}\{2e^x-10\sin x\}\\ & =-\frac{1}{2}{e}^x+\frac{5}{D+2}\{\sin x\}\\ & =-\frac{1}{2}{e}^x-(D-2)\{\sin x\}\\ & =-\frac{1}{2}{e}^x+2\sin x-\cos x\end{array}$$
이다.

이를 바탕으로 제차해에 대한 미분방정식
$$y^{″}-2y^{\prime }-3y=0,y_c(0)=\frac{7}{2},y_c^{\prime }(0)=\frac{5}{2}$$
을 얻을 수 있고 라플라스변환으로 해결하면
$$\begin{array}{rl}Y& =\frac{7s-9}{2(s-3)(s+1)}\\ & =\frac{1}{2}(\frac{3}{s-3}+\frac{4}{s+1})\end{array}$$
이므로 역변환하면
$$y_c=\frac{3}{2}{e}^{3x}+2e^{-x}$$
이다. 따라서 주어진 미분방정식의 해는
$$\begin{array}{rl}y& =y_c+y_p\\ & =\frac{3}{2}{e}^{3x}+2e^{-x}-\frac{1}{2}{e}^x+2\sin x-\cos x\end{array}$$
이므로
$$y(\pi )=\frac{1}{2}{e}^{-\pi }(3e^{4\pi }+4-e^{2\pi })+1$$
이고, $a=3,b=4,c=-1,d=1$이므로 $abcd=-12$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

로그의 성질을 이용하여 주어진 미분방정식의 해를 다시 쓰면
$$y=x^2(a\sin (3\ln x)+b\cos (3\ln x))$$
이다. 한편
$$\begin{array}{rl}& y(1)=b=-1\\ & y^{\prime }(1)=2b+3a=1\end{array}$$
에서 $a=1,b=-1$이다. 

이제 주어진 코시-오일러 미분방정식의 보조방정식을 구해보면
$$r^2+(c-1)r+d=0$$
인데, 주어진 해를 관찰하면 해는 $r=2\pm 3i$여야 한다.

따라서 근과 계수의 관계를 이용하면
$$\begin{array}{rl}& 1-c=4\\ & d=13\end{array}$$
이므로 $c=-3,d=14$이다. 따라서 구하는 합은 $10$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

라플라스변환의 성질로부터
$$f(0)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}sF(s)=3$$
이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

함수 $t\cos 2t$의 라플라스변환이
$$F(s)=\frac{s^2-4}{(s^2+4{)}^2}$$
이므로, 함수 $e^{-t}t\cos 2t$의 라플라스변환은
$$F(s+1)=\frac{(s+1{)}^2-4}{((s+1{)}^2+4{)}^2}$$
이다. 따라서 $a=-1,b=2,c=-4,d=4,e=2$이므로 합은 $3$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

ㄴ. 직교행렬의 행렬식의 절댓값이 $1$이다. 따라서 꼭 $1$일 필요는 없다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

순서대로
$$\begin{array}{rl}& detP=5detA\\ & detQ=-detA\\ & detR=2detA\end{array}$$
이므로, 구하는 값은 $7\times 6=42$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이

고윳값 $\lambda =-3$의 고유공간에 속한다는 말은 고유치 $\lambda =-3$에 대응하는 고유벡터라는 말이다.

따라서 직접 곱하면 고유벡터의 정의로부터
$$A\left(\begin{array}{c}-a\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2a+2\\ \text{?}\\ \text{?}\end{array}\right)$$
에서 $3a=2a+2$이므로 $a=2$이다. 두 번째 벡터도 동일하게 계산해보면
$$A\left(\begin{array}{c}b\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2b-3\\ \text{?}\\ \text{?}\end{array}\right)$$
에서 $-3b=-2b-3$이므로 $b=3$이다.

따라서 둘의 합은 $5$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이

기본행연산을 세 번 적용하여 상삼각행렬을 만들어보면
$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 4& -1& 3\\ -2& 5& 5\end{array}\right)\\ & \to \left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& -3& -3\\ -2& 5& 5\end{array}\right)\\ & \to \left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& -3& -3\\ 0& 6& 8\end{array}\right)\\ & \to \left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& -3& -3\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\end{array}$$
이다. 이때 첫 번째 기본행연산은 $1$행의 $-2$배를 $2$행에 더하는 것이므로
$$E_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
이다. 두 번째 기본행연산은 $1$행의 $1$배를 $3$행에 더하는 것이므로
$$E_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$$
이다. 세 번째 기본행연산은 $2$행의 $2$배를 $3$행에 더하는 것이므로
$$E_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right)$$
이고, 이를 통해 만들어진 상삼각행렬은 위의 결과에서 확인가능하다.

이를 바탕으로 선택지와 비교하면 옳지 않은것은 4번이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이

주어진 네 식을 전부 더하면
$$(k+1)(x_1+x_2+x_3+x_4)=4$$
에서 $k=-1$이면 해가 존재하지 않는다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이

주어진 방정식을 다시 쓰면
$$\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 2\\ 1& 1\end{array}\right)x=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 11\end{array}\right)$$
에서 최소제곱해 공식을 이용하면
$$\left(\begin{array}{cc}17& 1\\ 1& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}19\\ 11\end{array}\right)$$
이다.


이제 크래머 공식으로 $a$를 구하면
$$a=\frac{det\left(\begin{array}{cc}19& 1\\ 11& 5\end{array}\right)}{det\left(\begin{array}{cc}17& 1\\ 1& 5\end{array}\right)}=1$$
이고, $1$행에 대해 주어진 연립방정식을 행렬곱하면
$$17a+b=19$$
에서 $b=2$이다. 따라서 $b-a=1$이다.

 

 

 

2023 경희대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이

주어진 행렬 $A$고윳값을 구하면
$${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=5$$
이고 이에 대응되는 고유벡터 $v_1,v_2$는 순서대로
$$v_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$$
이다. 이때,
$$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$$
이 성립하므로
$$\begin{array}{rl}A\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)& =A(2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right))\\ & =2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+5^{100}\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}2+3\times 5^{100}\\ 2-5^{100}\end{array}\right)\end{array}$$
이다. 따라서 $a=2,b=3,c=5$이고 $abc=30$이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2023 경희대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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