[편입] 2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2023년 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 중앙대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(중앙대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제)

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 빠른 정답

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2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 1번 풀이

주어진 조건으로부터
$$T\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=T(\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}-5\\ 3\\ -1\end{array}\right)$$
이고, 
$$T\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=T(\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}9\\ -8\\ 0\end{array}\right)$$
이다. 따라서 종합하면
$$T\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -5& 9\\ 2& 3& -8\\ 2& -1& 0\end{array}\right)$$
에서 곱해진 단위행렬은 생략할 수 있으므로
$$T=\left(\begin{array}{ccc}1& -5& 9\\ 2& 3& -8\\ 2& -1& 0\end{array}\right)$$
이다. 한편 $T$의 핵은 실수 $t$에 대하여 $(t,2t,t)$이므로 핵과 점 $(1,-2,3)$의 
최단거리는 $\sqrt{14}$이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 2번 풀이

구하는 넓이는 성망형 곡선의 $\frac{1}{4}$이므로, (이 포스팅)을 참고하면
구하는 넓이는 $\frac{3}{32}\pi$이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 3번 풀이

[풀이 1]
직접 고유치를 구하면
$$\lambda =\frac{3}{5},-\frac{1}{10},\frac{1}{10}$$
이므로, 구하는 값은 $5$이다.



[풀이 2]
주어진 행렬을 $A$라고 하고, 고유치의 성질을 이용하면 
$$\begin{array}{rl}\frac{3}{\alpha }+\frac{3}{\beta }+\frac{3}{\gamma }& =\frac{3(\alpha \beta +\beta \gamma +\alpha \gamma )}{\alpha \beta \gamma }\\ & =\frac{3(C_{11}+C_{22}+C_{33})}{detA}\\ & =\frac{3(-0.08+0.09-0.02)}{-0.006}\\ & =5\end{array}$$
이다. (단, $C_{nm}$은 여인수이다.)

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 4번 풀이

주어진 식을 $y$에 대해 풀면 $y=\pm \sqrt{\frac{x^3}{3}}$인데, 그래프의 개형을 따져보면
부호가 +인 $y=\sqrt{\frac{x^3}{3}}$과 주어진 점 사이의 최단거리를 구하면 된다.

곡선 위의 점 중 최단거리가 되는 점을 $\mathrm{A}(t,\sqrt{\frac{t^3}{3}})$라 하면
점 $\mathrm{A}$에서의 접선과 두 점 $(0,\sqrt{3})$, $\mathrm{A}$를 지나는 직선이 수직이다. 
즉,
$$\frac{\sqrt{\frac{t^3}{3}}-\sqrt{3}}{t-0}\times \frac{\sqrt{3}{t}^2}{2\sqrt{t^3}}=-1$$
에서 식을 정리하면
$$(\sqrt{t^3}-3)t=-2\sqrt{t^3}$$
이고 이를 풀면 $t=1$이다. 따라서 우리가 구하는 거리는 두 점
$$(0,\sqrt{3}),(1,\frac{1}{\sqrt{3}})$$
사이의 거리인 $\sqrt{\frac{7}{3}}$이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 5번 풀이

적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^1{\int }_0^{x^2}{e}^{x^3}dydx\\ & ={\int }_0^1{x}^2{e}^{x^3}dx\\ & =\frac{1}{3}(e-1)\end{array}$$
이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 6번 풀이

행렬 
$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1.5& 0.5\end{array}\right)$$
의 고유치와 고유벡터를 구해보면
$$\begin{array}{rl}& {\lambda }_1=1,v_1=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\\ 1\end{array}\right)\\ & {\lambda }_2=\frac{1}{2},v_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$
이다. 한편 구하는 값은 $A^n$의 모든 성분의 합의 극한인데, 이는 
$$A^n\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$
에 극한을 취한 결과의 모든 성분의 합과 같다. 한편
$$\begin{array}{rl}{A}^n\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)& =A^n(3\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\\ 1\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right))\\ & =3\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\\ 1\end{array}\right)-2\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^n\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$
이므로
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}^n\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)$$
이고 따라서 구하는 값은 $1+3=4$이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 7번 풀이

그림을 그리면 다음과 같다.

우리가 구해야 하는 넓이는 큰 원의 외부이면서 작은 원의 내부인 영역의 넓이이다.

그런데 그림상의 파란 직선 $y=\sqrt{3}(-1\le x\le 1)$은 작은 원의 지름이므로
구하는 넓이는 작은 원의 넓이의 절반에서 큰 원과 파란 직선으로 둘러싸인 
활꼴의 넓이를 빼준 값과 같다.
즉, 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{2}\pi -{\int }_{-1}^1(\sqrt{4-x^2}-\sqrt{3})dx\\ & =\frac{1}{2}\pi -(\frac{2}{3}\pi -\sqrt{3})\\ & =\sqrt{3}-\frac{\pi }{6}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 8번 풀이

다음 그림을 생각하자.

그러면 점 $\mathrm{P}$를 지나고 $y$축과 평행한 직선을 생각했을 때
엇각의 성질로부터 $\theta =\alpha +\beta$가 성립함을 알 수 있다.

따라서
$$\begin{array}{rl}\tan \theta & =\tan (\alpha +\beta )\\ & =\frac{\frac{t}{2}+\frac{5-t}{7}}{1-\frac{t(5-t)}{14}}\\ & =\frac{5t+10}{t^2-5t+14}\end{array}$$
이므로, $f(t)=\frac{5t+10}{t^2-5t+14}$라고 하면
$$\theta ={\tan }^{-1}f(t)$$
가 성립한다. 그런데 ${\tan }^{-1}x$는 증가함수이므로, $f(t)$가 커지면 $\theta$도 커진다.
따라서 우리는 $f(t)$의 최대를 구하면 되며, $f^{\prime }(2\sqrt{7}-2)=0$이므로
최대가 되는 $t$는 $t=2\sqrt{7}-2$이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 9번 풀이

임계점을 구하면 $(1,1)$이므로, $x=y=1$일 때 최솟값 $6$을 가진다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 10번 풀이

다항식 $1+t+t^2$의 순서기저 $B$에 대한 좌표벡터를 구해보면
$$\begin{array}{rl}& 1+t+t^2\\ & =\frac{1}{2}(1+t^2)+0(t+t^2)+\frac{1}{2}(1+2t+t^2)\end{array}$$
이 성립하므로, 좌표벡터는 $(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})$이다. 

따라서 선형변환 $T_B$을 통해 공역의 좌표벡터를 구하면
$$T_B\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ 0\\ \frac{1}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 4\end{array}\right)$$
이므로, 다시 순서기저와 일차결합시키면
$$\begin{array}{rl}& p(t)\\ & =\frac{3}{2}(1+t^2)-\frac{1}{2}(t+t^2)+4(1+2t+t^2)\end{array}$$
이 성립하므로, $p(-1)=3$이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 11번 풀이

$\text{rank}(A)=x$라 하자. 우리는 
$$\text{rank}(A)=\text{rank}(A^T)=\text{rank}(A^{T}A)$$
가 성립함을 이용할것이다.

가장 먼저 $A$의 영공간의 차원이 $7$이므로 $n-x=7$이다.
또, $A^T$의 영공간의 차원이 $2$이므로 $m-x=2$이다.

한편 행렬 $A^{T}A$는 $n\times n$행렬이므로, $n-x=k=7$이다.

따라서 구하는 값은 
$$\begin{array}{rl}m-n+k& =(2+x)-(7+x)+7\\ & =2\end{array}$$
이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 12번 풀이

첫 번째 식에 $x$ 대신 $g(x)$를 대입하면
$$f^{\prime }(g(x))=1+x^2$$
이 성립한다. 이제 두 번째 식의 양변을 미분하면
$$f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)=1$$
에서 식을 정리하면
$$g^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(g(x))}=\frac{1}{1+x^2}$$
이므로 $g^{\prime }(2)=\frac{1}{5}$이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 13번 풀이

지수로그의 성질로부터
$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =x^{\sin x}(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})\end{array}$$
이 성립하므로, 
$$y^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}\times \frac{2}{\pi }=1$$
이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 14번 풀이

좌변 전체를 $f(x,y,z)$라고 하고 경도벡터를 구하기 위해 편미분하면
$$\begin{array}{rl}& f_x=4x^3-6x{y}^2{z}^2\\ & f_y=4y^3-6x^{2}y{z}^2\\ & f_z=4z^3-6x^2{y}^{2}z\end{array}$$
에서 주어진 점에서 경도벡터는
$$\mathrm{\nabla }f=(-8,-8,2\sqrt{2})$$
이다. 따라서 이를 법선벡터로 하고 주어진 점을 지나는 평면이 법평면이므로
$$P:4x+4y-\sqrt{2}z=6$$
이 구하는 법평면의 방정식이고, $(0,0,a)$를 대입하면 $a=-3\sqrt{2}$이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 15번 풀이

$x=0$ 근방에서 $\sinh x\approx x+\frac{1}{6}{x}^3$이므로 구하는 극한값은 
$\frac{1}{6}$이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 16번 풀이

주어진 곡선을 $y$에 대해 풀면 $y=\pm \sqrt{2x}$인데, 그래프의 개형을 고려하면
주어진 점과 곡선 $y=\sqrt{2x}$의 최단거리를 구하면 된다.

이제 곡선 위의 점 중 점 $(1,4)$와 거리가 최소가 되는 점을 $\mathrm{A}(t,\sqrt{2t})$라 하면
점 $\mathrm{A}$에서의 접선과 두 점 $\mathrm{A},(1,4)$를 지나는 직선은 수직이다. 즉,
$$\frac{\sqrt{2t}-4}{t-1}\times \frac{1}{\sqrt{2t}}=-1$$
에서 식을 정리하면
$$\sqrt{t}-2\sqrt{2}=-(t-1)\sqrt{2}$$
이고 이를 풀면 $t=2$이다. 
(상수항에 $\sqrt{2}$가 포함되어 있으므로 $t=2$를 대입해보는것이 합리적이다.)

따라서 구하는 거리는 두 점 $(1,4),(2,2)$사이의 거리이므로 $\sqrt{5}$이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 17번 풀이

구하는 부피 $V$는
$$\begin{array}{rl}V& =2\pi {\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{2x}{(x-1)(x^2-1)}dx\\ & =\pi {\int }_0^{\frac{1}{2}}(\frac{2}{(x-1{)}^2}+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})dx\\ & =\pi (2-\ln 3)\end{array}$$
이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 18번 풀이

주어진 타원 위의 점 중 제 $1$사분면의 점의 좌표를 $(a,b)$라 하자.
그러면 대칭성으로부터 내접하는 직사각형의 넓이 $S$는 $S=4ab$이다.

한편 산술기하평균 부등식을 이용하면
$$\begin{array}{rl}1& =a^2+\frac{b^2}{4}\\ & \ge 2\times \frac{ab}{2}\\ & =ab\end{array}$$
에서 $S\le 4$이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 19번 풀이

$\tan \frac{x}{2}=t$로 치환하자. 그러면
$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$
이 성립하므로, 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^1\frac{2}{2t^2+2t}dt\\ & ={\int }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^1\frac{1}{t(t+1)}dt\\ & =\ln \frac{1+\sqrt{3}}{2}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 20번 풀이

(가) 적분판정법으로부터 수렴한다.

(나) 근판정법으로부터 수렴한다.

(다) 교대급수판정법으로부터 수렴한다.

(라) $\frac{1}{n}$과의 극한비교판정으로부터 발산한다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 21번 풀이

$f(x)=-\ln (1-x)$이므로 구하는 값은 $\ln 2$이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 22번 풀이

(가) 조건에 $x=y=0$을 대입하면 $f(0)=0$이고, (나) 조건으로부터 $f^{\prime }(0)=1$이다.

한편 (가)의 양변을 $y$로 편미분하면
$$f^{\prime }(x+y)=f^{\prime }(y)+x^2+2xy$$
에서 $y=0$을 대입하면
$$f^{\prime }(x)=f^{\prime }(0)+x^2=x^2+1$$
이므로 다시 적분 후 $f(0)=0$임을 이용하면
$$f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+x$$
이므로 $f(3)=12$이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 23번 풀이

[풀이 1]
영역 $x^2+y^2\le 4$는 극좌표계상의 영역으로 $0\le r\le 2$, $0\le \theta \le 2\pi$와 같다.

따라서 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$로 치환하면 주어진 이변수함수 $f(x,y)$는
$$f(x,y)=r^2{e}^{-r^2}({\cos }^2\theta +2{\sin }^2\theta )$$
로 쓸 수 있다. 이제 새로운 두 함수
$$g(r)=r^2{e}^{-r^2},h(\theta )={\cos }^2\theta +2{\sin }^2\theta$$
를 생각하면 두 함수 $g,h$는 항상 $0$ 이상이므로, 각각을 최대로 만들면 $f(x,y)$가 최대가 된다.

$g$를 먼저 살펴보면
$$g^{\prime }(r)=2r{e}^{-r^2}(1-r^2)$$
에서 $g^{\prime }(1)=0$이므로 $r=1$에서 최댓값 $\frac{1}{e}$를 가진다.

$h$를 살펴보는데, ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$를 적용하면
$$h(\theta )=1+{\sin }^2\theta$$
이므로 $h$의 최대는 $2$이다.

이상에서 $f$의 최대는 $\frac{1}{e}\times 2=\frac{2}{e}$이다.



[풀이 2]
일반적인 이변수함수의 최대최소를 구하는 방법대로 영역 내부와 경계로 나누어 계산한다.
(계산 생략)

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 24번 풀이

적분 순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^2{\int }_0^{y^2}\frac{1}{y^3+1}dxdy\\ & ={\int }_0^2\frac{y^2}{y^3+1}dy\\ & =\frac{1}{3}\ln 9\\ & =\frac{2}{3}\ln 3\end{array}$$
이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 25번 풀이

주어진 벡터장 $F$에 대하여 폐곡선이 아닌 경로에서의 선적분의 값은
시점으로부터 종점까지 이동한 각도와 같다.

이제 시점의 좌표는 $r(0)=(e,0)$이고 종점의 좌표는 $r(1)=(e\cos 1,e\sin 1)$이다.
둘의 사잇각을 $\theta$라 하면 
$$\tan \theta =\frac{e\sin 1}{e\cos 1}=\tan 1$$
에서 $\theta =1$이다. 따라서 구하는 선적분의 값은 $1$이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 26번 풀이

주어진 구면은
$$\begin{array}{rl}& S(\varphi ,\theta )\\ & =(2\sin \varphi \cos \theta ,2\sin \varphi \sin \theta ,2\cos \varphi )\end{array}$$
로 매개화 할 수 있고, $dS=4\sin \varphi d\varphi d\theta$가 성립한다.

따라서 주어진 면적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{4\sin \varphi }{\sqrt{5-\cos \varphi }}d\varphi d\theta \\ & =2\pi \times 4\\ & =8\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 27번 풀이

곡면 $S$는 폐곡면이므로 발산정리를 적용할 수 있다. 
$\text{div}F=6$이므로 주어진 면적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_{-1}^1{\int }_0^{1-x^2}{\int }_0^{2}6dydzdx\\ & =12{\int }_{-1}^1(1-x^2)dx\\ & =12\times \frac{1}{6}\times 2^3\\ & =16\end{array}$$
이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 28번 풀이

구면좌표계를 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{\int }_0^1{e}^{{\rho }^3}{\rho }^2\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta \\ & =2\pi \times 2\times \frac{1}{3}(e-1)\\ & =\frac{4}{3}\pi (e-1)\end{array}$$
이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 29번 풀이

경도벡터를 구하기 위해 편도함수를 구해보면
$$\begin{array}{rl}& f_x=e^{x^2+y^2}\sin (y^2)+2x^2{e}^{x^2+y^2}\sin (y^2)\\ & f_y=2xy{e}^{x^2+y^2}\sin (y^2)+x{e}^{x^2+y^2}\cos (y^2)\times 2y\end{array}$$
이다. 이제 
$$\begin{array}{rl}& a=f_x(1,1)=3e^2\sin 1\\ & b=f_y(1,1)=2e^2\sin 1+2e^2\cos 1\end{array}$$
이므로 
$$\frac{b}{a}=\frac{2}{3}(1+\cot 1)$$
이다.

 

 

 

2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 30번 풀이

구하는 행렬식의 값은
$$det\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\times det\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 3& 1\\ 2& 0& 2\end{array}\right)=30$$
이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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