[편입] 2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2024년 중앙대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 중앙대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(중앙대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제)

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

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2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 빠른정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

$x=0$ 근방에서
$$e^{\sin x}\approx 1+\sin x\approx 1+x$$
이고
$$\frac{1}{\tan x}\approx \frac{1}{x}$$
임을 이용하면 주어진 극한은
$$\underset{x\to 0}{lim}(1+4x{)}^{\frac{1}{x}}=e^4$$
이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

$e^x+e^{-x}=t$로 치환하면 산술기하평균 부등식으로부터 $t\ge 2$이므로 함수
$$g(t)=-t^3+6t^2+15t(t\ge 2)$$
가 최대가 되는 $t$를 구하면 된다. 미분해보면
$$g^{\prime }(t)=-3(t+1)(t-5)$$
이므로 함수 $g(t)$는 $t=5$에서 극대이자 최대이다. 

따라서 $\alpha ,\beta$는 방정식
$$e^x+e^{-x}=5$$
의 두 실근인데, 함수 $e^x+e^{-x}$는 $y$축에 대칭(우함수)이므로 $\alpha =-\beta$이다.

따라서 구하는 값은
$$\begin{array}{rl}{e}^{2\alpha }+e^{2\beta }& =e^{2\beta }+e^{-2\beta }\\ & =(e^{\beta }+e^{-\beta }{)}^2-2\\ & =25-2\\ & =23\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^1{\int }_0^y{x}^{2022}\sqrt{1+y^{2024}}dxdy\\ & =\frac{1}{2023}{\int }_0^1{y}^{2023}\sqrt{1+y^{2024}}dy\\ & =\frac{1}{2023\times 3036}(2\sqrt{2}-1)\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

(가) 주어진 급수는
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(\ln n{)}^2}$$
와 수렴성이 같으므로 적분판정법으로부터 수렴한다.

(나) $\frac{1}{n}$과의 극한비교판정법으로부터 발산한다.

(다) $\cos (n\pi )=(-1{)}^n$이므로 교대급수판정법으로부터 수렴한다.

(라)
[풀이 1]
먼저 다음이 성립한다.
$$\begin{array}{rl}1& \ge \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}\\ \frac{1}{\sqrt[3]{2^2}}& \ge \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}\\ \frac{1}{\sqrt[3]{3^2}}& \ge \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}\\ & ⋮\\ \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}& \ge \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}\end{array}$$
이를 세로로 전부 더하면
$$\begin{array}{rl}& 1+\frac{1}{\sqrt[3]{2^2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}\\ & \ge n\times \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}\\ & =\sqrt[3]{n}\end{array}$$
이 성립한다. 따라서 주어진 급수는 급수
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\times \sqrt[3]{n}}$$
보다 작으므로 비교판정법으로부터 수렴한다.



[풀이 2]
주어진 급수의 분모에 있는 부분을 다시 써보면
$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt[3]{k^2}}$$
인데, 이를 적분으로 근사시키면
$$\begin{array}{rl}& \sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt[3]{k^2}}\\ & \approx {\int }_0^n\frac{1}{\sqrt[3]{k^2}}dk\\ & \approx \frac{1}{\sqrt[3]{n}}\end{array}$$
으로 쓸 수 있다. 따라서 주어진 급수는
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\times \sqrt[3]{n}}$$
으로 근사되며 이는 $p$급수 판정법으로부터 수렴하므로 주어진 급수도 수렴한다.



이상에서 수렴하는 것의 개수는 3이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

함수 $e^x$를 5차항까지 테일러전개하면
$$e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{4!}{x}^4+\frac{1}{5!}{x}^5$$
이고, 함수 $\sin 2x+\cos 2x$를 5차항까지 테일러전개하면
$$\begin{array}{rl}& \sin 2x+\cos 2x\\ & =1+2x-\frac{2^2}{2!}{x}^2-\frac{2^3}{3!}{x}^3+\frac{2^4}{4!}{x}^4+\frac{2^5}{5!}{x}^5\end{array}$$
이다. 이제 둘을 곱해서 $x^5$항이 나오는 경우를 전부 찾으면
$$a_5=\frac{2^5+1}{5!}+\frac{2^4+2}{4!}-\frac{2^3+2^2}{2!\times 3!}$$
이다. 따라서 $5!\times a_5=3$이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

두 곡선의 교점에서의 접선의 기울기의 곱이 $-1$이 되도록 하면 된다. 

곡선 $y^3=x^2$위의 점 $(x,y)$에서의 접선의 기울기는
$$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{3y^2}$$
이고, 주어진 타원 위의 점 $(x,y)$에서의 접선의 기울기는
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{2b^{2}x}{2a^{2}y}$$
이다. 이제 이 둘의 곱이 $-1$이므로 식을 정리하면
$$\frac{2b^2{x}^2}{3a^2{y}^3}=1$$
인데, $y^3=x^2$이므로, 대입한 뒤 약분하면
$$\frac{2b^2}{3a^2}=1⟹2b^2=3a^2$$
이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

[풀이 1]
문제의 조건에서 $0<{\theta }_1<\frac{\pi }{2}$, $0<{\theta }_2<\frac{\pi }{2}$이므로 둘을 더하면
$$0<{\theta }_1+{\theta }_2<\pi$$
가 성립하는데, 이를 만족하는 선택지는 3번 뿐이다.



[풀이 2]

다음과 같은 삼각형을 생각해보면 ${\theta }_1+{\theta }_2=\frac{\pi }{2}$이다.



[풀이 3]
문제의 조건으로부터
$$\begin{array}{rl}& \sin {\theta }_1=\frac{4}{\sqrt{17}},\sin {\theta }_2=\frac{1}{\sqrt{17}}\\ & \cos {\theta }_1=\frac{1}{\sqrt{17}},\cos {\theta }_2=\frac{4}{\sqrt{17}}\end{array}$$
이 성립하므로
$$\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)=1⟹{\theta }_1+{\theta }_2=\frac{\pi }{2}$$
이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

가우스함수의 내부에 있는 식을 변형하면 반각공식으로부터
$$2\cos x-\cos 2x=-2{\cos }^{2}x+2\cos x+1$$
이 성립한다. 따라서 우리는 이차함수
$$g(x)=-2x^2+2x+1(-1\le x\le 1)$$
에 $\cos x$가 합성된 형태로 위의 식을 관찰할 것이다.

먼저 $g(x)$의 그래프를 그려보면 다음과 같다.

이제 $t=\cos x$라고 하면 
$$-2{\cos }^{2}x+2\cos x+1=g(t)$$
이므로, $x$의 움직임 → $t$의 움직임 → $g(t)$의 움직임 순서대로 관찰하면 된다.

$x$가 $0$에서 $3\pi$로 증가하는 동안 $t$의 움직임은
$$1\to -1\to 1\to -1\to 1\to -1$$
와 같이 움직이므로, 이 $t$의 움직임을 바탕으로 $g(t)$의 그래프를 그리면
다음과 같다.

우리가 얻은 위 그래프는 $y=-2{\cos }^{2}x+2\cos x+1$의 그래프이다.
그런데 우리가 구하는 값은 위 식에 가우스함수를 취한 함수의 불연속점의 개수인데
이는 곧 각각의 정수 $k$에 대하여 두 곡선
$$\begin{array}{rl}& y=k\\ & y=-2{\cos }^{2}x+2\cos x+1(0<x<3\pi )\end{array}$$
의 교점 중 $y=k$를 뚫는 것의 개수가 불연속점의 개수와 같다.

이를 그림으로 동시에 표현해보면 다음과 같다.

각각의 가로선(점선)이 정수 $k$에 대하여 $y=k$를 나타낸 것이고
교점 중 빨간색 표시가 된 교점이 $y=k$를 뚫는 교점 (즉, 가우스함수의 불연속점)이다.
이를 모두 세어보면 12개이므로 정답은 3번이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

함수 $\tanh x$는 도함수가 $0$이 되는 지점이 없으므로 함수 $h(x,y)$의 임계점은
함수 $g(x,y)$의 임계점과 같다.

직접 $g(x,y)$의 편도함수를 구해보면
$$\begin{array}{rl}& g_x=3x^2-12y\\ & g_y=24y^2-12x\end{array}$$
에서 $g_x=g_y=0$을 풀면 연립했을 때
$$\frac{1}{8}{x}^4=x⟹x=0,2$$
이고 이에 대응되는 $y$의 값은 순서대로 $y=0,1$이다.

따라서 $(a,b)=(0,0)$이고 $(c,d)=(2,1)$이므로 $a+b+c+d=3$이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

주어진 벡터장은 보존적이고 포텐셜함수가
$$f(x,y,z)=xy\cos z-yz{e}^x$$
이므로 선적분의 기본정리로부터 주어진 선적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =f(x,y,z){|}_{(1,0,0)}^{(0,1,\frac{\pi }{2})}\\ & =-\frac{\pi }{2}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

직접 편미분해보자. 어차피 $y$로 편미분 한 뒤 $x$로 편미분 할 것이므로

$x$에 대한 항이 없는 적분의 위끝에 대한 편미분은 생략하고 써보면
$$f_y=-4\times \frac{1}{1+e^{-(2x+4y)}}$$
이고
$$f_{yx}=4\times \frac{-2e^{-(2x+4y)}}{(1+e^{-(2x+4y)}{)}^2}$$
이므로 구하는 값은
$$f_{yx}(0,0)=\frac{-8}{2^2}=-2$$
이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

경도벡터를 구하기 위해 편미분계수를 구해보면
$$\begin{array}{rl}& f_x=e^{-1}\\ & f_y=-e^{-1}\\ & f_z=-e^{-1}\end{array}$$
이므로 주어진 점에서 함수 $f$의 경도벡터는
$$\mathrm{\nabla }f=\frac{1}{e}(1,-1,-1)$$
이다. 이제 함숫값이 가장 빨리 증가하는 방향은 경도벡터와 평행한 방향임을 이용하면
구하는 벡터는 경도벡터를 단위벡터로 만들어준
$$\frac{\mathrm{\nabla }f}{|\mathrm{\nabla }f|}=(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})$$
이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

구하는 넓이 $S$는 곡선
$$y=\sin \left(\frac{\pi }{2}x\right)(0\le x\le 1)$$
와 직선 $y=x$로 둘러싸인 영역의 넓이의 두 배이다. 

따라서 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{array}{rl}S& =2{\int }_0^1(\sin \left(\frac{\pi }{2}x\right)-x)dx\\ & =2(\frac{2}{\pi }-\frac{1}{2})\\ & =\frac{4}{\pi }-1\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

삼각함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int \frac{\sin x(1-{\cos }^{2}x{)}^3}{{\cos }^{4}x}dx\\ & =\int \frac{(t^2-1{)}^3}{t^4}dt(\cos x=t)\\ & =\int (t^2-3+\frac{3}{t^2}-\frac{1}{t^4})dt\\ & =\frac{1}{3}{t}^3-3t-\frac{3}{t}+\frac{1}{3t^3}+C\\ & =\frac{1}{3{\cos }^{3}x}-\frac{3}{\cos x}-3\cos x+\frac{1}{3}{\cos }^{3}x+C\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

(가)~(라)의 피적분함수의 분모를 관찰해보면, 부분분수 분해를 했을 때 (가)는 분모가
$$x+1,x-1$$
로 이루어진 유리식이 나올 것이고, (나)~(라)는
$$x,x+1$$
로 이루어진 유리식이 나올 것이다. (제곱항 포함)

그럼 선택지에서 아무거나 둘을 골라서 더해 적분한 것이 유리식이라는 말은
부분분수 분해를 하여 얻은 유리식의 분모가 $1$차인 식이 없다는 말인데,
만약 우리가 둘을 고르는 과정에서 (가)를 고른다면 반드시 분모가 $x-1$인 항이 남아있게 되고
그러면 적분했을 때 유리식이 아닌 로그 항이 생기게 된다.

따라서 선택지에서 (가)가 포함된 선지를 지우면 가능한 조합은 (나) + (다) or (라)이다.
(다)와 (라)를 비교했을 때 (라)가 간단하므로 (분모의 차수가 낮으므로) (나) + (라)를 먼저 해보자.

(나)와 (라)를 부분분수 분해 하면
$$\begin{array}{rl}& \frac{2}{x(x+1)}=\frac{2}{x}-\frac{2}{x+1}\\ & \frac{x^2+1}{x^2(x+1)}=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x+1}\end{array}$$
이므로 둘을 더해보면 분모의 차수가 $1$인 유리식이 남는다.
이 말은 적분했을 때 유리식이 아닌 로그 항이 생긴다는 말과 같다.

따라서 소거법을 적용했을 때 정답은 (나) + (다)이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

$e$의 정의를 이용하면 주어진 극한은
$$\begin{array}{rl}\text{(Limit)}& =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x+2a-3a}{x+2a}\right)}^x\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1-\frac{3a}{x+2a})}^{-\frac{3ax}{x+2a}}\\ & =e^{-3a}\\ & =e^4\end{array}$$
에서 $a=-\frac{4}{3}$이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

$T$의 치역은 행렬 $A$의 열벡터의 일차결합으로 구성되는데 $A$를 살펴보면
1열과 2열이 기저가 됨을 알 수 있다. (랭크가 2임을 바로 알 수 있다는 뜻이다.)

그럼 $T$의 치역은 1열과 2열의 벡터를 외적하여 얻은 벡터를 법선벡터로 하고
원점을 지나는 평면이 $T$의 치역이 되고 직접 구해보면 
$$\text{Im}(T):x-3y+z=0$$
이다.

이제 평면 위의 점 중 점 $(1,2,3)$과 거리가 최소가 되는 점은
점 $(1,2,3)$을 지나고 방향벡터가 위에서 구한 법선벡터와 같은 직선 $l(t)$와
위에서 구한 평면의 교점이다.

직선 $l(t)$를 구해보면
$$l(t)=(t+1,-3t+2,t+3)$$
이고 이를 위에서 구한 평면의 방정식에 대입하여 $t$의 값을 구해보면
$$11t=2⟹t=\frac{2}{11}$$
이고, 따라서 구하는 값은
$$a+b+c=(6-t){|}_{t=\frac{2}{11}}=\frac{64}{11}$$
이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

선택지에 가능한 $x$의 값이 
$$x=-\frac{1}{2},0,1$$
뿐이므로 이 값들을 넣어서 확인해보자. 

$x=0$을 대입하면 랭크는 3이다. 따라서 2, 4번은 아니다.

이제 1, 3번을 확인하면 $-\frac{1}{2}$은 공통적으로 들어있으므로 $x=1$을 대입해보면
랭크는 1이다. 따라서 정답은 3번이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

주어진 구면의 중심과 평면 사이의 거리 $d$를 먼저 구해보면
$$d=\frac{2}{\sqrt{3}}$$
이다. 이제 아래 그림을 생각해보자.

그림과 같이 피타고라스 정리를 이용하면 원 $C$의 반지름 $r$은 $r=\sqrt{\frac{8}{3}}$이다.

이제 원뿔의 부피 공식을 떠올려보면
$$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$$
인데, $r$은 고정된 값이다. 따라서 원뿔의 부피가 최대이려면 높이가 최대이면 되는데
높이는 다음과 같은 상황일 때 최대가 된다.

따라서 높이 $h$는 $h=2+\frac{2}{\sqrt{3}}$이다.

이상에서 구하는 부피 $V$의 최대는
$$\begin{array}{rl}V& =\frac{8}{9}\pi (2+\frac{2}{\sqrt{3}})\\ & =\frac{16}{9}(1+\frac{1}{\sqrt{3}})\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

발산정리를 이용하자. 계산을 통해
$$\text{div}F=5(x^2+y^2+z^2)$$
임을 알 수 있으므로, 주어진 영역 $R$에 대하여 구하는 면적분의 값은 
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =5{\iiint }_R(x^2+y^2+z^2)dV\\ & =5\left({\iint }_{x^2+y^2\le 9}(x^2+y^2+\frac{1}{3})dA\right)\\ & =5(3\pi +{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^3{r}^{3}drd\theta )\\ & =15\pi +\frac{405}{2}\pi \\ & =\frac{435}{2}\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

일반적인 경우에 대해 구하지 말고 $n$을 특정하여 구해보자.

만약 $n=3$이라고 하면 1, 2, 3, 4번 선택지는 순서대로
$$13e,31e,16e,34e$$
이므로 선지의 값이 모두 다르다. (같으면 $n$의 값을 바꿔야 한다.)

따라서 $n=3$인 경우에 대해 구하면 답을 찾기에 충분하다.
이제 새로운 함수
$$g(x)=f(x+1)$$
을 생각하면
$$g^{(3)}(0)=f^{(3)}(1)$$
임을 알 수 있다. 이제 $g$를 테일러전개하면
$$\begin{array}{rl}g(x)& =(x+1{)}^3{e}^{x+1}\\ & =e(x^3+3x^2+3x+1)e^x\\ & =e(x^3+3x^2+3x+1)(1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}{x}^3+\cdots )\\ & =\cdots +e(1+3+\frac{3}{2}+\frac{1}{6})x^3+\cdots \end{array}$$
이므로 
$$g^{(3)}(0)=3!\times e(1+3+\frac{3}{2}+\frac{1}{6})=34e$$
이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

반각공식과 배각공식을 이용하면
$$\begin{array}{rl}& x={\sin }^{2}t=\frac{1-\cos 2t}{2}\\ & y=\frac{1}{2}\sin 2t\end{array}$$
에서 
$${(x-\frac{1}{2})}^2+y^2=\frac{1}{4}$$
이므로 주어진 점이 나타내는 자취는 중심이 $(\frac{1}{2},0)$이고 반지름이 $\frac{1}{2}$인 원이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

[풀이 1]
분자의 식을 변형하면
$$\begin{array}{rl}f(x)& =\frac{(x-5{)}^2+6(x-5)+9}{x-5}\\ & =6+(x-5)+\frac{9}{x-5}\end{array}$$
인데, 두 함수 $y=x-5,y=\frac{9}{x-5}$는 점 $(5,0)$에 점대칭이고 $y=6$은 점 $(5,6)$에 점대칭이므로
함수 $f(x)$는 점 $(5,6)$에 점대칭이다.

한편 $x>5$에서 산술기하평균 부등식으로부터
$$\begin{array}{rl}f(x)& \ge 6+2\sqrt{9}\\ & \ge 15\end{array}$$
이고 등호가 성립할 조건은 
$$(x-5{)}^2=9⟹x=8$$
이다. 따라서 함수 $f(x)$는 $x=8$에서 극소이다.

한편 위에서 언급했듯 함수 $f(x)$는 점 $(5,6)$에 점대칭이므로 $x=2$에서 극대이다.

따라서 $2a^2+b^2=72$이다.



[풀이 2]
직접 미분하면
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\frac{2(x-2)(x-5)-(x-2{)}^2}{(x-5{)}^2}\\ & =\frac{(x-2)(x-8)}{(x-5{)}^2}\end{array}$$
이므로 $a=2,b=8$이고 $2a^2+b^2=72$이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

주어진 등식에서 우변의 행렬과 $A$는 닮은 행렬이다. 따라서
$$a+b+c=\text{tr}(A)=5$$
이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

다음과 같은 변수변환을 생각하자.
$$x=u,y=\frac{v}{\sqrt{2}},z=w$$
그러면 주어진 문제는 제약조건 $u^2+v^2+w^2=1$하에서 함수
$$g(u,v,w)=\frac{uv}{\sqrt{2}}+w$$
의 최대와 최소를 구하는 문제가 되는데, 이차형식을 생각하면 행렬
$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2\sqrt{2}}& 0\\ \frac{1}{2\sqrt{2}}& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
의 고유치의 최대와 최소가 함수 $g$의 최대와 최소가 된다.

고유치를 직접 구해보면
$$\lambda =1,-\frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{1}{2\sqrt{2}}$$
이므로, $a=1$, $b=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$이고 따라서 $a^2+b^2=\frac{9}{8}$이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이

주어진 행렬 $A$의 고유치와 고유벡터를 구해보면
$$\lambda =1,2,3$$
이고 이에 대응되는 고유벡터는 순서대로
$$v_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),v_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$$
이다.

이때, $B$를 구할 때 $A^{2024}$의 오른쪽에 곱해지는 행렬의 각 열이
행렬 $A$의 고유벡터로 구성되어 있음을 알 수 있고 따라서
$$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2^{2024}& 3^{2024}\\ 1& 0& 3^{2024}\\ 1& 2^{2024}& 2\times 3^{2024}\end{array}\right)$$
임을 바로 알 수 있다. 따라서 $\text{tr}(B)=1+2\times 3^{2024}$이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이

행렬 $A$의 고유치 $\lambda$에 대하여 행렬 $A^4-3A^3+A^2$의 고유치는
${\lambda }^4-3{\lambda }^3+{\lambda }^2$임을 이용하자.

행렬 $A$의 고유치를 구해보면 $\lambda =-1,1,1,2$이므로 행렬 $A^4-3A^3+A^2$의 고유치는
$$\lambda =-1,-1,-4,5$$
이다. 따라서 
$$det(A^4-3A^3+A^2)=-20$$
이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이

행렬
$$A=\left(\begin{array}{cc}6& -3\\ -3& 6\end{array}\right)$$
의 한 고유벡터가
$$v=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$
이므로 
$$A^{10}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=3^{10}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$
이다. 따라서 $a+b=2\times 3^{10}$이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이

주어진 등식의 오른쪽에 $A^{-1}$을 곱하면
$$B=A+I$$
이다. 따라서
$$\begin{array}{rl}detB& =det(A+I)\\ & =det(A(I+A^{-1}))\\ & =det(A)det(I+A^{-1})\\ & =\frac{det(I+A^{-1})}{det(A^{-1})}\\ & =\frac{4}{3}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이

(가) 
$$A=(A^{T}A{)}^T=A^{T}A=A^T$$
이므로 참이다.

(나)
반례 : 
$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$
가 반례가 된다.

(다) 
$A=A^T$이므로 
$$A^2=AA=A^{T}A=A$$
이다. 따라서 참이다.

(라)
마찬가지로
$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$
가 반례가 된다.

이상에서 옳은 것은 (가), (다)이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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