[수학] 함수방정식 f'(x)=(f(x+n)-f(x))/n을 만족시키는 함수를 찾아보자

함수방정식 f'(x)=(f(x+n)-f(x))/n의 풀이 방법

안녕하세요 수학올인입니다. 

 

최근 질문받은 내신 문제 중 흥미로운 문제가 있어 글을 쓰게 되었는데요.

 

이번 글에서는 제목과 같이 함수방정식

$$f^{\prime }(x)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n}$$

의 풀이 방법과 그 해에 대해서 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

모든 실수 $x$와 모든 자연수 $n$에 대하여

$$f^{\prime }(x)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n}$$
를 만족시키는 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$를 모두 구하시오.

 

 

 

풀이

주어진 식에 $n=1$을 대입하면 모든 실수 $x$에 대하여

$$f^{\prime }(x)=f(x+1)-f(x)$$
를 얻는다. 함수 $f(x)$가 미분가능하므로, 함수 $f^{\prime }(x)$도 미분가능하다. 양변을 미분하면

$$f^{″}(x)=f^{\prime }(x+1)-f^{\prime }(x)$$
에서

$$\begin{array}{rl}{f}^{″}(x)& =f^{\prime }(x+1)-f^{\prime }(x)\\ & =f(x+2)-f(x+1)-(f(x+1)-f(x))\\ & =(f(x+2)-f(x))-2(f(x+1)-f(x))\\ & =2f^{\prime }(x)-2f^{\prime }(x)\\ & =0\end{array}$$
을 얻는다. 

따라서 양변을 두 번 적분하면 $f(x)=ax+b$이고, 이를 역으로 원래 식에 대입하면
좌변은 $a$, 우변은

$$\frac{a(x+n)+b-ax-b}{n}=\frac{an}{n}=a$$
이므로 주어진 등식이 성립한다.

따라서 구하는 $f(x)$는 일차 이하의 다항함수이다.

 

 

 

마무리

사실 어느 정도의 직관력을 통해 일차함수 또는 상수함수면 해당 함수방정식을

만족한다는 사실을 파악할 수 있는데요.

 

다만 일차함수, 상수함수를 제외했을 때 함수방정식의 해가 없는지는 따져봐야 하기 때문에

해당 과정을 적어봤습니다.

 

오타, 오류 또는 궁금하신 점이 있다면 댓글로 남겨주세요~