[편입] 2019 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2019 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2019년 항공대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 항공대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

항공대의 경우 최근 2~3년 문제지만 공유하며, 년도가 바뀔 때마다 시험지를 입학처 홈페이지에서 삭제합니다.

따라서 시험지가 필요하신 분은 미리 입학처에서 다운로드를 받아두시기 바랍니다.

(항공대학교 입학처 - 편입학 - 지난기출문제)

 

 

 

2019 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2019 한국항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

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2019 항공대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

주어진 미분방정식의 양변을 $x$로 나누면
$$y' - \frac{3}{x}y = x^5 e^x$$
라는 일계 선형 미분방정식이므로 공식을 이용하면
$$\begin{align}
    y &= e^{3\ln x}\left(\int x^2 e^x dx + C\right) \\ 
    &= x^3 ((x^2 - 2x + 2)e^x + C) \\ 
    &= x^3 (x^2 - 2x + 2)e^x
\end{align}$$
이므로 $y(2) = 16e^2$이다.

 

 

 

2019 항공대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

$x=0$근방에서
$$\sin^{-1}x = x + \frac{1}{2\times 3}x^3 + \frac{1\times 3}{2\times 4\times 5}x^5 + \cdots$$
임을 이용하면 구하는 값은 $1+\frac{1}{6} = \frac{7}{6}$이다.

 

 

 

2019 항공대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

주어진 평면의 법선벡터를 방향벡터로 하고 원점을 지나는 직선을 구해보면
$$l(t) = (t, 2t, 3t)$$
이다. 이 직선과 주어진 평면의 교점이 구하는 점고 같으므로 대입하면
$$14t=10 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{5}{7}$$
이다. 따라서
$$a+b+c=6t\bigg|_{t=\frac{5}{7}} = \frac{30}{7}$$
이다.

 

 

 

2019 항공대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

변수변환
$$\begin{cases}
    x=2u\\
    y=v
\end{cases}$$
를 이용하면 문제의 상황은 원
$$u^2 + (v-5)^2=25$$
에 외접하는 넓이가 최소인 삼각형을 찾는 것인데, 이는 정삼각형일 때이다.

따라서 주어진 원은 정삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내접원이 되며, 이 원의 중심인 $(0, 5)$는
내심이면서 동시에 무게중심이므로, 점 $\mathrm{A}$의 $y$좌표는
$$5\times 3=  15$$
이다.

 

 

 

2019 항공대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

소거법으로 풀면 고유치가 양수, 음수 모두 존재하므로 다)와 라)는 틀렸다.

이제 선지를 보면 이를 모두 포함하지 않는 것은 2번 뿐이다.

 

 

 

2019 항공대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

문제에서 제시된 평면의 법선벡터는 점 $(0,3,0)$을 시점으로 하고 두 점
$(1,1,2), (5,1,0)$을 각각 종점으로 하는 두 벡터를 외적하여 얻은 벡터와 같으므로
직접 두 벡터를 구한 뒤 외적해보면 평면의 법선벡터 $n$은
$$n = \begin{pmatrix}
2 \\
5 \\
4 
\end{pmatrix} $$
이다. $y$축의 양의 방향으로의 방향벡터 $v$는
$$v = \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0 
\end{pmatrix} $$
이므로, 둘을 내적하면 
$$v\circ n = 5 = 3\sqrt{5}\cos\theta$$
이고
$$\theta+\phi=\frac{\pi}{2}$$
이므로 가능한 선지는 1번이다.

 

 

 

2019 항공대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

푸리에급수를 이용하지는 않는다. 직접 나열해보면 구하는 급수의 값 $S$는
$$\begin{align}
    S &= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)-\cdots \\ 
    &= \frac{1}{2}\left(2-\frac{2}{3}+\frac{2}{5}-\cdots\right)\\
    &= 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots \\ 
    &= \tan^{-1}1\\
    &=\frac{\pi}{4}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2019 항공대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

주어진 상황을 모델링하면
$$T'+\frac{T}{100}=\frac{23}{100}$$
이고, 이는 일계 선형 미분방정식이므로 공식을 이용하면
$$\begin{align}
    T &= e^{-\frac{t}{100}t}\left(\int \frac{23}{100}e^{\frac{t}{100}t}dt+C\right) \\ 
    &= 23 + Ce^{-\frac{t}{100}t}
\end{align}$$
이고 $T(0)=3$임을 고려하면
$$T=23-20e^{-\frac{t}{100}t}$$
이다. 이제 구하는 값은 $e\approx 2.7$임을 이용하면
$$\begin{align}
    T(100) &= 23-\frac{20}{e} \\ 
    &\approx 23-7.4 \\ 
    &=15.6
\end{align}$$
이므로 정답은 3번이다.

 

 

 

2019 항공대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

$\sqrt{a}(x+b)=t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}dt \\ 
    &= \sqrt{\frac{\pi}{a}}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2019 항공대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

먼저
$$\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
2 \\
3 \\
4 
\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3 
\end{pmatrix} $$
임에 주목하자. 선형변환의 선형성을 이용하면
$$\begin{align}
    T\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 
\end{pmatrix} &= T\begin{pmatrix}
2 \\
3 \\
4 
\end{pmatrix} - T\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3 
\end{pmatrix} \\ 
&= \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
1 
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
-1 
\end{pmatrix} \\ 
&= \begin{pmatrix}
0 \\
2 \\
2 
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이므로
$$a+b+c=4$$
이다.

 

 

 

2019 항공대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

스토스크 정리를 이용하자. 벡터장
$$F(x,y,z)=(-y^3,x^3,-z^3)$$
에 대하여
$$\text{curl}F = (0,0,3(x^2+y^2))$$
이므로 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_{x^2+y^2 \leq 1}3(x^2+y^2)dxdy \\ 
    &= \frac{3}{2}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2019 항공대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

두 적분
$$\begin{align}
    I_1 &= \oint_C \frac{e^z}{z+2}dz \\ 
    I_2 &= \oint_C 2\bar{z}dz 
\end{align}$$
을 각각 구하자. 

먼저 $I_1$을 계산하기 위해 함수 
$$f(z)=\frac{e^z}{z+2}$$
를 생각하자. 경로 $C$내부에 함수 $f(z)$의 특이점이 없으므로 유수정리를 이용하면
$$I_1=0$$
이다.

다음으로 $I_2$를 구할 것인데, 적분경로 $C$가
$$C : |z| = 1$$
이므로 경로 $C$위의 모든 점은
$$|z|^2 = z\bar{z} = 1$$
을 만족시킨다. 따라서
$$I_2 = \oint_C 2\bar{z}dz = \oint_C \frac{2}{z}dz$$
이고, 함수
$$g(z)=\frac{2}{z}$$
는 $z=0$에서 특이점을 가지므로, 유수정리를 이용하면
$$I_2 = 2\pi i\times \underset{z=0}{\text{Res}}g(z) = 4\pi i $$
이다. 따라서 주어진 복소선적분은
$$\text{(Integral)} = I_1-I_2 = -4\pi i$$
이다.

 

 

 

2019 항공대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

두 함수 $g(t), u(t)$의 합성곱의 라플라스 변환을 $F(s)$라 하면
$$\begin{align}
    F(s) &= \frac{4}{s+2}\times \frac{8}{s^2+4} \\ 
    &= \frac{4}{s+2} - \frac{4s}{s^2 + 4} + \frac{8}{s^2 +4}
\end{align}$$
에서 역변환하면
$$4e^{-2t} -4\cos 2t + 4\sin 2t$$
이다. 이제 $t\to\infty$인 상황을 생각하면 $4e^{-2t}\to 0$이므로
$$\begin{align}
    &4e^{-2t} -4\cos 2t + 4\sin 2t \\
    &\approx 4\sin 2t-4\cos 2t \\ 
    &= 4\sqrt{2}\sin\left(2t - \frac{\pi}{4}\right)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2019 항공대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

시그마를 사용하여 주어진 함수 $f(x)$를 나타내면
$$\begin{align}
    f(x) &= \sum_{k=1}^n (n-k+1)e^{-kx} \\ 
    &= (n+1)\sum_{k=1}^n e^{-kx} - \sum_{k=1}^n ke^{-kx}
\end{align}$$
이다. 이때 등비수열의 합 공식과 멱급수의 합 공식을 이용하면
$$\begin{align}
    (n+1)\sum_{k=1}^n e^{-kx} &= (n+1)\frac{1-e^{-nx}}{e^x - 1} \\ 
    \sum_{k=1}^n ke^{-kx} &= \frac{e^x - (n+1)e^{(1-n)x}+ne^{-nx}}{(e^x - 1)^2}
\end{align}$$
이므로 
$$\lim_{n\to\infty} \frac{f(x)}{n} = \frac{1}{e^x - 1}$$
이다.

 

 

 

2019 항공대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

주어진 벡터장을 직교좌표계에서의 벡터장으로 바꾸자. 

먼저 $x, y$축 방향으로의 단위벡터 $\hat{i}, \hat{j}$에 대하여
$$\hat{e}_r = \cos\theta \hat{i} + \sin\theta\hat{j}$$
가 성립하고
$$\begin{cases}
    \sin\theta = \frac{y}{r} \\ 
    \cos\theta = \frac{x}{r}
\end{cases}$$
이 성립하므로,
$$\begin{align}
    -5r\hat{e}_r &= -5r(\cos\theta \hat{i} + \sin\theta\hat{j}) \\ 
    &= -5(x\hat{i}+y\hat{j})
\end{align}$$
이다. 따라서 문제는 벡터장
$$G(x,y)=(-5x, -5y)$$
를 선적분하는 것과 같은데, 이 벡터장은 보존적이고 포텐셜함수
$$g(x,y)=-\frac{5}{2}(x^2 + y^2)$$
을 가지므로, 선적분의 기본정리로부터 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= g(x,y)\bigg|_{(10,0)}^{(0,6)} \\ 
    &= 160
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2019 항공대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

조건을 정리하면

i) 점 $\mathrm{A}$에서의 접선과 선분 $\mathrm{PA}$가 수직
ii) 점 $\mathrm{B}$에서의 접선과 선분 $\mathrm{PB}$가 수직

이므로 점 $\mathrm{A}$에서의 접선과 점 $\mathrm{B}$에서의 접선이 수직이어야 한다.

따라서 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $\mathrm{A}\left(t^2, t\right)$라 하면 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 대칭성으로부터 자동으로
$\mathrm{B}(t^2 , t)$가 된다.

따라서 두 점에서의 접선의 기울기의 곱이 $-1$이므로
$$\frac{1}{2t}\times\left(-\frac{1}{2t}\right)=-1$$
에서 $t=\frac{1}{2}$이다.

이제 점 $\mathrm{A}\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$에서의 법선의 방정식은
$$y=-\left(x-\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}$$
이고, 이 직선의 $x$절편이 점 $\mathrm{P}$이므로 $a=\frac{3}{4}$이다.

 

 

 

2019 항공대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

로피탈의 정리를 사용하면 주어진 극한은
$$\begin{align}
    \text{(Limit)} &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \sqrt{x}e^{\sqrt{x}}\sin\sqrt{x}\bigg|_{x=a} \\ 
    &= \frac{1}{2}e^{\sqrt{a}}\sin\sqrt{a}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2019 항공대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

주어진 미분방정식을 다시 쓰면
$$x^2y'' - 3xy'  +4y= 0$$
이다. 이제 $x=e^t$를 통해 상수계수 미분방정식으로 바꿔주면
$$y''-4y'+4y=0,\quad y(0)=2, y(1)=3e^2$$
이므로
$$y=2e^{2t}+te^{2t}$$
이다. 이제 이를 다시 $t=\ln x$를 통해 원래대로 되돌리면
$$y(x)=2x^2 + x^2 \ln x$$
가 원래 구하는 미분방정식의 해이고, 따라서 구하는 값은
$$y(2e) = e^2(12+4\ln 2)$$
이다.

 

 

 

2019 항공대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

직선 $x+y=1$과 $x, y$축으로 둘러싸인 영역을 $D$라 하자.

그러면 평면
$$z=2-2x-2y$$
의 법선벡터는 
$$n=(2,2,1)$$
이므로, 주어진 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D (2x^2 + 2y)dydx \\ 
    &= \frac{1}{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2019 항공대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

구하는 회전체의 부피 $V$는
$$\begin{align}
    V &= \pi\int_0^{2\pi} y^2 \frac{dx}{d\theta}d\theta \\ 
    &= \pi\int_0^{2\pi} (1-\cos\theta)^3d\theta \\ 
    &= 5\pi^2
\end{align}$$
이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2019 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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