[편입] 2020 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2020 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2020년 항공대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 항공대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

항공대의 경우 최근 2~3년 문제지만 공유하며, 년도가 바뀔 때마다 시험지를 입학처 홈페이지에서 삭제합니다.

따라서 시험지가 필요하신 분은 미리 입학처에서 다운로드를 받아두시기 바랍니다.

(항공대학교 입학처 - 편입학 - 지난기출문제)

 

 

 

2020 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2020 한국항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

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2020 항공대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

주어진 미분방정식을 다시 쓰면
$$y'-\frac{1}{3x}y = \frac{x}{3y}$$
이고 이는 베르누이 미분방정식이다. $y^2=u$로 치환하면 주어진 미분방정식은
$$u'-\frac{2}{3x}u = \frac{2}{3}x$$
이고 이는 일계 선형 미분방정식이므로 공식을 이용하면
$$\begin{align}
    u &= x^{\frac{2}{3}}\left(\int \frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}}dx+C\right) \\ 
    &= \frac{1}{2}x^2 + Cx^{\frac{2}{3}} \\ 
    &= y^2
\end{align}$$
이고, 초기조건으로부터 $C=\frac{17}{2}$임을 얻는다. 

따라서
$$y(8) = \sqrt{66}$$
이므로 가장 가까운 선지는 2번이다.

 

 

 

2020 항공대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

테일러전개로부터 $x=0$ 근방에서
$$\ln(1+x^2) \approx x^2 - \frac{1}{2}x^4$$
이므로
$$f(x) \approx \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{12}x^6$$
이다. 따라서 구하는 값은 $\frac{1}{4}$이다.

 

 

 

2020 항공대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

주어진 곡선 위의 점을 $(x, 0, z)$라 하면, 이 점으로부터 주어진 평면까지의 거리 $d$는
$$d= \frac{|2x-z-12|}{\sqrt{6}}$$
이다.

이제 두 실수 $x, z$는 제약조건
$$x^2 + z^2 = 4$$
를 만족시키므로, 코시슈바르츠 부등식으로부터
$$(x^2+z^2)(2^2+(-1)^2)\geq (2x-z)^2$$
에서
$$-\sqrt{20}\leq 2x-z \leq \sqrt{20}$$
이므로
$$\frac{12-\sqrt{20}}{\sqrt{6}}\leq d\leq \frac{12+\sqrt{20}}{\sqrt{6}}$$
이다. 따라서 최대거리와 최소거리의 차는
$$\frac{2\sqrt{30}}{3}$$
이다.

 

 

 

2020 항공대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

주어진 원뿔곡선을 이차형식으로 나타냈을 때 등장하는 대칭행렬 $A$는
$$A = \begin{pmatrix}
9 & -4\sqrt{3} \\
-4\sqrt{3} & 7 
\end{pmatrix}$$
이다. 문제에서 물어보는 값이 무엇인지를 먼저 파악해보면 $a, b$는 행렬 $A$의 고유치이고
$c, d, e, f$는 행렬 $A$를 직교대각화하는 직교행렬의 각 성분이다. 

따라서 고유치와 고유벡터를 구해보면 행렬 $A$의 고유치는
$$\lambda = 1, 15$$
이고 이에 대응되는 고유벡터는 순서대로
$$\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} \\
1 
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
-\frac{2}{\sqrt{3}} \\
1 
\end{pmatrix}$$
이다.

이제 이 고유벡터를 크기를 $1$로 만들어서 행렬 $A$를 직교대각화하는 직교행렬 $P$를 구하면
$$P = \frac{1}{\sqrt{7}}\begin{pmatrix}
\sqrt{3} & 2 \\
2 & -\sqrt{3} 
\end{pmatrix}$$
이다.

따라서
$$\begin{align}
    a\times b &= 15 \\
    c\times d\times e\times f &= -\frac{12}{49}
\end{align}$$
이므로 구하는값은 
$$a\times b\times c\times d\times e\times f=-\frac{180}{49}$$
이다.

 

 

 

2020 항공대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

(가) 해보면 가역행렬이다.

(나) 반대이다. 역행렬을 갖지 않으면 무수히 많은 해를 갖거나 해가 없어야 한다.

(다) 일차독립이며, 수직이므로 거짓이다.

(라) 두 행렬의 고유특성다항식이 같으므로 참이다.



이상에서 틀린 것은 (가), (나), (다)이다.

 

 

 

2020 항공대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

문제에서 요구하는 값을 구하기 위해서는 먼저 곡면을 구한 뒤 접점과 선분을 구해야 한다. 문제에서의 곡면은 곡선
$$x=\frac{1}{3}y^2 + 1$$
을 $x$축을 중심으로 회전시키는 곡면이므로 $x$는 높이의 역할을 하며, $yz$평면과 평행한 평면으로
곡면을 잘라서 얻은 곡선은 원이어야 한다. 즉,
$$x=\frac{1}{3}r^2 + 1$$
의 형태를 나타내야 하는데, $y^2+z^2=r^2$이므로 이를 대입하면
$$x=\frac{1}{3}(y^2+z^2)+1$$
이 문제에서 주어진 곡선을 회전시켜 얻은 곡면의 방정식이다. 이제 접점을 구하기 위해

i) 주어진 곡면 위의 점에서의 경도벡터
ii) 원점을 시점으로 하고 접점을 종점으로 하는 벡터

가 둘이 수직임을 이용하자.

문제에서 주어진 접점에서의 경도벡터를 구해보면
$$n=\begin{pmatrix}
-1 \\
\frac{2}{3}y_1 \\
\frac{1}{3} 
\end{pmatrix}$$
이고, 이것이 원점을 시점으로 하고 접점을 종점으로 하는 벡터
$$v=\begin{pmatrix}
x_1 \\
y_1 \\
\frac{1}{2} 
\end{pmatrix}$$
와 수직이므로, 둘의 내적이 0임을 이용하면
$$6x_1 = 4y_1^2+1$$
을 얻는다. 또, 제시된 접점이 곡면 위의 점이므로
$$12x_1=4y_1^2+13$$
도 동시에 만족시켜야 한다. 이제 이 둘을 연립하여 풀면
$$x_1=2, y_1=\sqrt{\frac{11}{4}}$$
이다. 따라서 접점의 좌표는
$$\left(2,\sqrt{\frac{11}{4}},\frac{1}{2}\right)$$
이다.

이제 $xy$평면으로 투영시킨 길이는 원점에서 점 
$$\left(2,\sqrt{\frac{11}{4}},0\right)$$
까지의 거리이므로 
$$a=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
이고, $yz$평면으로 투영시킨 길이는 원점에서 점
$$\left(0,\sqrt{\frac{11}{4}},\frac{1}{2}\right)$$
까지의 거리는
$$b=\sqrt{3}$$
이다. 따라서
$$a+b=\frac{5\sqrt{3}}{2}$$
이다.

 

 

 

2020 항공대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

$n=2$를 대입하면 선지는 각각
$$\frac{2}{\pi}, \frac{4}{3\pi}, \frac{1}{\pi}, \frac{2}{3\pi}$$
로 다르다. 따라서 $n=2$를 대입하고 계산하자.

그러면 $b_2$를 구하면 되는데 이는 $\sin 3\pi x$의 계수이므로
$$\begin{align}
    b_2 &= \int_{-1}^1 f(x)\sin 3\pi xdx \\ 
    &= 2\int_0^1 \sin 3\pi xdx \\ 
    &= \frac{4}{3\pi}
\end{align}$$
이므로 정답은 2번이다.

 

 

 

2020 항공대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

주어진 미분방정식을 풀면
$$y=Ce^{kt}$$
이고, 초기조건을 전부 이용하면
$$C = 10, k=\frac{1}{5}\ln\frac{1}{2}$$
이다.

이제 습기가 처음의 $\frac{1}{10}$이하가 되려면 $y(0)=10$이므로 $y(t)$가 $1$인 순간을 찾으면 된다.
즉, 방정식
$$10e^{\frac{t}{5}\ln\frac{1}{2}}=1$$
을 풀면
$$t=\frac{5\ln 10}{\ln 2}= 5 + \frac{5\ln 5}{\ln 2}$$
를 얻는다. 이제
$$\begin{cases}
    \ln 2\approx 0.7 \\
    \ln 3\approx 1.1 \\
    \ln 5\approx 1.6
\end{cases}$$
임을 이용하면
$$\begin{align}
    5 + \frac{5\ln 5}{\ln 2} &\approx 5+5\times\frac{16}{7} \\ 
    &\approx 16.42
\end{align}$$
이므로 적어도 17분은 지나야 $\frac{1}{10}$이하가 된다.

 

 

 

2020 항공대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

가) 
$$\begin{align}
    f(1) &= \frac{1}{2} \\ 
    f(2) &= \frac{\sqrt{\pi}}{4}
\end{align}$$
이고
$$\pi<4$$
이므로 $f(1)>f(2)$이다. 즉, 증가함수가 아니다.

나) 
$n=0$인 경우
$$\begin{align}
    f(0) &= \frac{\sqrt{\pi}}{2} \\ 
    f(1) &= \frac{\sqrt{\pi}}{4}
\end{align}$$
로 $f(0) > f(1)$이 되어 거짓이다.

다)
계산해보면 음이 아닌 정수 $n$에 대하여
$$\begin{align}
    f(2n+1) &= \frac{1}{2}\int_0^{\infty} t^n e^{-t}dt \quad (x^2 = t)\\ 
    &= \frac{n!}{2}
\end{align}$$
이다. 이제 $f(2n+3)$은 $f(2n+1)$에 $n$대신 $n+1$을 넣은 것이므로
$$f(2n+3)=\frac{(n+1)!}{2}$$
이다. 따라서 $f(2n+1)<f(2n+3)$이므로 거짓이다.

라) 
$$f(1)=f(3)$$
이므로 거짓이다.



이상에서 옳은 것의 개수는 0이다.

 

 

 

2020 항공대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

주어진 미분방정식의 한 해가 $y=x^2$이므로 이를 대입하면
$$2x^2+2xP(x)-6x^2=0$$
에서 
$$P(x)=2x$$
임을 얻는다. 즉, 주어진 미분방정식을 다시 써보면
$$x^2y''+2xy'-6y=0$$
이고 이는 코시 오일러 미분방정식이다. 

이제 $x=e^t$치환을 통해 상수계수 미분방정식으로 바꾸면
$$y''+y'-6y=0,\quad y(0)=1, y'(0)=0$$
이고 이는 라플라스 변환을 통해 해결할 수 있다. 

함수 $y$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
    Y &= \frac{s+1}{(s-2)(s+3)} \\ 
    &= \frac{2}{5(s+3)} + \frac{3}{5(s-2)}
\end{align}$$
이고 역변환하면
$$y(t) = \frac{2}{5}e^{-3t} + \frac{3}{t}e^{2t}$$
이다.

이제 구하는 값은 $y(\ln 2)$와 같으므로
$$y(\ln 2)=\frac{49}{20}$$
이다.

 

 

 

2020 항공대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

로피탈의 정리를 적용하면 주어진 극한은
$$\begin{align}
    \text{(Limit)} &= \frac{a}{a^{x-1}\ln a-b^{x-1}\ln b}(e^x(x+1)-ex)\bigg|_{x=1} \\ 
    &= \frac{ae}{\ln a-\ln b}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 항공대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

함수 $f(x)$를
$$f(x)=5(1-\cos x)$$
라 하고 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=t^2$이 제 1사분면에서 만나는 교점의 좌표를 $(g(t), t^2)$라 하자.

그러면
$$f(g(t))=t^2$$
이 성립하고, 영역 $A$의 넓이 $S(t)$는 사각형에서 $f(x)$의 적분값을 빼주면 되므로
$$S(t)=2t^2g(t)-2\int_0^{g(t)}f(x)dx$$
가 성립한다. 이 내용을 이용하여 문제를 해결하자.

가) 
이 경우는 특수각이라 위의 내용 없이 그냥도 가능하다. $t=\sqrt{\frac{5}{2}}$인 경우 $x=\pm\frac{\pi}{3}$이 교점이 된다.

따라서 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= 2\int_0^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{5}{2}-5(1-\cos x)\right)dx \\ 
    &= -\frac{5}{3}\pi+5\sqrt{3}
\end{align}$$
이므로 거짓이다.

나)
면적이 $S(t)$이므로 면적의 증가속도는 $S'(t)$이다.

이제 면적의 증가속도의 변곡점을 물어보고 있으므로 $S'(t)$의 이계도함수, 즉, $S'''(t)$를 구해야 한다.
순서대로 계산해보면
$$\begin{align}
    S'(t) &= 4tg(t) \\ 
    S''(t)&= 4g(t)+4tg'(t) \\ 
    S'''(t)&= 8g'(t)+4tg''(t)
\end{align}$$
이 성립한다. 따라서
$$S'''\left(\frac{\pi}{2}\right)=8g'\left(\frac{\pi}{2}\right)+2\pi g''\left(\frac{\pi}{2}\right)$$
이 $0$이 되는지를 먼저 조사해야 한다. 

따라서 $g'(t), g''(t)$의 식을 구해야 하는데, 위에서 얻은 관계식인 $f(g(t))=t^2$을 정리해서 다시 쓰면
$$\cos g(t)=1-\frac{t^2}{5}$$
이므로
$$g(t)=\cos^{-1}\left( 1-\frac{t^2}{5}\right)$$
이다. 따라서 미분하면
$$\begin{align}
    g'(t) &= \frac{2t}{\sqrt{10t^2-t^4}} \\ 
    g''(t) &= \frac{2t^4}{(10t^2-t^4)^{\frac{3}{2}}}
\end{align}$$
임을 얻으므로
$$S'''\left(\frac{\pi}{2}\right)\neq 0$$
임을 알 수 있다. 따라서 변곡점이 아니다.

다)
면적 $S(t)$의 가속도인 $S''(t)$를 물어보고 있으므로
$$S''\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)=\frac{4}{3}\pi+\frac{8}{\sqrt{3}}$$
인지 확인하면 된다.

위에서 계산한 값을 이용하면
$$\begin{align}
    g\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right) &= \frac{\pi}{3} \\
    g'\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right) &= \sqrt{\frac{8}{15}}
\end{align}$$
이므로
$$\begin{align}
    S''\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right) &= 4g\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)+2\sqrt{10}g'\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right) \\ 
    &= \frac{4}{3}\pi+\frac{8}{\sqrt{3}}
\end{align}$$
이다. 따라서 참이다.

라)
윗면 길이 $l$은
$$l=2g(t)$$
이므로
$$\frac{dl}{dt}=2g'(t)$$
이다. 따라서 $g'(1)$을 구해보면 되는데, 위에서 계산해둔 식을 이용하면
$$g'(1)=\frac{2}{3}$$
이므로
$$\frac{dl}{dt}\bigg|_{t=1}=2g'(1)=\frac{4}{3}$$
이다. 따라서 참이다.



이상에서 옳은 것의 개수는 2이다.

 

 

 

2020 항공대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

문제에서 구하는 부피 $V$는 
$$x^2 +y^2 + z^2 = 81,\quad  z=\sqrt{\frac{4}{5}(x^2 + y^2)}$$
으로 둘러싸인 영역의 부피와 같다.

이제 원뿔면
$$z=\sqrt{\frac{4}{5}(x^2 + y^2)}$$
가 $z$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 $a$라 하면 
$$\tan a=\sqrt{\frac{5}{4}}$$
이므로 삼중적분과 구면좌표계를 이용하면 구하는 부피 $V$는
$$\begin{align}
    V &= \int_0^{2\pi}\int_0^a \int_0^9 \rho^2 \sin\phi d\rho d\phi d\theta \\ 
    &= 2\pi \times 3^5(1-\cos a) \\ 
    &= 162\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 항공대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

함수 $f(z)$를
$$f(z) = \frac{z}{(z+2)(z-2i)}$$
라 하면 주어진 경로 내의 특이점은 $z=-2, 2i$이다. 따라서 이 지점에서의 유수는
$$\begin{align}
    \underset{z=-2}{\text{Res}} f(z) &= \frac{1}{1+i} \\ 
    \underset{z=2i}{\text{Res}} f(z) &= \frac{i}{1+i}
\end{align}$$
이므로, 유수정리를 이용하면 주어진 복소선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 2\pi i\times \left(\underset{z=-2}{\text{Res}} f(z)+\underset{z=2i}{\text{Res}} f(z)\right) \\ 
    &= 2\pi i
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 항공대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

일계 선형 미분방정식이므로 공식을 이용하면
$$\begin{align}
    y &= e^{-x}\left(\int e^x \cos xdx+ C\right) \\ 
    &= \frac{\cos x+\sin x}{2}+Ce^{-x}
\end{align}$$
이다. 이제 초기조건을 이용하면 $C=\frac{1}{2}$이므로
$$y(\pi) = \frac{e^{-\pi}-1}{2}$$
이다.

 

 

 

2020 항공대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

경로 $C$는 폐곡선이므로 $C$의 내부를 $D$라 한 뒤 그린정리를 이용하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D (2xy^3 -x)dydx \\ 
    &= \frac{2}{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 항공대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

함수 $y(t)$의 라플라스 변환을 $F(s)$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$F(s) = \frac{e^{-2s}}{(s+3)^2 + 4^2}$$
이므로 역변환하면
$$y(t) = u(t-2)\left(\frac{1}{4}e^{-3(t-2)}\sin4(t-2)\right)$$
이다.

 

 

 

2020 항공대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

주어진 직선경로를 매개화하면
$$l(t) = (-3t+1, 1, 2t+1)\quad (0\leq t\leq 1)$$
이므로 주어진 벡터장에 의해 행하여진 일 $k$는
$$\begin{align}
    k &= \int_C F\circ dr \\ 
    &= \int_0^1 (-27t^2 + 22t - 1)dt \\ 
    &= 1
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 항공대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

원기둥 $S$의 내부를 $E$라 하고 발산정리를 이용하면 주어진 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iiint_E 4x^2dV \\ 
    &= 8\iint_{x^2 +y^2\leq 4}x^2dxdy \\ 
    &= 4\iint_{x^2 + y^2\leq 4}(x^2 + y^2)dxdy \\ 
    &= 32\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 항공대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

주어진 식을 다시 쓰면
$$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(a(x-b))^n}{n}$$
이므로 수렴반지름은 $\frac{1}{a}$이다. 

따라서 정답은 3번, 4번 중 하나이므로 $x=b+\frac{1}{a}$에서의 수렴성만 확인하자.

$x=b+\frac{1}{a}$를 대입하면 주어진 급수는
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$
와 수렴성이 같으므로 발산한다. 따라서 정답은 3번이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2020 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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