MIT Integration Bee 2017 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

MIT Integration Bee 2017 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

 

 

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  ■ MIT Integration Bee란?

1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다.

문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.

부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.

정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.

 

  ■ 시간제한은 몇 분인가요?

본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.

 

  ■ 이외의 규칙이 있나요?

문제 및 정답 표기 시 $\log$는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다.

또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 

추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.

 

  ■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요?

구글에 MIT Integration Bee를 검색하시면 MIT edu 페이지에서 공개된 문제를

확인하실 수 있습니다. 문제지는 2010년부터 공개되어 있습니다.

기본적으로 Qualifier 문제들만 공개되며, 2022년부터는 Qualifier 문제 및

Regular Season, Quarterfinal, Semifinal, Final문제가 전부 공개됩니다.

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안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 제목과 같이 2017 MIT Integration Bee 문제들의 정답과 해설을

다룹니다. 해설(풀이)은 전부 제 풀이이며 따라서 오류가 있을 수 있습니다.

 

추가로, 2017년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설 링크는 본문 가장 아래에 있습니다.

 

제 풀이에 오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

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2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 1번

$x^3+2=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{1}{3}\int \frac{1}{\sqrt{t}}dt\\ & =\frac{2}{3}\sqrt{t}\\ & =\frac{2}{3}\sqrt{x^3+2}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 2번

로그의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =-{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2}\ln \left(\frac{1}{x}\right)dx\\ & =-{\int }_0^1\ln tdt(\frac{1}{x}=t)\\ & =1\end{array}$$

이다.

 

 

 

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 3번

쌍곡함수의 정의를 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =2\int \frac{1}{e^x+e^{-x}}dx\\ & =2\int \frac{e^x}{e^{2x}+1}dx\\ & =2\int \frac{1}{t^2+1}dt(e^x=t)\\ & =2{\tan }^{-1}t\\ & =2{\tan }^{-1}(e^x)\end{array}$$

이다.

 

 

 

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 4번

$x^2=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{1}{2}\int t{e}^{t}dt\\ & =\frac{1}{2}(t-1)e^t\\ & =\frac{1}{2}(x^2-1)e^{x^2}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 5번

$\frac{1}{x}=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_{\frac{1}{2}}^1\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt\\ & =\frac{\pi }{3}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 6번

부분분수 분해를 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{x}{x^2(x^2+1)}dx\\ & ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1})dx\\ & =\ln \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}{|}_1^{\mathrm{\infty }}\\ & =\frac{1}{2}\ln 2\end{array}$$

이다.

 

 

 

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 7번

$x=\cosh t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int t\sinh tdt\\ & =t\cosh t-\sinh t\\ & =x{\cosh }^{-1}x-\sqrt{{\cosh }^{2}x-1}\\ & =x{\cosh }^{-1}x-\sqrt{x^2-1}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 8번

지수를 완전제곱식으로 만들면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2{(x+\frac{5}{4})}^2+\frac{1}{8}}dx\\ & =e^{\frac{1}{8}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2x^2}dx\\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{\frac{1}{8}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t^2}dt(\sqrt{2}x=t)\\ & =\sqrt{\frac{\pi }{2}}{e}^{\frac{1}{8}}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 9번

$\sqrt{x}=t$로 치환한 뒤 부분적분하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =2\int t\sin tdt\\ & =2(-t\cos t+\sin t)\\ & =2\sin \sqrt{x}-2\sqrt{x}\cos \sqrt{x}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 10번

전개하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^2}{(x^2+1{)}^2}dx\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}tdt(x=\tan t)\\ & =\frac{\pi }{4}\end{array}$$

이다. 마지막 줄의 계산은 (월리스 공식)을 이용하였다.

 

 

 

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 11번

미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 

$$(e^{-x}f(x){)}^{\prime }=e^{-x}(f^{\prime }(x)-f(x))$$

임을 이용하자. $f(x)=-\frac{1}{x^2}$이라고 하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int e^{-x}(\frac{2}{x^3}+\frac{1}{x^2})dx\\ & =\int e^{-x}(\frac{2}{x^3}-(-\frac{1}{x^2}))dx\\ & =\int e^{-x}(f^{\prime }(x)-f(x))dx\\ & =e^{-x}f(x)\\ & =-\frac{e^{-x}}{x^2}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 12번

베타함수와 감마함수를 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\mathrm{B}(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\times \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }(1)}\\ & =\pi \end{array}$$

이다.

 

 

 

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 13번

분자, 분모에 $e^x$를 곱하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^x(e^{2x}-1)}{e^{2x}(e^{2x}+1)}dx\\ & ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{t^2-1}{t^2(t^2+1)}dt\\ & ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}(\frac{t^2-1}{t^2}-\frac{t^2-1}{t^2+1})dt\\ & ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}(\frac{2}{t^2+1}-\frac{1}{t^2})dt\\ & =\frac{\pi }{2}-1\end{array}$$

이다.

 

 

 

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 14번

$x=\frac{\pi }{2}-t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1+\cos x}dx\\ & =\sqrt{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}|\cos \frac{t}{2}|dt\\ & =2\sqrt{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\cos udu(t=2u)\\ & =2\end{array}$$

이다.

 

 

 

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 15번

모든 자연수 $n$에 대해 

$$y_{n+1}=\frac{1}{1+y_n}$$

이다. 이제 $y_n⟶y$라고 하면 

$$y=\frac{1}{1+y}⟹y^2+y-1=0$$

이다. 이제 부호를 고려했을 때 $y$에 대해 이차방정식을 풀면 

$$y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

임을 얻는다. 따라서 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^1\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_{n}dx\\ & ={\int }_0^1\frac{\sqrt{5}-1}{2}dx\\ & =\frac{\sqrt{5}-1}{2}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 16번

$$\sin (x+\frac{\pi }{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x+\cos x)$$

이므로

$$si{n}^2(x+\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}+\sin x\cos x$$

이다. 이를 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2}+\sin x\cos x)e^{-x^2}dx\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-x^2}}{2}dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx\\ & =\frac{\sqrt{\pi }}{2}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 17번

$x^3=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(t+1{)}^2{e}^{-t^2-2t}dt\\ & =e\times {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(t+1{)}^2{e}^{-(t+1{)}^2}dt\\ & =e\times 2\times \frac{\sqrt{\pi }}{4}\\ & =\frac{e\sqrt{\pi }}{2}\end{array}$$

이다. 마지막 줄의 계산은

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{4}$$

임을 이용하였다.

 

 

 

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 18번

\구하는 값을$I$라 하자. $x=\frac{\pi }{2}-t$로 치환하면

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\tan }^{2017}t}{{\tan }^{2017}t+1}dt\\ & =I\end{array}$$

이다. 둘을 더하면 

$$\begin{array}{rl}I+I& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\tan }^{2017}x+1}{{\tan }^{2017}x+1}dx\\ & =\frac{\pi }{2}\\ & =2I\end{array}$$

이다. 따라서 주어진 적분은

$$\text{(Integral)}=I=\frac{\pi }{4}$$

이다.

 

 

 

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 19번

부분적분을 두 번 시행하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{e^{2x}}{13}(3\sin (3x)+2\cos (3x))\end{array}$$

이다.

 

 

 

2017 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 20번

$(\cos x{)}^{\cos x}=t$라고 치환하자. 그러면

$$\begin{array}{rl}dt& =-\sin x(\cos x{)}^{\cos x}(1+\ln \cos x)dx\\ & =-\cos x\tan x(\cos x{)}^{\cos x}(1+\ln \cos x)dx\end{array}$$

이다. 따라서 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =-\int 1dt\\ & =-t\\ & =-(\cos x{)}^{\cos x}\end{array}$$

이다.

 

 

 

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이상으로 2017 MIT Integration Bee 문제들에 대한 제 풀이를 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

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