MIT Integration Bee 2019 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

MIT Integration Bee 2019 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

 

 

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  ■ MIT Integration Bee란?

1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다.

문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.

부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.

정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.

 

  ■ 시간제한은 몇 분인가요?

본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.

 

  ■ 이외의 규칙이 있나요?

문제 및 정답 표기 시 $\log$는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다.

또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 

추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.

 

  ■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요?

구글에 MIT Integration Bee를 검색하시면 MIT edu 페이지에서 공개된 문제를

확인하실 수 있습니다. 문제지는 2010년부터 공개되어 있습니다.

기본적으로 Qualifier 문제들만 공개되며, 2022년부터는 Qualifier 문제 및

Regular Season, Quarterfinal, Semifinal, Final문제가 전부 공개됩니다.

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안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 제목과 같이 2019 MIT Integration Bee 문제들의 정답과 해설을

다룹니다. 해설(풀이)은 전부 제 풀이이며 따라서 오류가 있을 수 있습니다.

 

추가로, 2019년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설 링크는 본문 가장 아래에 있습니다.

 

제 풀이에 오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

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2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 1번

주어진 적분을 $I$라고 하자. $x=2\pi -t$로 치환하면 

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_{2\pi }^0\tan (\cos (2\pi -t))dt\\ & =-{\int }_0^{2\pi }\tan (\cos t)dt\\ & =-I\end{array}$$

이므로 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =I\\ & =0\end{array}$$

이다.

 

 

 

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 2번

치환적분을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int (1+\frac{1}{x})\frac{1}{x+\ln x}dx\\ & =\int \frac{1}{t}dt(x+\ln x=t)\\ & =\ln t\\ & =\ln (x+\ln x)\end{array}$$

이다.

 

 

 

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 3번

지수법칙을 통해 식을 정리하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int e^x(e^{e^x}+e^{-e^x})dx\\ & =\int (e^t+e^{-t})dt(e^x=t)\\ & =e^t-e^{-t}\\ & =e^{e^x}-e^{-e^x}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 4번

적분 공식

$$\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln \left(\frac{a+x}{a-x}\right)$$

와 대칭성을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =2{\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{1-x^2}dx\\ & =\ln 3\end{array}$$

이다.

 

 

 

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 5번

로그의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^2{x}^{\ln 2}dx\\ & =\frac{1}{1+\ln 2}{2}^{1+\ln 2}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 6번

대칭성과 삼각함수의 직교성과 (Wallis 공식)을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_{-2\pi }^{2\pi }({\cos }^2(3x)-\sin 2x\sin (2019x))dx\\ & ={\int }_{-2\pi }^{2\pi }{\cos }^2(3x)dx\\ & =2\pi \end{array}$$

이다.

 

 

 

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 7번

$\sin \sin \sin x=t$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int 1dt\\ & =t\\ & =\sin \sin \sin x\end{array}$$

이다.

 

 

 

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 8번

${\displaystyle \frac{\sqrt{2019}}{2t}=u}$로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{2}{\sqrt{2019}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-u^2}du\\ & =\sqrt{\frac{\pi }{2019}}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 9번

$x=t^2$으로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =2\int t\sin tdt\\ & =2(-t\cos t-\sin t)\\ & =2\sin \sqrt{x}-2\sqrt{x}\cos \sqrt{x}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 10번

$x=t^2$으로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =2{\int }_0^1\frac{t^2}{t^2+1}dt\\ & =2{\int }_0^1(1-\frac{1}{t^2+1})dt\\ & =2(1-\frac{\pi }{4})\end{array}$$

이다.

 

 

 

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 11번

삼각함수의 곱을 합으로 바꾸면

$$\cos x\cos 2x=\frac{\cos 3x+\cos x}{2}$$

가 성립하므로 직교성과 (Wallis 공식)을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }({\cos }^2(3x)+\cos x\cos 3x)dx\\ & =\frac{1}{2}\times \pi \end{array}$$

이다.

 

 

 

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 12번

극한과 적분의 순서를 바꾸면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-x^{2n}}dx\\ & ={\int }_{-1}^{1}1dx\\ & =2\end{array}$$

이다.

 

 

 

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 13번

로그의 성질을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{e}edx\\ & =e^2\end{array}$$

이다.

 

 

 

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 14번

삼각함수의 합을 곱으로 바꾸면

$$\sin (20x)+\sin (19x)=2\sin \frac{39}{2}x\cos \frac{1}{2}x$$

$$\cos (20x)+\cos (19x)=2\cos \frac{39}{2}x\cos \frac{1}{2}x$$

이다. 따라서 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{\frac{\pi }{100}}\tan \frac{39}{2}xdx\\ & =-\frac{2}{39}\ln \cos \frac{39\pi }{200}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 15번

${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$와 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$

임을 이용하여 식을 전부 전개한 뒤 적분하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{e^x\sin 2x}{2}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 16번

삼각함수의 덧셈정리를 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\sqrt{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx\\ & =\frac{\sqrt{2}}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{(\sin x+\cos x)-(\cos x-\sin x)}{\sin x+\cos x}dx\\ & =\frac{\sqrt{2}}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x})dx\\ & =\frac{\sqrt{2}\pi }{4}\end{array}$$

이다.

 

 

 

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 17번

$x=t^3$으로 치환하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =3\int \frac{t^2}{t^3+t}dt\\ & =3\int \frac{t}{t^2+1}dt\\ & =\frac{3}{2}\ln (t^2+1)\\ & =\frac{3}{2}\ln (x^{\frac{2}{3}}+1)\end{array}$$

이다.

 

 

 

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 18번

피적분함수를 다시 쓰면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^2(x^{x^x}{)}^{\prime }dx\\ & =15\end{array}$$

이다.

 

 

 

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 19번

부분분수 분해를 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\int (\frac{2}{x}-\frac{3}{x(x^3+1)})dx\\ & =2\ln x-3\int \frac{x^2}{x^3(x^3+1)}dx\\ & =2\ln x-3\int (\frac{1}{x}-\frac{x^2}{x^3+1})dx\\ & =2\ln x-3(\ln x-\frac{1}{3}\ln (x^3+1))\\ & =\ln (x^2+\frac{1}{x})\end{array}$$

이다.

 

 

 

2019 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 20번

${\tan }^{-1}x=t$라고 하자 그러면 $\tan t=x$이다.

한편 피적분함수는 $\cos t$이고 삼각함수의 성질을 이용하면 

$$\cos t=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$

이다. 따라서 주어진 적분은

$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\sinh }^{-1}x\end{array}$$

이다.

 

 

 

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이상으로 2019 MIT Integration Bee 문제들에 대한 제 풀이를 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

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