수학올인의 수학 기록

2025학년도 9월 모의고사 수학 15번 풀이 (250915 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이(가)에 $x=1, -1$을 대입하면 두 등식 $$\int_{-1}^1 xf(x)dx = \int_{-1}^1 xg(x)dx = 8$$ 을 얻는다. 이제 주어진 식을 미분하면 $$xf(x)+xg(x) = 12x^3 + 24x^2 - 6x$$ 임을 얻는다. 그런데 $f(x)=xg'(x)$이므로 이를 이용하여 식을 다시 쓰면 $$x^2g'(x) + xg(x) = 12x^3 + 24x^2 - 6x$$ 가 된다.  함수 $xg'(x) + g(x)$는 다항함수이고, 연속이므로 양변을 $x$로 나눠주면$$xg'(x) + g(x) = 12..

2025학년도 9월 모의고사 수학 21번 풀이 (250921 풀이)  안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학 21번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이가장 먼저 이런류 문제가 나왔을 때 체크할 것은 각 경계가 같아지는 순간을 확인하는 것이다.따라서 방정식 $$4k^2+14k=2k-8$$ 을 풀면  $$k=-2, -1$$ 을 얻는다. 이제 다음과 같은 사실이 성립함을 이용하자.무슨 의미냐 하면, 우리가 어떤 함수 $f(x)$가 주어졌을 때 미분이라는 연산을 통해 $f'(x)$를 구하는 것 처럼, 어떤 함수 $f(x)$가 주어지면 $f(x+2)-f(x)$를 구하는 연산을 생각해보자는 것이다.(마치 미분처럼, 반대로 $f(x+2)-f(x)$를 통해 $f(x)$도 구할 수 ..

2025학년도 9월 모의고사 수학 22번 풀이 (250922 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다. 풀이는 역추적과 정추적을 둘 다 다뤄보겠습니다.   문제   풀이역추적을 이용한 풀이)먼저 $a_5 = 0$으로 쓸 수 있고, 첨자가 하나 낮아질 때 마다 $\frac{2}{3}k$를 더하거나, $-\frac{1}{k}$가 곱해지는 규칙을 통해수열의 이전 항을 얻을 수 있다. 이를 통해 수형도를 그리면 다음과 같다.이제 조건을 만족하는 경우 (번호가 부여된 케이스)에 대해 이어서 진행하면 아래와 같다.이상에서 구하는 값은 $8$이다.   정추적을 이용한 풀이)가장 먼저 (나)를 이용하면$$a_{n+1} = a_n - \frac{2}..

2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (250928 풀이)  안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이함수 $g(x)$의 역함수가 존재하고, $g(0)=0, g(1)=1$이므로 다음이 성립한다. (그림을 생각하자) $$\int_0^1 g(x)dx + \int_0^1 g^{-1}(x)dx = 1$$ 따라서 주어진 식을 다시 쓰면 $$2\int_0^1 f'(2x)\sin \pi xdx + \frac{1}{4} = 1-\int_0^1 g(x)dx$$ 이고 $g(x)$를 대입한 뒤 식을 정리하면 $$\int_0^1 f'(2x)\sin\pi xdx = \frac{1}{12}$$ 임을 얻는다. 이제 구하는 값에 치환..

2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 29번 풀이 (250929 풀이)  안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 29번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이가장 먼저 $a_1 = S_1$이므로  $$\begin{align} a_1 &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+2)} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)\\ &= \frac{3}{2}\end{align}$$ 이다.  또, $a_{10} = S_{10} - S_9$인데, 위와 비슷하게 $$\begin{align} S_{10} &= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1..

2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (250930 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이직접 $F(x) - f(x)$를 구해보자. 구간을 나눠 직접 적분해보면 $$F(x) - f(x) = \begin{cases} -(2x+2k+1)e^{-x}+C & (x\leq 0) \\ (2x-2k+1)e^{-x} + C - 2 & (x>0) \end{cases}$$ 이고 이 함수가 $0$이상이어야 하므로 $$\begin{align} C \geq (2x+2k+1)e^{-x} \quad &(x\leq 0) \\ C\geq 2-(2x-2k+1)e^{-x}\quad &(x>0)\end{align}$$ 이 성립해..

2024학년도 9월 모의고사 수학 미적분 28번 풀이 (240928 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 9월 모의고사 수학 미적분 28번을 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 함수 $f(x)$의 그래프를 그리면 다음과 같다. 이때, $x0$에서의 주기의 절반의 적분값은 $\frac{2}{a}$이다. 이를 구하는 이유는 적분을 했을 때 도함수의 부호 있는 넓이를 원함수의 함숫값의 차로 해석할 수 있기 때문이다. (미적분학의 기본정리) 새로운 함수 $$h(x)= \int_{-a\pi}^x f(t)dt$$ 의 그래프를 그리면 아래와 같다. 이때 $g(x)=|h(x)|$이므로 $g(-a\pi)=h(-a\pi)=0$임을 안다. 그런데 함수 $g(x)$는 미분가능하므로, $$h'(-a\pi)=..

2024학년도 9월 모의고사 수학 13번 풀이 (240913 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 9월 모의고사 수학 13번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 주어진 함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로, 미분하면 $$f'(x) = \begin{cases} -x^2 -2ax - b & (x

2024학년도 9월 모의고사 수학 14번 풀이 (240914 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 9월 모의고사 수학 14번을 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 경계가 되는 $k$의 값이 $3\leq k -8$에서만 생각해 보면) $6$이 함숫값으로 존재할 수도, 그렇지 않을 수도 있는데, 문제의 조건에서 모든 실수 $k$의 값의 범위가 $3\leq k < 4$라는 말은 $x\leq -8$에서 $f(x)=6$을 만족시키는 어떤 실수 $x$가 반드시 존재한다는 말과 같다..

2024학년도 9월 모의고사 미적분 30번 풀이 (240930 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 마찬가지로 이번 포스팅은 지난 포스팅들에 이어 2024학년도 9월 모의고사 수학 (미적분) 30번을 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 아래 그림처럼 원의 중심을 O라고 하고 두 선분 OP, OB가 이루는 각을 $\alpha$라 하자. 그러면 구하는 $S(\theta)$는 $$S(\theta) = 2\times \frac{1}{2}\times 5\sin\alpha (1+5\cos \alpha)$$ 이다. 한편 $\theta$와 $\alpha$의 관계식을 구하면 $$\tan\theta = \frac{5\sin\alpha}{1+5\cos\alpha}$$ 가 성립한다. 첫 번째 식의 양변을 $\theta$로 미분하면 $$S..