[편입] 2025 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2025 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2025년 항공대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 항공대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

항공대의 경우 최근 2~3년 문제지만 공유하며, 년도가 바뀔 때마다 시험지를 입학처 홈페이지에서 삭제합니다.

따라서 시험지가 필요하신 분은 미리 입학처에서 다운로드를 받아두시기 바랍니다.

(항공대학교 입학처 - 편입학 - 지난기출문제)

 

2025년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

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2025 항공대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

주어진 미분방정식을 상수계수 미분방정식으로 변환하면
$$y^{″}-3y^{\prime }+2y=0,y(0)=1,y^{\prime }(0)=3$$
이 되고, 구하는 값은 $y(\ln 2)$와 같다.

함수 $y$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{array}{rl}Y& =\frac{s+3-3}{(s-1)(s-2)}\\ & =\frac{2}{s-2}-\frac{1}{s-1}\end{array}$$
이므로 역변환하면
$$y=2e^{2t}-e^t$$
이다. 따라서
$$y(\ln 2)=6$$
이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

주어진 미분방정식은
$$\frac{y^{\prime }}{y^2}=2x$$
와 같이 변수분리가 가능하다. 양변을 적분하면
$$-\frac{1}{y}=x^2+C$$
에서 $y(1)=\frac{1}{2}$이므로 $C=-3$이다.

식을 정리하여 다시 쓰면
$$y(x)=\frac{1}{3-x^2}$$
이므로
$$y(3)=-\frac{1}{6}$$
이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

고유특성다항식이 중근을 갖는 경우를 고르면 되고, 해보면 3번의 경우
$${\lambda }^2-6\lambda +9=(\lambda -3{)}^2$$
이 되어 대각화가 불가능하다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

계산을 통해 구하는 행렬식의 값은 $-6$임을 알 수 있다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

영역 $D$의 내부와 경계로 나누어 계산하자.

i) 영역의 내부
임계점을 찾기 위해 편도함수를 구해보면
$$\begin{array}{rl}{f}_x& =16x\\ f_y& =4\end{array}$$
에서 임계점이 존재하지 않는다.



ii) 영역의 경계
$$4x^2+y^2=16$$
이므로 식을 변형하면
$$8x^2=32-2y^2$$
이고, 이때 $y$의 범위는 $-4\le y\le 4$이다. 

따라서
$$\begin{array}{rl}f(x,y)& =-2y^2+4y+32\\ & =-2(y-1{)}^2+34(-4\le y\le 4)\end{array}$$
이고 $y=1$일 때 최댓값 $34$, $y=-4$일 때 최솟값 $-16$을 가지므로
$$\frac{m}{M}=-\frac{8}{17}$$
이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

ㄱ.
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{\ln n}=\mathrm{\infty }$$
이므로, 주어진 일반항의 극한도 $\mathrm{\infty }$가 된다. 따라서 수렴하지 않는다.

ㄴ. 
비율판정법으로부터
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3n+2}{4n+3}$$
이므로
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3}{4}<1$$
이 되어 수렴한다.

ㄷ.
적분판정법으로부터 발산한다.



이상에서 수렴하는 급수의 개수는 1이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

분자, 분모를 $\cos x$로 나눈 뒤 테일러전개하면 주어진 극한은
$$\begin{array}{rl}\text{(Limit)}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{x-\tan x}{2x^2\tan x}\\ & \approx \underset{x\to 0}{lim}\frac{x-(x+\frac{1}{3}{x}^2)}{2x^3}\\ & =-\frac{1}{6}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

주어진 미분방정식은 완전미분방정식이다. 따라서 $dx,dy$에 곱해진 항들을
각각의 변수로 적분한 뒤 합집합 한
$$x^{3}y+2x{y}^3=C$$
를 해로 갖는다. 따라서
$$a=1,b=2,m+n+v+w=8$$
이므로 구하는 값은 $4$이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

이 포스팅에서는 미분방정식을 변형하는 풀이와 변형하지 않는 풀이를 모두 소개한다.



[풀이 1]
주어진 미분방정식에 $t=0$을 대입하면 $y^{\prime }(0)=0$임을 얻는다.
이제 주어진 미분방정식의 양변을 미분하면
$$y^{″}+y^{\prime }-6y=0,y(0)=5,y^{\prime }(0)=0$$
이 되므로, 함수 $y(t)$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{array}{rl}Y& =\frac{5s+5}{(s+3)(s-2)}\\ & =\frac{2}{s+3}+\frac{3}{s-2}\end{array}$$
에서 역변환하면
$$y=2e^{-3t}+3e^{2t}$$
이다. 따라서 구하는 값은
$$y(\ln 2)=\frac{1}{4}+12=\frac{49}{4}$$
이다.



[풀이 2]
함수 $y(t)$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
라플라스 변환의 성질로부터
$$sY-5+Y-\frac{6Y}{s}=\frac{5}{s}$$
에서 식을 $Y$에 대해 풀면
$$\begin{array}{rl}Y& =\frac{5s+5}{s^2+s-6}\\ & =\frac{2}{s+3}+\frac{3}{s-2}\end{array}$$
에서 역변환하면 위와 동일한 결론을 얻게 되어 
$$y(\ln 2)=\frac{49}{4}$$
가 된다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

ㄱ. 
대각행렬 $B$를 $A$의 오른쪽에 곱하면 행렬 $A$의 각 열을 $B$의 대각성분만큼 스칼라배 하는 것이고
왼쪽에 곱하면 $A$의 각 행을 $B$의 대각성분만큼 스칼라배 하는 것이 된다.
따라서 같지 않을 것임을 유추할 수 있다. 구체적인 반례는 두 행렬 $A,B$를
$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$$
라 하면
$$AB=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 0\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\end{array}\right)$$
이므로 거짓이다.

ㄴ. 
대칭행렬의 성질로부터
$$(A{A}^T{)}^T=(A^T{)}^T{A}^T=A{A}^T$$
가 되어 참이다.

ㄷ. 
반례는 다음과 같다 : 
$$A=I,B=-2I$$
이면
$$\text{tr}(A)=2\ge \text{tr}(B)=-4$$
이지만
$$A^2=I,B^2=4I$$
이므로
$$\text{tr}(A^2)=2\le \text{tr}(B^2)=8$$
이 되어 거짓이다.

ㄹ.
반례는 다음과 같다 :
$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -2\end{array}\right)$$
이면
$$detA=-1\ge detB=-2$$
이지만
$$det{A}^2=1\le det{B}^2=4$$
이므로 거짓이다.



이상에서 옳은 것의 개수는 1이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

구하는 값을 보면 $a,b$는 일반해에 관련되어 있고, $A,B$는 특수해에 관련되어있다.

주어진 미분방정식의 보조방정식은
$$r^2-r-6=(r-3)(r+2)=0$$
이므로 $a=-2,b=3$이다. (둘이 순서가 바뀌더라도 상관없다.)

주어진 미분방정식의 특수해 $y_p$는 역연산자를 이용하면
$$\begin{array}{rl}{y}_p& =\frac{1}{(D-3)(D+2)}\left\{x{e}^x\right\}\\ & =e^x\frac{1}{(D-2)(D+3)}\left\{x\right\}\\ & =e^x\frac{1}{D^2+D-6}\left\{x\right\}\\ & =-\frac{e^x}{6}\frac{1}{1-\frac{1}{6}D-\frac{1}{6}{D}^2}\left\{x\right\}\\ & \approx -\frac{e^x}{6}(1+\frac{D}{6})\left\{x\right\}\\ & =-\frac{e^x}{6}(x+\frac{1}{6})\\ & =-\frac{x{e}^x}{6}-\frac{1}{36}{e}^x\end{array}$$
이므로
$$A=-\frac{1}{6},B=-\frac{1}{36}$$
에서 구하는 값은 $-36$이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

분모를 완전제곱식으로 고치면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^1\frac{x}{\sqrt{4-(x+1{)}^2}}dx\\ & ={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{2\sin t-1}{2\cos t}\times 2\cos tdt\\ & ={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}(2\sin t-1)dt\\ & =\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

주어진 두 함수를 미분해보면
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\frac{g^{\prime }(x)}{\sqrt{1+g(x{)}^3}}\\ g^{\prime }(x)& =-\sin x\sqrt{1+\sin (\cos x)+\cos (\cos x)}\end{array}$$
이고
$$g\left(\frac{\pi }{2}\right)=0,g^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\sqrt{2}$$
이므로
$$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\sqrt{2}$$
이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

주어진 두 극곡선의 교각 중 가장 작은 양수 $\theta$를 구해보면
$$\cos 2\theta =\frac{1}{2}$$
에서
$$\theta =\frac{\pi }{6}$$
이다.

이제 구하는 영역의 넓이는 
$$\frac{\pi }{6}\le \theta \le \frac{\pi }{4}$$
에서 주어진 두 극곡선으로 둘러싸인 넓이의 두배이므로 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{array}{rl}S& =2\times \frac{1}{2}{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}({\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\cos }^2(2\theta ))d\theta \\ & ={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}(\frac{1}{4}-\frac{1+\cos 4\theta }{2})d\theta \\ & =-\frac{\pi }{48}-\frac{1}{2}{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\cos 4\theta d\theta \\ & =\frac{3\sqrt{3}-\pi }{48}\end{array}$$
이다. 눈치가 빠르다면 세 번째 등호까지만 계산했을 때 선택지를 보면
$\pi$가 들어있는 항이 일치하는 선지는 4번 뿐이므로 답을 바로 고를 수 있다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

문제에서 주어진 포물면과 평면으로 둘러싸인 영역을 $E$라 하자.
영역 $E$는 닫힌 영역이므로 발산정리를 이용할 수 있고, 
$$\text{div}F=2z$$
이므로 발산정리로부터 구하는 유량은
$$\begin{array}{rl}\text{(Flux)}& ={\iiint }_z^{3-x^2-y^2}2zdzdxdy\\ & ={\iint }_{x^2+y^2\le 1}((3-x^2-y^2{)}^2-4)dxdy\\ & ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{1}r((3-r^2{)}^2-4)drd\theta \\ & =2\pi \times \frac{1}{2}{\int }_2^3(t^2-4)dt(3-r^2=t)\\ & =\frac{7}{3}\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

두 벡터장
$$\begin{array}{rl}P& =(\frac{x^5+x^3{y}^2}{x^2+y^2},\frac{x^2\cos y+y^2\cos y}{x^2+y^2})\\ Q& =(-\frac{y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2})\end{array}$$
을 생각하면 주어진 벡터장 $F$는
$$F=P+Q$$
를 만족시킨다. 이때 벡터장 $P$의 식을 약분하여 다시 쓰면
$$P=(x^3,\cos y)$$
이므로 $P$에 대한 선적분은 $0$이다.

또, $Q$에 대한 선적분은 원점을 중심으로 한 바퀴를 회전했으므로 회전각인 $2\pi$이다.

따라서 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_{C}P+{\int }_{C}Q\\ & =0+2\pi \\ & =2\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

문제에서 주어진 벡터 $\mathrm{x}$를
$$\mathrm{x}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$
라 하자. 그러면
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{x}}^{\mathit{T}}\mathit{A}\mathrm{x}& =\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ -1& 8\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2x+5y\\ -x+8y\end{array}\right)\\ & =2x^2+4xy+8y^2\end{array}$$
이고
$${\mathrm{x}}^{\mathit{T}}\mathit{b}=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\end{array}\right)=-2x+4y$$
이다. 따라서 함수
$$\begin{array}{rl}f(x,y)& ={\mathrm{x}}^{\mathit{T}}\mathit{A}\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^{\mathit{T}}\mathit{b}\\ & =2x^2+4xy+8y^2-2x+4y\end{array}$$
가 최소가 되도록 하는 $x,y$에 대하여 $x+y$의 값을 구하면 된다.

임계점을 구하기 위해 편미분하면
$$\begin{array}{rl}{f}_x& =4x+4y-2=0\\ f_y& =4x+16y+4=0\end{array}$$
에서 함수 $f(x,y)$가 최소가 되도록 하는 점 $(x,y)$는 임계점이므로 위의 두 식을 만족시킨다.
한편 구하는 값을 보면 $x+y$를 구하면 되므로, 연립하지 말고 첫 식을 정리하면
$$x+y=\frac{1}{2}$$
임을 얻는다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

주어진 두 벡터를 일차결합하여
$$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -1\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right)$$
로 쓸 수 있음을 이용하면
$$\begin{array}{rl}{A}^3\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -1\end{array}\right)& =A^3(2\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right))\\ & =2\times 2^3\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)-3\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -3\end{array}\right)\end{array}$$
이므로 구하는 모든 성분의 합은
$$16-3\times 0=16$$
이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\int }_0^{\sin x}\cos x\sqrt{3+{\cos }^{2}x}dydx\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin x\cos x\sqrt{3+{\cos }^{2}x}dx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_3^4\sqrt{t}dt(3+{\cos }^{2}x=t)\\ & =\frac{8}{3}-\sqrt{3}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

주어진 함수 $f$의 그래디언트는
$$\mathrm{\nabla }f=(2x{e}^{x^2-y^2},-2y{e}^{x^2-y^2},3)$$
이므로, 점 $\mathrm{P}$에서 함수 $f$의 경도벡터는
$$\mathrm{\nabla }f(P)=(0,0,3)$$
이고, 점 $\mathrm{P}$에서의 최대변화율은 경도벡터의 크기와 같으므로
$$M=3⟹\frac{M}{3}=1$$
이다.

이때, 어차피 방향도함수를 논하고 있고, 구하는 값을 보면 단위벡터가 되므로 벡터 $v$를
단위벡터로 가정해도 된다. 즉,
$$v=(x,y,z)$$
라 하면
$$x^2+y^2+z^2=1$$
을 만족시킨다.

이제 점 $\mathrm{P}$에서 단위벡터 $v$방향으로의 방향미분값이 $1$이므로
$$(0,0,3)\circ v=1$$
에서 
$$z=\frac{1}{3}$$
임을 얻는다.

따라서 벡터 $v$의 끝점이 만드는 도형은
$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=1\\ z=\frac{1}{3}\end{array}$$
의 교선이므로, 둘을 연립하면
$$x^2+y^2=\frac{8}{9},z=\frac{1}{3}$$
이다. 이는 평면 $z=\frac{1}{3}$위에 놓여있는 반지름의 길이가 
$$r=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$
인 원이므로, 구하는 도형의 둘레는 원의 둘레인
$$2\pi r=\frac{4\sqrt{2}}{3}\pi$$
이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2025 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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