수학올인의 수학 기록

MIT Integration Bee 2025 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)  ■ MIT Integration Bee란?1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.   ■ 시간제한은 몇 분인가요?본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.   ■ 이외의 규칙이 있나요?문제 및 정답 표기 시 $\log$는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.   ■..

2025학년도 수능 수학 22번 풀이 (251122 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이(나)조건으로부터 다음의 세 식을 얻을 수 있다. $$\begin{cases} |a_1| \neq |a_3| \\ |a_2| \neq |a_3| \\ |a_3| = |a_5| \end{cases}$$  이제 $|a_3| = |a_5|$로부터 가능한 경우를 찾아보자. i) $a_3$가 홀수인 경우 (부호 고려 X)$a_3$으로부터 $a_5$를 얻으면 $$|a_3| = \left|\frac{a_3 - 1}{2}\right|$$ 에서 $a_3 = -3, 1$이다. ii) $a_3$가 짝수인 경우 (부호 고려 X, $0$도 짝수로 간주)만약 $a_..

2025학년도 수능 수학(미적분) 30번 풀이 (251130 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이먼저 $f(0)=0$이라는 조건으로부터 $$\sin b = 0$$ 을 얻고, 이 말은 곧 정수 $m$에 대하여 $$b=m\pi$$ 꼴임을 알 수 있다. 다음으로 $f(2\pi) = 2\pi a+ b$임을 이용하면 $$\sin(2\pi a + b) = 2\pi a + b$$ 임을 얻는데, 방정식 $\sin x = x$의 실근은 $x=0$뿐이므로 $$2\pi a + b = 0$$ 이어야 함을 얻는다. 따라서  $$a= -\frac{m}{2}$$ 이고 $m$이 정수이므로 주어진 $a$의 범위를 생각했을 때 가능한 $a$의 값은$$a=1, ..

2025학년도 수능 수학(미적분) 29번 풀이 (251129 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학(미적분) 29번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이조건을 살펴보면 $$\sum_{n=1}^{\infty} (|a_n| + a_n) = \frac{40}{3}$$ 이므로 $a_n$의 양수 항들의 합이 $\frac{20}{3}$이고, $$\sum_{n=1}^{\infty} (|a_n| - a_n) = \frac{20}{3}$$ 이므로 $a_n$의 음수 항들의 합이 $-\frac{10}{3}$이다. 그리고 이 말은 공비가 $r=-\frac{1}{2}$라는 말과 같고,양수항만 취한다고 하면 음, 양이 번갈아가며 나오는 것을 생각했을 때 공비는 $r^2 = \frac{1}{4}$가..

2025학년도 수능 수학 15번 풀이 (251115 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이먼저 함수 $g(x)$가 미분가능하다는 조건으로부터 $$f(x) = kx^2 + 15x + 7$$ 임을 알 수 있고,  $$g'(x) = \begin{cases} 3x^2 + 2ax + 15 \quad (x\leq 0) \\ 2kx + 15 \quad (x>0) \end{cases}$$ 이다. $k0$에서 실근을 한 개 갖고, $a\neq 3\sqrt{5}$이므로 방정식 $3x^2 + 2ax + 15 = 0$은 두 실근을 갖거나, 실근을 갖지 않거나 두 경우 뿐이다. 즉, 방정식 $g'(x)=0$은 세 실근을 갖거나 실근을 한 개 갖는다.그..

2025학년도 수능 수학 21번 풀이 (251121 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학 21번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이삼차함수 $f(x)$에 대하여 방정식 $$f(x)=0$$ 은 반드시 실근을 적어도 하나는 갖는다.  따라서 문제에서 주어진 삼차함수 $f(x)$에 대하여 $f(t)=0$인 어떤 실수 $t$가 존재함을 알 수 있다. 그런데 모든 실수 $\alpha$에 대해 주어진 극한이 수렴해야 하므로 분자도 $0$으로 가야한다, 즉, $$f(t)=0\quad\Longrightarrow\quad f(2t+1) = 0$$ 임을 얻는다. 그런데 $\alpha=2t+1$이라고 하고 위 과정을 반복하면 (즉, $2t+1$로의 극한을 생각하면)$$\begin{alig..

2025학년도 수능 수학 20번 풀이 (251120 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학 20번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이함수 $y=\left(\frac{1}{5}\right)^{x-3}$은 감소함수이므로 $y=x$와 정확히 한 점에서만 만난다. 문제의 조건으로부터 이 교점의 $x$좌표를 $k$라 하였으므로 $$\left(\frac{1}{5}\right)^{k-3} = k$$ 가 성립한다. 이제 양변을 세제곱하면 $$\left(\frac{1}{5}\right)^{3k-9} = k^3$$ 이고, 양변을 $k^3$으로 나눈 뒤 양변에 $\left(\frac{1}{5}\right)^9$를 곱하면$$\frac{1}{k^3}\left(\frac{1}{5}\right..

2025학년도 수능 수학(미적분) 28번 풀이 (251128 풀이)  안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 수능 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이먼저 방정식 $$e^{1-x^2}=x$$ 를 풀면 $x=1$을 유일한 해로 갖는다. 따라서 함수 $f'(x)$의 부호만 조사하면 $x1$일 때 음수이므로함수 $y=f(x)$의 개형과 접선을 그려보면 다음과 같다. 이때 보라색 영역의 넓이가 $g(t)$가 되므로 $$\begin{align}g(t)&=\int_0^t \left\{f'(t)(x-t)+f(t)-f(x) \right\}dx \\ &= tf(t)-\frac{1}{2}t^2f'(t) - \int_0^t f(x)dx\end{align}$$ 임을 알 수 있다. 이제 순..

2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (251030 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이$b$의 부호에 따라 대략적으로 $y=f(x)$의 그래프를 그려보면 아래와 같다.이제 문제의 조건으로부터 $y=f(x)$의 그래프와 $y=f'(t)x$의 그래프가원점에서만 만나도록 하는 실수 $t$의 개수가 $1$임을 알 수 있으므로, 각 경우를 따져보자.   i) $b$f'(t) > 0$인 실수$t$중$y=f(x)$와$y=f'(t)x$의 그래프가 원점에서만 만나도록 하는$t$가 존재하므로 조건을 만족시키지 않는다. ii)$b=0$인 경우조건을 만족시키려면$f'(t)=0$이어야 하는..

2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 29번 풀이 (251029 풀이)  안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 29번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이직선 $l$이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\theta$이므로  $$l : y=(\tan \theta)x + 1$$ 임을 알 수 있다. 또, $\theta=\frac{\pi}{4}$일 때 방정식 $$x+1=e^{\frac{x}{a}} - 1$$ 의 실근이  $$x=f\left(\frac{\pi}{4}\right) = a$$ 이므로 $$a+1=e-1\quad\Longrightarrow\quad a=e-2$$ 임을 알 수 있다.이제 $x=f(\theta)$가 직선 $l$과 주어진 곡선의 교점의..