수학올인의 수학 기록

[편입] 2024 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)  안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에선 2024년 세종대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다. 원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 세종대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.(세종대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)   2024 세종대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.   2024 세종대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이직접 편미분해보면 $$f_x(x, y) = 2x\cosh(x^2 + y)$$ 이므로, 구하는 값은 $e + \frac{1}{e}$이다.   2024 세종대학교 편입수학 기출..

2025학년도 9월 모의고사 수학 15번 풀이 (250915 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이(가)에 $x=1, -1$을 대입하면 두 등식 $$\int_{-1}^1 xf(x)dx = \int_{-1}^1 xg(x)dx = 8$$ 을 얻는다. 이제 주어진 식을 미분하면 $$xf(x)+xg(x) = 12x^3 + 24x^2 - 6x$$ 임을 얻는다. 그런데 $f(x)=xg'(x)$이므로 이를 이용하여 식을 다시 쓰면 $$x^2g'(x) + xg(x) = 12x^3 + 24x^2 - 6x$$ 가 된다.  함수 $xg'(x) + g(x)$는 다항함수이고, 연속이므로 양변을 $x$로 나눠주면$$xg'(x) + g(x) = 12..

2025학년도 9월 모의고사 수학 21번 풀이 (250921 풀이)  안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학 21번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이가장 먼저 이런류 문제가 나왔을 때 체크할 것은 각 경계가 같아지는 순간을 확인하는 것이다.따라서 방정식 $$4k^2+14k=2k-8$$ 을 풀면  $$k=-2, -1$$ 을 얻는다. 이제 다음과 같은 사실이 성립함을 이용하자.무슨 의미냐 하면, 우리가 어떤 함수 $f(x)$가 주어졌을 때 미분이라는 연산을 통해 $f'(x)$를 구하는 것 처럼, 어떤 함수 $f(x)$가 주어지면 $f(x+2)-f(x)$를 구하는 연산을 생각해보자는 것이다.(마치 미분처럼, 반대로 $f(x+2)-f(x)$를 통해 $f(x)$도 구할 수 ..

2025학년도 9월 모의고사 수학 22번 풀이 (250922 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다. 풀이는 역추적과 정추적을 둘 다 다뤄보겠습니다.   문제   풀이역추적을 이용한 풀이)먼저 $a_5 = 0$으로 쓸 수 있고, 첨자가 하나 낮아질 때 마다 $\frac{2}{3}k$를 더하거나, $-\frac{1}{k}$가 곱해지는 규칙을 통해수열의 이전 항을 얻을 수 있다. 이를 통해 수형도를 그리면 다음과 같다.이제 조건을 만족하는 경우 (번호가 부여된 케이스)에 대해 이어서 진행하면 아래와 같다.이상에서 구하는 값은 $8$이다.   정추적을 이용한 풀이)가장 먼저 (나)를 이용하면$$a_{n+1} = a_n - \frac{2}..

2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (250928 풀이)  안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이함수 $g(x)$의 역함수가 존재하고, $g(0)=0, g(1)=1$이므로 다음이 성립한다. (그림을 생각하자) $$\int_0^1 g(x)dx + \int_0^1 g^{-1}(x)dx = 1$$ 따라서 주어진 식을 다시 쓰면 $$2\int_0^1 f'(2x)\sin \pi xdx + \frac{1}{4} = 1-\int_0^1 g(x)dx$$ 이고 $g(x)$를 대입한 뒤 식을 정리하면 $$\int_0^1 f'(2x)\sin\pi xdx = \frac{1}{12}$$ 임을 얻는다. 이제 구하는 값에 치환..

2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 29번 풀이 (250929 풀이)  안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 29번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이가장 먼저 $a_1 = S_1$이므로  $$\begin{align} a_1 &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+2)} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)\\ &= \frac{3}{2}\end{align}$$ 이다.  또, $a_{10} = S_{10} - S_9$인데, 위와 비슷하게 $$\begin{align} S_{10} &= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1..

2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (250930 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이직접 $F(x) - f(x)$를 구해보자. 구간을 나눠 직접 적분해보면 $$F(x) - f(x) = \begin{cases} -(2x+2k+1)e^{-x}+C & (x\leq 0) \\ (2x-2k+1)e^{-x} + C - 2 & (x>0) \end{cases}$$ 이고 이 함수가 $0$이상이어야 하므로 $$\begin{align} C \geq (2x+2k+1)e^{-x} \quad &(x\leq 0) \\ C\geq 2-(2x-2k+1)e^{-x}\quad &(x>0)\end{align}$$ 이 성립해..

2025학년도 6월 모의고사 수학 22번 풀이 (250622 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이역추적으로 풀 것이다. 위의 규칙을 적용하게 되는 경우는 $n$이 제곱수인 경우이고$2$ 이상 $15$이하의 자연수 $n$ 중 제곱수는 $4, 9$이므로 $4, 5$항 및 $9, 10$항을 중점적으로관찰하자.  위 내용을 기억하며 표를 그려보면 아래와 같다.이때 전체적으로 네 가지의 경우가 있는데, 가장 왼쪽의 숫자대로 번호를 부여하자.   1번 경우)이 경우는 미지수를 소거하기 위해 연립방정식$$\begin{cases} 2a_2 + 3a_3 - 10 = a_2 \\ 2a_3 + 3a_3 - 9 = a_3 \end{..

2025학년도 6월 모의고사 수학 15번 풀이 (250615 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이먼저 함수 $g(x)$가 미분가능하므로 $f(k)=k$, $f'(k) = 2$이다.또, $g\left(\frac{k}{2}\right) = 0$임을 알 수 있다. 이제 (나)조건을 바라보면, 함수 $$|t(t-1)| + t(t-1)$$ 은 $t(t-1)$이 양수라면 두 배 하고, 음수라면 $0$이 된다. 이 사실과 $g(x)$가 증가한다는 사실을 이용하면, $g(x)=0$이 되는 실수 $x$는 반드시 $$0\leq x \leq 1$$ 에 속해야 한다. 이 말은 곧 $$0\leq k\leq 2$$ 임을 의미한다. 두 번째 부등식..

2025학년도 6월 모의고사 수학 21번 풀이 (250621 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학 21번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제  풀이(가) 조건으로부터 $f'(2) = 0$임을 얻고, $x=2$가 함수 $f(x)$가 극값을 갖는 좌표중가장 큰 (가장 오른쪽에 있는) 좌표임을 알 수 있다. 이제 방정식 $$f(x) = k$$ 가 서로 다른 세 실근을 갖거나 서로 다른 네 실근을 가지려면 극대와 극소를 전부 가져야 한다. 또, 완전한 W모양의 선대칭인 사차함수의 경우 $k$의 최솟값이 존재하지 않으므로 배제해도 된다. 이제 다음과 같이 두 경우를 나누자. i) 오른쪽 극솟값이 더 작은 경우(나)조건으로부터 그래프는 다음과 같이 그려진다.그런데, 가장 왼쪽..