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문제풀이 77

2024학년도 10월 모의고사 미적분 30번 풀이 (241030 풀이)

2024학년도 10월 모의고사 미적분 30번 풀이 (241030 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 주어진 함수 f(x)를 미분하면 f(x)=ex(x2+(a2)x+ba) 이다. 이때 조건 (가)로부터 위의 이차식의 판별식 D1:(a2)24(ba)>0 임을 알 수 있다. 한편 조건 (나)를 보면 함수 |f(x)|x=k를 갖는다면 f(k)=0,f(k)=0 이다. 따라서 방정식 f(x)=0의 실근의 개수로 경우를 나누자. i) f(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가지는 경우 근과 계수의 관계로부터 $$2-2a=3..

2024학년도 10월 모의고사 수학 15번 풀이 (241015 풀이)

2024학년도 10월 모의고사 수학 15번 풀이 (241015 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 a3을 시작으로 나열하면 아래와 같다. (가장 아래의 경우가 모순인 이유는 조건으로부터 a3,a4중 적어도 하나는 4의 배수여야 하기 때문이다.) 1번 경우) 부등식을 풀면 45<a3<57인데, 가정에서 두 수 a3,a4는 모두 4의 배수이다. 이를 만족시키는 a352뿐이다. 2번 경우) 부등식을 풀면 30<a3<40인데, 가정에서 a34의 배수이고, a4는 배수가 아니다. 이를 만족시키는 a332뿐이다. 3번 경우) ..

2024학년도 6월 모의고사 수학 15번 풀이 (240615 풀이)

2024학년도 6월 모의고사 수학 15번 풀이 (240615 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 6월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 처음 세 항을 계산하면 a1=k,a2=2,a3=2k이다. 이제 정의대로 계산하면 a4={82k(2k0)42k(2k>0) 이다. 이제 조건을 만족시키려면 a3,a4,a5,a6중 음수가 3개, 양수가 1개이거나 음수가 1개, 양수가 3개임에 주목하자. 만약 2k>0이라면, 즉 k0일 수 없으므로 모순이다. 이상에서 가능한 k값의 합은 $3+5+6=14..

2024학년도 6월 모의고사 미적분 30번 풀이 (240630 풀이)

2024학년도 6월 모의고사 미적분 30번 풀이 (240630 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 6월 모의고사 미적분 30분 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 (나)조건으로부터, 만약 모든 자연수 n에 대하여 an0이다. 또, (가)조건으로부터, 만약 모든 자연수 n에 대하여 an>0이라면 합이 음수일 수 없다. 위를 종합하면 수열 an의 공비는 음수이다. 한편 b3<0이므로 이는 곧 a31임을 의미하고, 따라서 a11<0을 의미한다. 그러면 수열 an을 $$a_n = ar^{n-1}\quad (a

2024학년도 6월 모의고사 수학 20번 풀이 (240620 풀이)

2024학년도 6월 모의고사 수학 20번 풀이 (240620 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 6월 모의고사 수학 20번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 첫 번째 조건을 보면 x>1에서 g(x)g(4)이므로 함수 g(x)x=4에서 극소이다. 또, 두 번째 조건을 봤을 때 첫 번째 조건에서 g(x)x=4에서 극소라는 정보로부터 g(3)=0일 수밖에 없다. 따라서 f(x)=(x4)(xa)이고 30f(x)dx=0인데 직접 적분을 계산해 보면 30f(x)dx=152a9=0a=65 이고, 따라..

2024학년도 6월 모의고사 수학 12번 풀이 (240612 풀이)

2024학년도 6월 모의고사 수학 12번 풀이 (240612 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 6월 모의고사 수학 12번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 주어진 수열 an이 등차수열이므로, bn도 등차수열이다. 또, 수열 bn의 공차는 수열 an의 공차의 두 배와 같다. 이로부터, 조건 (교집합의 원소가 3개)을 만족시키는 공통원소를 A에서 고르면 a1,a3,a5이다. (공차가 두 배 이므로, an이 두 칸 움직여야 bn이 한 칸 움직이기 때문이다.) 이 때, 집합 A,B에 속하는 공통원소는 집합에 나열되어있는 순서대로 대응된다. 그럼 이로부터 경우를 나누자. i) B의 공통원소가 b1,b2,b3인 경..

2024학년도 7월 모의고사 수학 15번 풀이 (240715 풀이)

2024학년도 7월 모의고사 수학 15번 풀이 (240715 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 7월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 주어진 수열 an을 관찰하면 만약 an3의 거듭제곱꼴이라면 1이 될 때 까지 3으로 나누고 그렇지 않다면 6을 더해나가는 수열이다. 1) an1n7 에서 3의 거듭제곱꼴이 되는 항이 존재하는 경우 an의 변화는 다음과 같다. (편의를 위해 243에서부터 나열한다.) 24381279317131925 여기서 인접한 네 항의 합이 40이 되는 ..

2024학년도 7월 모의고사 미적분 29번 풀이 (240729 풀이)

2024학년도 7월 모의고사 미적분 29번 풀이 (240729 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 7월 모의고사 미적분 29번에 대해 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 (나)의 양변을 미분하면 2xf(x2+1)=2ae2x+b 이고 양변에 x=0을 대입하면 b=2a임을 얻는다. 식을 정리하면 2xf(x2+1)=2ae2x2a 이고, 양변을 2x로 나눈 뒤 x0+인 극한을 취하면 f(1)=limx0+f(x2+1)=2a 이다. 한편 (가)에 x1인 극한을 취하면 f(1)=2=2a에서 a=1,b=2이다. (나)로부터 f(1)=1이고, (가)를 ..

2024학년도 7월 모의고사 미적분 30번 풀이 (240730 풀이)

2024학년도 7월 모의고사 미적분 30번 풀이 (240730 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 7월 모의고사 미적분 30번 문항을 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 주어진 함수 g(x)를 두 함수 sin(π|x|),f(x) 의 합성으로 바라보면, f(an)의 값은 정수여야 한다. 한편 (가) 조건을 만족시키려면 함수 f(x)는 순서대로 x=a4,a8에서 극대, 극소이다. (겉함수의 증감이 일정하기 때문이다.) 한편 f(an)의 값이 정수라는 조건으로부터, 함수 f(x)의 두 극값의 차는 4이다. 따라서 a8a4=2이고, (나) 조건에서 f(0)=f(a8)이다. 즉, 삼차함수의 비율관계로부터 $a..