수학올인의 수학 기록

2024학년도 수능 수학 14번 풀이 (241114 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 문제 풀이 $x\leq 2$에서 정의된 삼차함수는 $x=-1$에서 극댓값 $5$, $x=1$에서 극솟값 $-3$을 갖는다. 또, $f(2)=5$이다. 추가로, $\displaystyle\lim_{x\to 2+} f(x) = 9$임을 이용하여 함수 $f(x)$의 그래프를 그릴 수 있다. 이제 $b=1$, $b=2$, $b>2$로 경우를 나눠보면 $b=1, 2$인 경우는 조건을 만족하지 않는다. $b>2$인 경우 $x>2$에서의 이차함수의 극값을 위 아래로 조절하며 개형을 살펴보면 조건을 만족하는 경우는 아래 그림처럼 삼차함수와 이차함수의 극소가 일치하는 경우이다. 이때 $x>2$에서의 이차함수는 $x=\..

2024학년도 수능 수학 22번 풀이 (241122 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 수능 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 문제의 조건으로부터 모든 정수 $k$에 대하여 $$f(k-1)f(k+1) \geq 0$$ 이 성립해야한다. 따라서 만약 어떤 정수 $a$에 대하여 $f(a)=0$이라면, $$f(a+1)=0\quad \text{or}\quad f(a-1) = 0$$ 이 성립해야한다. (그림을 생각하면 편하다.) 이제 $f(0)=0$임을 보이기 위해 경우를 나누자. i) $f(0)>0$인 경우 문제의 조건을 만족시키려면 $f(-2)\geq 0$이어야 한다. 그런데 만약 $f(-2)=0$이라면 $f(-3)f(-1) < 0$이 되므로 모순이다. 따라서 $f(-..

2024학년도 수능 수학(미적분) 30번 풀이 (241130 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 수능 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 직접 적분해보면 함수 $f(x)$의 식은 $$f(x)=\begin{cases} \frac{\sin^2 x}{2} & (\sin x\geq 0) \\ -\frac{\sin^2 x}{2} & (\sin x < 0) \end{cases}$$ 이다. 이때, 적분상수를 고려하지 않아도 되는 이유는, 우리는 $f(x)$의 접선 $g(x)$에 대하여 함수 $$f(x) - g(x)$$ 를 고려할 것인데, $g(x)$에서도 적분상수가 포함되어 빼면 둘이 소거된다. 그러므로 일반성을 잃지 않고 적분상수를 $0$으로 가정하여 $f(x)$의..

2024학년도 수능 수학(미적분) 28번 풀이 (241128 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 수능 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 주어진 식에서 $$\lim_{x\to 0-}f(x) = 0$$ 이고, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)\geq 0$이다. 따라서 함수 $f(x)$는 $x>0$에서 $0$인 상태를 유지하다가 다시 증가하는 함수일것이다. (양수 $t$에 대하여 방정식 $f(x) = t$의 실근이 두 개 이므로 $x>0$에서 항등적으로 $0$인 상태일 수는 없다.) 한편 방정식 $$f(x) = t$$ 의 두 실근이 $g(t), h(t)\quad (g(t) < 0 < h(t))$이고, $h(t)=k-2g(t)$이므로 $$f(g(t))=f(..

2024학년도 수능 수학 15번 풀이 (241115 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 수능 15번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 주어진 수열 $a_n$의 모든 항이 자연수이므로, $a_6 + a_7 = 3$이려면 아래와 같은 두 경우 뿐이다. $$a_6=1,\quad a_6 = 2$$ 이제 역추적을 할 것인데, 만약 $a_6 = 2$이면 $a_7 = 1$이므로 $a_7 = 1$로 두고 역추적을 진행한다. 이후 $a_6 = 1$인 경우는 $a_2$의 값을 $a_1$로 계산하면 될 것이다. 실제로 역추적을 통해 항을 계산해보면 이다. 1) $a_6 = 2$인 경우 위 표에서 $a_1$들의 합을 구하면 $105$이다. 2) $a_6 = 1$인 경우 위 표에서 $a_2$들의 ..

2024학년도 10월 모의고사 수학 14번 풀이 (241014 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 수학 14번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 문제에서 주어진 조건으로부터 $$f(x)=(x-2)^2 + c$$ 로 둘 수 있다. 이로부터 풀이를 시작하자. 새로운 함수 $g(x)$를 $$g(x)=\int_4^x f(t)dt$$ 라 하면 주어진 조건은 모든 자연수 $n$에 대하여 $g(n)\geq 0$임을 의미한다. ㄱ. 만약 $f(2)=c>0$이면 함수 $g(x)$는 증가함수인데, $g(3)

2024학년도 10월 모의고사 미적분 27번 풀이 (241027 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 27번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 조건으로부터 $a_n = a \times r^{n-1}$인데, 무한급수의 합 조건으로부터 $$\frac{\frac{a}{3}}{1-\frac{r}{3}}=4$$ 에서 식을 정리하면 $$a=4(3-r)$$ 이고, $a=4, r=2$이다. 따라서 구하는 무한합은 $\frac{1}{6}$이다. 별다른 아이디어 없이 식만으로 풀리는 문제였습니다.

2024학년도 10월 모의고사 수학 20번 풀이 (241020 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 수학 20번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 우변을 전개하면 $$\begin{align} 2x^2f(x) &= 3f(x)\int_0^x (x-t)dt + 3\int_0^x (x-t)f(t)dt \\ &= \frac{3}{2}x^2f(x) + 3\int_0^x (x-t)f(t)dt \end{align}$$ 이고, 식을 정리하면 $$x^2f(x) = 6\int_0^x (x-t)f(t)dt$$ 이다. 그런데 우변의 $$\int_0^x (x-t)f(t)dt$$ 를 두 번 미분하면 $f(x)$가 된다. 즉, 이는 $f(x)$를 두 번 적분한 식과 같다. 그런데 앞에 ..

2024학년도 10월 모의고사 미적분 29번 풀이 (241029 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 미적분 29번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 주어진 삼각형은 이등변삼각형이므로 $$\angle \mathrm{ACB} = \frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}$$ 이다. 따라서 $$\mathrm{CD}=2\cos\left( \frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2} \right) =2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$$ 이다. 한편 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $D$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABD}$에 대하여 $$\mathrm{AB} = \frac{1}{ \sin\left(\frac..

2024학년도 10월 모의고사 미적분 28번 풀이 (241028 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 미적분 28번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 (가)조건에서 $a=0, b\neq 0$이거나 $a\neq 0, b=0$이다. 경우를 나눠 계산하자. i) $a=0, b\neq 0$인 경우 대입하면 $$f(x)=\sin x\cos xe^{b\cos x}$$ 이므로 $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx = \frac{1}{b^2} + \frac{e^b (b-1)}{b^2} = \frac{1}{b^2} - 2e^b$$ 에서 정리하면 $$-2b^2 = b-1\quad\Longrightarrow\quad b=-1, \frac{1}{2}$$ 이다. 따..